刘祥建，陈仁文

(1.金陵科技学院 机电工程学院，南京 211169;2.南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室，南京 210016)

在近几十年中，无线网络、微电子及微机电系统等低功耗产品得到了快速发展，目前，其供能方式主要采用化学电池。然而，化学电池在使用中的一些弊端日渐显露，比如，结构监测中无线传感网络节点由于监测位置的原因，化学电池的定期更换极端困难且工作量巨大，此外，化学电池使用中成本高、容易造成环境污染及不易于微型化等诸多缺点也限制了其进一步应用［1］。因此，如何实现上述低功耗产品持续、稳定及清洁的供能成为当前国内外关注的热点，具有能量收集能力的材料和结构得到了广泛的研究。考虑到环境中丰富的振动能量及其较高的能量密度［2］，从周围环境的振动中收集能量无疑是一种最具潜力的方式。目前，实现振动能量收集的方式主要有电磁式［3－4］、静电式［5］及压电式［6－15］三种，其中，压电式振动能量收集装置以其结构简单、无污染及易于微型化等优点成为研究的热点。

为实现对周围环境多个方向振动能量的收集，作者所在的课题组提出一种基于rainbow型压电换能器的立方体状振动能量收集装置，在前期研究中，研究者仅研究了在外力激励下，rainbow型压电换能器材料特性和尺寸参数对其能量收集能力的影响。但在位移激励环境中，换能器的结构参数对其能量收集能力有怎样的影响，以及各参数之间有何关系，没有引起关注。为提高有限体积换能器的能量收集能力，本文给出了rainbow型压电换能器在不同激励环境下发电能力的数学模型，并仿真对比了不同激励环境中，rainbow型压电换能器材料特性及结构参数对其能量收集能力的影响差异。

1 结构与数学模型的建立

现代电子及机电产品的体积日趋微型化，因此，压电发电装置的使用空间受到一定的限制，这就使得在具体激励环境中，提高有限尺度下压电体的发电能力尤为重要。为此，本文以rainbow型压电换能器为研究对象，分析给定外力和位移激励下，rainbow型压电换能器结构参数和材料参数对其发电能力的影响。rainbow型压电换能器的基本结构如图1所示，换能器主要由弹性金属基片和压电薄膜组成。换能器工作时，其一端固定，另一端随环境振动源做受迫振动，其中，l和b分别为rainbow型压电换能器的长度和宽度，tp为压电薄膜的厚度，tm为弹性金属基片的厚度，R为换能器的初始曲率半径。

图1 rainbow型压电换能器结构示意图Fig.1 Sketch map of rainbow shape piezoelectric transducer

根据压电学理论，当rainbow型压电换能器受到外界环境激励作用而产生弯曲变形时，将会引起压电层内应变和应力的变化，从而，其表面将有自由电荷生成。压电体所受应力及其产生电场的关系满足如下方程

式中，S为应变向量;D为电荷密度向量;E为电场强度向量;T为应力向量;εT为应力恒定时的自由介电常数矩阵;sE为电场恒定时的短路弹性柔顺系数矩阵;d为压电应变常数矩阵。

为便于分析，忽略压电薄膜与弹性金属基片间粘结层的影响，同时设弹性金属基片的弹性模量为Em，压电薄膜的弹性模量为Ep。则在外力F激励下，rainbow型压电换能器的输出电压为(n=1时为弧形内侧压电薄膜;n=2时为弧形外侧压电薄膜)

设作用在rainbow型压电换能器的端部位移激励为#，K为换能器的等效刚度，则根据虚功原理，得到相应的等效刚度K为

在位移#激励下，rainbow型压电换能器的输出电压为

2 理论模型验证

考虑到rainbow型压电换能器发电性能理论模型的推导中运用了相应的理论假设，有必要对上述理论模型进行验证，为此，制作了rainbow型压电换能器原理样机并搭建了相应的能量收集实验系统，分别如图2和图3所示。实验时利用HEV－50高能激振器对rainbow型压电换能器进行激励，通过Agilient54622D混合示波器来监测电压，实验过程中直接将压电薄膜电极引线输出接示波器以显示输出开路电压波形，这里，所制作的rainbow型压电换能器结构尺寸如表1所示。在实验及理论分析中，弹性金属基片材料选用铍青铜，压电薄膜材料选用PVDF，压电薄膜压电应力常数矩阵(e×C/m2)和压电弹性系数矩阵(c×109N/m2)分别为

图2 rainbow型压电换能器实物图Fig.2 Rainbow shape piezoelectric transducer

图4 压电薄膜厚度与换能器输出电压的关系曲线Fig.4 Effect of thickness of the piezoelectric film on output voltage

图5 厚度比与发电能力的关系曲线Fig.5 Effect of thickness ratio on output voltage

图6 长度与发电能力的关系曲线Fig.6 Effect of length of the rainbow shape piezoelectric transducer on output voltage

图3 实验装置图Fig.3 Experimental setup of energy harvesting

图4 给出了rainbow型压电换能器输出开路电压与压电薄膜厚度关系的理论与实验结果，实验中，作用在换能器端部的位移和外力分别为为0.02 mm和1 N。从图中不难看到，位移激励时，无论是理论值还是实验结果，都随着rainbow型压电换能器压电薄膜厚度的增加而增大;外力激励时，理论值和实验结果都存在一个最大值，且最优压电薄膜厚度均在0.25 mm附近。无论是位移激励还是力激励，理论值与实验结果变化趋势基本一致，验证了理论模型的可靠性。

表1 rainbow型压电换能器结构参数与材料特性Tab.1 Dimensions and material properties of the rainbow shape piezoelectric transducer

值得注意的是，位移激励时，由于制作的换能器粘结层的影响，使得换能器的等效刚度变大，压电薄膜内应力增大，导致实验结果略大于理论值;而外力激励时，由于制作的换能器的等效刚度的增大，使得相同外力作用下的换能器的变形量减小，最终导致实验结果略小于理论值。

3 发电性能仿真分析

为直观的说明在外界激励环境下rainbow型压电换能器结构参数和材料特性对其发电能力的影响关系，分别就换能器在外力1 N及端部位移0.02 mm的情况进行了发电能力的数值模拟与比较。在分析中，弹性金属基片选用铍青铜，压电薄膜选用PVDF，rainbow型压电换能器的结构参数及材料特性如表1所示。

这里，将弹性金属基片的厚度与压电薄膜的厚度之比定义为厚度比。保持rainbow型压电换能器的长度、宽度、初始曲率半径及材料特性等参数，仅改变其厚度比，数值模拟得到换能器输出电压与厚度比的关系，如图5所示。可以看到，随着厚度比的增加，rainbow型压电换能器的输出电压在外力激励时先增大后减小，而在外界位移激励时单调减小。出现这种现象的原因是，在弹性金属基片厚度一定的条件下，外力激励时，随着厚度比的增大，换能器的等效刚度不断减小，从而相同外力下换能器的变形量增大，使得压电薄膜内的应力增大，导致压电薄膜的输出电压不断升高，另一方面，厚度比的增大使得压电薄膜的相对厚度减小，从而压电薄膜产生的电荷量变少，使得压电薄膜的输出电压减小，上述两方面因素的综合影响，最终导致压电薄膜的输出电压出现一个先增大后减小的变化趋势;而位移激励时，随着厚度比的增大，换能器的等效刚度不断减小，从而相同位移激励下压电薄膜内的应力减小，导致压电薄膜的输出电压不断减小。由此可见，在不同的激励环境下，rainbow型压电换能器的最优厚度比应区别对待。

固定rainbow型压电换能器的宽度、初始曲率半径、厚度比及材料特性等参数，仅改变其长度，得到换能器输出电压与长度的关系曲线如图6所示。不难看出，随着换能器长度的增加，其输出电压在外力激励时逐渐升高，而在位移激励时单调递减。从输出电压数值的变化看，相比较外力激励，位移激励将导致输出电压的较大降低。这是因为在外力激励下，换能器的长度增加时，力对弧形压电梁横截面产生的力矩和法向分力增大，使得压电薄膜的应变增大，因此压电薄膜的输出电压不断升高;而在位移激励下，换能器的长度增加时，在相同的位移激励下，换能器产生的变形率减小，导致压电薄膜内应变不断减小，最终导致其输出电压不断降低。

图7给出了rainbow型压电换能器输出电压与宽度的关系曲线。从图中曲线可知，随着宽度的增加，换能器输出电压在外力激励时不断减小，而位移激励对输出电压的影响较小。这是由于外力激励时，换能器宽度的增加，虽然增大了压电薄膜的表面积，使得压电薄膜产生的电荷增多，但宽度的增加同时也增大了换能器的等效刚度，且换能器等效刚度增加产生的影响要大于压电薄膜表面积增加产生的影响，导致压电薄膜的输出电压不断减小;而在位移激励下，换能器宽度的增加虽然也增大了压电薄膜的表面积，使得压电薄膜产生的电荷增多，但同时也增加了压电薄膜的等效电容，最终使得压电薄膜的输出电压变化较小。从而，在rainbow型压电换能器结构设计中，在外界位移激励时，宽度对输出电压的影响可忽略或作为一个次要因素来处理。

图7 宽度与发电能力的关系曲线Fig.7 Effect of width of the rainbow shape piezoelectric transducer on output voltage

图8 初始曲率半径与发电能力的关系曲线Fig.8 Effect of initial curvature radius on output voltage

图9 弹性模量比与发电能力的关系曲线Fig.9 Effect of elastic modulus ratio on output voltage

保持rainbow型压电换能器的长度、宽度、厚度比及材料特性等参数，仅改变初始曲率半径的数值，得到换能器的输出电压与初始曲率半径的关系曲线如图8所示。显然，随着初始曲率半径的增加，外力激励下换能器的输出电压单调减小，而位移激励下换能器的输出电压单调递增，两种激励环境中，初始曲率半径对输出电压的影响截然相反。之所以出现这种现象，是因为初始曲率半径增大时，外力对换能器截面产生的力矩和法向分力将不断减小，导致压电薄膜的应变减小，从而压电薄膜产生的电压降低;而位移激励时，随着初始曲率半径的增大，换能器的等效刚度变大，导致在相同的位移激励下压电薄膜内的应力增大，从而压电薄膜的输出电压不断升高。这就要求在rainbow型压电换能器的结构设计中，应充分考虑激励环境的不同而进行初始曲率半径的最优设计。

这里，将压电薄膜的弹性模量与弹性金属基片的弹性模量之比定义为弹性模量比。固定rainbow型压电换能器的结构参数，仅改变弹性模量比的大小，数值模拟输出电压与弹性模量比的关系，如图9所示。由图可见，在换能器弹性模量比变化时，激励环境对输出电压的影响较大。外力激励下，换能器的输出电压随着弹性模量比的增大而升高，位移激励环境中，换能器的输出电压则随着弹性模量比的增大而降低。这是因为外力激励下，在压电薄膜的弹性模量一定时，随着弹性模量比的增大，换能器的等效刚度不断减小，从而相同外力下换能器的变形量增大，导致压电薄膜的输出电压不断增大;而位移激励时，随着弹性模量比的增大，换能器的等效刚度也是不断减小，导致压电薄膜内应力减小，从而使得压电薄膜的输出电压不断减小。由此可见，在外力激励环境中，较大的弹性模量比有利于换能器输出电压的提高，而在位移激励环境中，较小的弹性模量比将有助于获得较高的输出电压。

另外，从图5至图9还可看出，不论在何种激励环境中，rainbow型压电换能器内侧压电薄膜的输出电压都要大于外侧压电薄膜的输出电压，这主要是由于换能器内侧压电薄膜的应变都要大于外侧压电薄膜的应变。

4 结论

为提高有限体积rainbow型压电换能器的能量收集能力，针对外力和外界位移两种激励环境，本文建立了其发电能力的数学模型。通过实验验证了理论模型的可靠性，同时对理论模型进行了数值模拟，结果表明，在外力激励环境中，随着宽度及初始曲率半径的增加，换能器的输出电压单调减小;随着长度和弹性模量比的增加，换能器的输出电压不断升高;随着厚度比的增加，换能器的输出电压将呈现一最大值。在外界位移激励环境中，随着厚度比、长度和弹性模量比的增加，换能器的输出电压不断降低;随着初始曲率半径的增加，换能器的输出电压不断升高;而宽度对换能器输出电压的影响可基本忽略。另外，不论在何种激励环境中，换能器内侧压电薄膜的输出电压都要大于外侧压电薄膜的输出电压。

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