王元生，任兴民，邓旺群，杨永锋

(1.西北工业大学 振动工程研究所，西安 710072;2.中国航空动力机械研究所，湖南 株洲 412002)

在机械故障信号分析中，常常由于实验条件的限制，使得收集到的混合信号过于复杂导致在频域分析中的困难，或者在时域分析中应用盲源分离时导致欠定问题的出现。针对从频域的故障诊断到时域的盲源分离所存在的问题，国内外学者作了众多工作。Abrard等［1］提出基于多种归一化峭度的欠定信号盲源分离方法;Araki等［2］针对稀疏源欠定盲源分离，提出了一种新的超过三个非线性传感器阵信号的聚类算法;Jayaraman等［3］提出两种算法进行聚类的混合信号的估计混合矩阵，来进行稀疏信号的欠定盲源分离;Farid等［4］针对欠定的卷积盲分离，提出一种通过估算混合矩阵的技术实现盲分离，但聚类的求解中对信号的稀疏性要求比较好;李志农等［5］提出了一种基于局域均值分解的欠定信号盲源分离方法，但其只检验该方法在模拟信号中的效果;程军胜等［6］提出了一种基于VPMCD和EMD的齿轮故障诊断方法，但EMD技术还在进一步完善。

YAN等［7－8］提出了一种时频分析的新方法频率切片小波变换(Frequency Slice Wavelet Transformation，FSWT)，可灵活地实现信号的滤波和分割。可作为一种类“盲源分离”的方法，在处理复杂信号时还存在不足;段晨东等［9］将FSWT作为时频分析手段来处理炼油厂齿轮箱摩擦故障信号。对FSWT的分析仅仅在于故障特征，并未对源信号进行探究。本文将FSWT与DSS相结合，首先应用FSWT变换和反变换，重构出新的混合信号，有效解决欠定盲分离维数不足的问题，再应用DSS分离得到源信号，解决了欠定盲分离问题，同时解决了单独应用FSWT时进行时频分析的不足。算法仿真和应用实例验证了FSWT－DSS方法在实测故障信号分析中的有效性。

1 理论分析

1.1 DSS

去噪源分离(DSS)是 SREL 等［10］提出的一种逐次提取独立分量的盲分离算法。相对于盲源分离中同时求出分量的期望最大值算法，DSS方法运用预白化的方法逐次提取混合信号的分量，计算如下:

在算法中，式(1)计算源信号的噪声估计，w为混合矢量，也为分离矢量;式(2)通过s+定义去噪函数;式(3)完成信号的重估;式(4)完成归一化。式(2)去噪函数的选择是DSS［10］的关键。

谱移动技术可以提高DSS算法的收敛速度，定义如下:

变量s引入函数f(s)中，由于XsT∝w，虽然谱移动不会影响函数固定点，但是影响特征值的速率和加快收敛速度，f(s)从而可被替换为:

式中，α(s)和β(s)为信号标量。

由式(5)和式(6)可得出:

谱移动通过β(s)来修改特征值的比率，由|［λ1+β(s)］/［λ2+β(s)］|＞ |λ1/λ2|可知，这个步骤可以加快收敛的速度。

算法中采用正切去噪函数［10］，根据不同源信号，采用两种选择:(1)当源信号为亚高斯时，此时β(s)=0，f(s)=tanh［s(t)］;(2) 当源信号为超高斯时，此时β(s)= －1，f(s)=s(t) －tanh［s(t)］。

1.2 FSWT理论

1.2.1 FSWT 原理

假设p(t)的傅里叶变换为p^(ω)，对于任意信号f(t)∈L2(R)，其FSWT在频域定义为:

式中，σ为尺度因子(σ≠0)，可为常数或为ω和t的函数，u为估值频率。在FSWT中，p(ω)为频率切片函数，p^*(u)是母小波函数 p(t)的共轭形式，小波函数φ((u－ω)/σ)是其在频域伸缩平移的结果。从式(8)可以看出，FSWT其实就是通过引入尺度和平移因子，获得了可变的时频窗。

采用parseval方程，如果σ不是估计频率u的函数，则可将式(8)转换到时域:

其实，即使p(t)及(ω)已知，式(9)也难以在频域上进行分析，因此，在信号分析时仅关注(ω)(ω)定义为频率切片函数，它满足下列条件:

当与之相反，若0≤|p(t)|≤p(0)，则(ω)≤(0)。基于以上条件，可设计出如下几种频域内的频率切片函数(FSF)作为滤波器，分别为:

1.2.2 FSWT 的反变换

使用FSWT实现信号在时域与频域中的分解，其求解过程是可逆，从而实现对信号滤波或分段。FSWT反变换采用一种简单的形式来重构源信号，算法如下所示:

式(7)表明重构变换与频率切片函数p(t)或p(ω)以及σ无关，重构信号可直接用快速傅里叶变换算法求得。而传统的连续小波变换，其信号的重建取决于选择的小波基，并且需要大量的计算，同时选取的小波基是非稀疏的，定义和计算也非常复杂的。

2 基于FSWT和DSS信号分析

FSWT方法可实现信号在频域中的分解，再通过反变换后可得到混合信号的源信号。但是，在信号的频率比较接近的情况下，很难分离出源信号。为了解决复杂信号分离问题，提出一种FSWT-DSS方法，即可任选一频率区间进行反变换，重构出新的混合信号，相当于增加混合信号数以满足盲源分离维数的要求，进而应用DSS分离出源信号:

(1)选择合适的频率切片函数，计算初步的时频分辨系数;

(2)在全时间域内对混合信号进行FSWT变换，实现对信号的频率分段;

(3)对每个频率段进行FSWT反变换，得到多个信号，判断是否分离出源信号;

(4)若未分离出源信号，则选若干频率段进行反变换，得到相应的混合信号，与源信号组成新的混合矩阵，以满足欠定盲分离的维数要求;

(5)应用DSS方法对新的混合信号进行分离，求出源信号。

3 仿真分析

机械模拟源信号如下所示:

其模拟测量所获得的混合信号的波形及功率谱，如图1所示:

图1 混合信号波形及功率谱图Fig.1 The mixed signals and power spectral density(PSD)

选取式(8)所组成的混合信号进行分析，取时间切片区间为［0，1 s］，取 η =0.025，对混合信号的频率［0－300 Hz］区间进行切片分析，根据信号主要频率分布，从而分成三个频率区间，分别是:［0－150 Hz］、［50－300 Hz］、［0－300 Hz］。图2和图3分别是频率区间［0－150 Hz］FSWT反变换重构信号及功率谱图、时频及幅值图。

图2 FSWT重构信号及功率谱图Fig.2 The reconstruction signals and PSD by FSWT

图3 FSWT重构信号的时频及幅值图Fig.3Time-frequency and amplitude of the FSWT reconstruction signals

由图2和图3可知，在频率区间［0－150 Hz］未分离出源信号。在频率区间［50－300 Hz］、［0 －300 Hz］同样未分离出源信号，在此不在赘述。

图4 重构新混合信号波形及功率谱图Fig.4 The new reconstruction mixed signals and PSD by FSWT

图5 DSS分离后信号波形及功率谱图Fig.5 The separated signals and PSD by DSS

为实现对复杂信号的分离，任意选取混合矩阵的一条信号的频率区间［0－150 Hz］、［50－300 Hz］分别进行FSWT反变换得到两个混合信号，并与选取的信号组成新的混合矩阵。混合信号波形及功率谱图，如图4所示。随后，应用DSS方法对新的混合信号进行分离，得到源信号波形及频率图，如图5所示。从而说明FSWT-DSS方法可有效解决复杂混合信号的欠定盲分离问题。

4 工程应用

实验中具有故障的轴承转子在电机的带动下，以恒定角加速度升速，最终转子越过二阶临界转速。转子的一阶临界转速为1 600 r/min，二阶临界转速为6 080 r/min。采用传感器测量转子附近轴承下的振动，采集其径向振动信号。数据采样频率为512 Hz，采样数据点为16 384，测得观察信号由图6所示。取时间切片区间为［0，30 s］，取 η 为 0.025，信号的频率主要分布在［0－150 Hz］的范围内。对于观测信号，可设成［0－150 Hz］、［0 －250 Hz］两个频率段进行 FSWT反变换进行重构信号，增加混合信号的维数，满足DSS分离的要求。图6为观测信号的波形和功率谱图，图7为对观测信号进行FSWT反变换从而重构出的混合信号。

图6 观测信号波形及功率谱图Fig.6 The original signals and PSD

由图7和图8可知，对观测信号和由FSWT反变换重构的信号组成的混合信号组进行求解，转子观察信号中主要存在的一阶临界转速频率26.5 Hz、81.6 Hz和二阶临界转速的频率101.5 Hz。通过DSS分离后，振动较为明显的一阶临界转速附近响应信号和二阶临界转速附近响应信号得到很好的分离。因此，FSWTDSS方法能很好的分析实验室转子的故障信号。

图7 观测信号及其FSWT重构信号及功率谱Fig.7 The signals and PSD of FSWT reconstruction and original

图8 DSS分离后的信号波形及功率谱图Fig.8 The separated signals and PSD by DSS

5 结论

应用FSWT变换可灵活地实现信号的分割及时频分析功能，FSWT反变换可重构出新的混合信号。为此将FSWT方法与DSS理论相结合，有效解决了欠定盲分离问题。最后将FSWT－DSS方法应用于实测故障信号分析中，分析出信号的故障特征，验证了方法的有效性，为旋转机械的故障分析提供了一种新的手段。

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