张海燕， 甘犬财， 许新琨

(解放军电子工程学院 数学教研室，合肥 230037)

1 引 言

2 广义调和级数

虽然广义调和级数是发散的，但是，它却有着十分重要的性质.

类似地，我们可以证明下列定理.

根据定理2,容易证明下列广义调和级数的性质.

性质1当n→∞时，

其中α为n→∞时的无穷小.

性质2当n充分大时,

上式说明广义调和级数的等价无穷大为lnn.

3 广义欧拉常数的性质

我们知道欧拉常数C(0)=0.57721566….对于常数c(0

性质4完全和公式

推论2奇数和公式

偶数和公式

推论3配对和公式

其中α与β为n→∞时的无穷小.所以

性质5广义欧拉常数与黎曼和的关系：

所以

(ii) 对于0

所以

性质6(近似夹公式) 设0

所以

同理

4 广义欧拉常数的求法

S(x)=xS1(x)-S2(x).

(i) 当ξ=2m+1,η=1时,

因此

同理η=2时,

(ii) 当ξ=2m,η=1时,

同理η=2时,

5 级数的和

s=A1C(c1)+A2C(c2)+…+ArC(cr).

解根据广义调和级数性质，及广义欧拉常数完全和公式推论1，有

其中γ为n→∞时的无穷小. 所以

[参 考 文 献]

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].6版.北京:高等教育出版社,2008.

[2] 刘玉琏.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,1988.

[3] 韩超.广义调和级数的推广[J].大学数学,2009,25(3):187-189.

[4] 黄力民,高等数学问题与思考[M],武汉:华中理工大学出版社,1995.