李雨生， 郭镜明

(同济大学 数学系，上海 200092)

同济大学在一些工科专业开设了《数学分析》课程,但同学们学习上有较大的困难,甚至发生中途退回到普通高等数学班级的情况.为改变这一现象，作者在教学中作了一些改革尝试，其中之一是加强课程前后内容的整体性处理，引导学生总结数学分析的一般性规律，减少了困难. 此后有不少同学感到学习的乐趣,并转到了数学专业, 改变了以前基本上是从数学专业转向其它热门专业的单向流动情形.

1 注重系统归纳，总结基本问题的一般规律

微积分中，有一些基本问题.但是，同一问题的内容往往分散在不同的章节中.不少同学难以系统总结,觉得课程是知识碎片的堆积，不能前后贯通, 我们在教学中注意把同一基本问题的分散内容系统化.比如，求切线和切面是就是这样的一个基本问题.曲线和曲面的表达式形式很多, 我们在多元微分后引入如下的一般概括：

原理1对于一个n个变量u,…,x,y,z的方程F(u,…,x,y,z)=0所表示的n维空间的曲面S, 先求方程两端在点P0(u0,…,x0,y0,z0)处的微分，得dF|P0=0.再令

du=u-u0, …, dx=x-x0, dy=y-y0， dz=z-z0,

所得方程就是S在P0的切面的方程.

推论设L是由一个方程组表示的曲线，则由各个方程按原理1所得到的切面的交线就是切线.当S是由含参数的方程组所表示的曲面，则由各个方程两端微分后,再消去参数的微分，所得到的方程就是S的切面方程.

解先求方程组在P0的微分, 再消去du，得

(FxGu-GxFu)dx+(FyGu-GyFu)dy+(FzGu-GzFu)dz=0.

记A=(FxGu-GxFu)|Q0，B=(FyGu-GyFu)|Q0，C=(FzGu-GzFu)|Q0, 且把dx,dy,dz分别写成x-x0,y-y0,z-z0, 得到所求的切面方程

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

2 注重理解概念本质, 突出概念在计算中的运用

我们在教学中有概念“计算化”的倾向，就是把大量注意力转移到计算题上来，而忽视了对概念本质理解. 为避免这种情况，我们努力加强概念与计算之间的内在联系, 比如有一些重积分的计算，如果从积分本身出发(而不是套公式), 却常常可以简化. 下面给出积分Poisson公式的一个证明, 远比常规的证明简单.

例2(Poisson公式) 设函数f(x)连续，a,b,c为常数，Σ:x2+y2+z2=1，证明

3 注重连续与离散的联系，通过两者转化来化解难点

大学新生的学习有从静态逻辑到动态逻辑的转换的难点，这在极限问题中尤其明显. 我们通过连续变量离散化或离散变量连续化，加深学生对极限本质的认识，有效地化解难点. 比如数列极限的Stolz定理是一个有力的工具,但难以记住其成立的条件. 由于同学们对洛必达法则得心应手, 因此把Stolz定理作为洛必达法则的离散形式, 效果较好.

故所讨论的参变量广义积分在x∈[0,b]上一致收敛. 当取xn=An=n,则

{xn}⊆[0,+∞),An→+∞.