张帼奋

(浙江大学 数学系，杭州 310027)

在大学的理工农医经管类本科教学计划中，《概率论与数理统计》往往是一门必修课或是重要的选修课.如何学好这门课是学生迫切需要解决的问题，在教学中教师如何教学也对学习起着重要的影响.本文根据从教多年的体会，将教学中经常出现的典型问题提出来与读者讨论分析，希望得到同行和读者的宝贵意见.

目前我校使用的教材主要有张帼奋主编的《概率论，数理统计与随机过程》[1]和盛骤等编的《概率论与数理统计(第三版)》[2].我们认为在教学中最重要的是帮助学生建立正确的基本概念，掌握解决问题的基本方法，理清基本的解题思路.而要做到这些，从教师的角度就需要根据具体问题以及学生的情况，采用多种教学方法才能收到好的效果.下面通过教学中容易混淆出错或理解不到位的几个典型问题着重谈谈如何运用适合的教学方法，使学生更容易掌握知识.

1 事件的独立与不相容概念

在概率论中事件之间的关系主要有三种：包含关系(包括相等)，不相容关系和独立关系.其中不相容和独立关系对于初学者来说理解上会出现一些问题.汉语里“独立”是指关系上不依附、不隶属，“不相容”意思是不能同时并存；在数学里，设A,B是两个随机事件，A与B独立是指P(AB)=P(A)P(B)，A与B不相容是指AB=∅，即交集是空集.因此如果0

学生在学习这两个概念时，非常容易产生混淆，有时候将独立的情况当作不相容，有时候是将不相容当作独立.为了区别这两个概念，可以通过比较法，比如通过下面的例子给学生留下一个非常直观的印象：

设事件A与B分别表示甲与乙参加某个活动，已知P(A)=0.5，P(B)=0.4，要计算P(A∪B),P(AB)，即至少有一人参加活动的概率和两人同时参加的概率.其实只有这些条件，概率值是算不出来的，这里需要考虑A与B的关系.如果这两人根本不认识，也没有任何关系，这就是事件A与B独立，此时P(A∪B)=0.7,P(AB)=0.2；也许这两人是冤家对头，只要有一人参加活动，另一个一定不参加，此时事件A与B就是不相容关系，P(A∪B)=0.9,P(AB)=0；当然还有可能两人关系很好，一起参加活动的可能性很大，比如P(B|A)=0.7，则P(A∪B)=0.55,P(AB)=0.35.

由此可见，理解并掌握不同的事件关系得到的计算结果大相径庭，这就需要练好基本功，切不可自己乱加条件，出现这种一看到P(A∪B)，就用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)，一看到P(AB)，就用公式P(AB)=P(A)P(B)的错误.

2 随机变量分布函数的概念

设随机变量X的概率密度函数为

求X的分布函数F(x).

正确解法是

常见的错误可能有(i)

这是在密度函数大于0的两段计算不定积分，其他各段为0得到的.

第四段没有把(0,1)区间的积分加上.

通过一些典型例子，运用对比的方法，并让学生在课堂上参与练习，就能获得事半功倍的效果.

3 数学期望的概念

对于数学期望，常见的错误是将概率密度分段处理，结果数学期望变成了分段函数，如

这种错误的发生源于概念不清，把连续型随机变量的概率密度，分布函数，数学期望概念都混淆起来，所以在一开始讲到这些概念时需要通过实例、直观背景等，用启发和联想等多种教学手段建立一个清晰的概念，把它们的相互关系和区别理顺.

4 假设检验与区间估计

假设检验与区间估计既是两个不同的概念，它们之间的联系又是非常密切.

例如，设总体X～N(μ,σ2)，参数μ,σ2均未知，X1,…,Xn是来自总体X的简单随机样本，求μ的置信度为1-α的置信区间.

对于这个问题，书上一般都有现成公式，学生在这一部分的学习感觉就是背公式，这样就会出现不理解，死记硬背，导致用公式时张冠李戴.下面我们通过假设检验与区间估计的统计思想，基本原理来了解这两个不同的概念及它们的联系.

估计σ，且有

其中tα(n)是自由度为n的t分布的上α分位数.等价地，转化成熟悉的置信区间

下面考虑针对同一个总体，同一个样本，即总体X～N(μ,σ2)，参数μ,σ2均未知，X1,…,Xn是来自总体X的简单随机样本，以显著水平α检验假设H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0.

等价地

其含有未知参数σ，无法得到拒绝域，因此又将拒绝域形式修改为

由

确定出拒绝域为

最后，如果样本落入拒绝域中，就拒绝原假设，否则不拒绝原假设.

下面了解假设检验与区间估计的联系.从置信区间出发，将置信区间

中μ用原假设成立时的参数μ=μ0代人，再求逆事件，即为

刚好为拒绝域；反之，拒绝域的逆事件为接受域

等价地

将μ0作为参数，便得到置信区间.

在这部分教学中一定要将统计思想讲透，并且让学生自己动脑动手去实践.如果学生能够理解了置信区间的意义和假设检验的思想，并了解它们之间的联系，那么这两章节那么多的公式就都变得非常容易理解了.

总之，在教学中，遇到一个新的概念，新的思想，新的方法，都要用各种教学手段与已有的内容进行比较，找出它们的联系与区别，使学生的学习达到事半功倍的效果.

[参 考 文 献]

[1] 张帼奋，等. 概率论，数理统计与随机过程[M]. 杭州:浙江大学出版社， 2011.

[2] 盛骤,等，概率论与数理统计[M].3版. 北京:高等教育出版社,2001.