谢启鸿

(复旦大学 数学科学学院，上海 200433)

首先, 我们列举多项式理论中的两个基本结果.

引理1设f(x)是域上的n(n≥1)次多项式, 则f(x)在中至多只有n个根.

引理2设f(x)与g(x)是域上次数不超过n的两个多项式, 如果存在中n+1个不同的数b1,…,bn+1使得f(bi)=g(bi), 1≤i≤n+1, 则f(x)=g(x).

引理1和引理2的证明如果是数域, 引理1和引理2分别是教材[1]的命题5.5.1和推论5.5.1. 如果是一般的域, 则上的一元多项式环[x]是欧氏整区, 从而是唯一分解整区 (可参考教材[2]的第3.7节). 利用多项式f(x)的不可约因式分解即可证明引理1, 而引理2则是引理1的简单推论.

摄动法是矩阵理论中的常用方法, 它利用连续函数的性质将一般矩阵问题的讨论转化为对非异阵的讨论. 我们将摄动法的原理描述如下. 设A是数域上的n阶方阵, 则行列式|tIn+A|是关于未定元t的n次首一多项式. 由引理1知, |tIn+A|在中至多只有n个根. 因为任一数域都包含有理数域, 所以可以在中取到一列有理数tk→0, 使得tkIn+A都是非异阵. 如果一个矩阵问题对非异阵成立, 特别地对tkIn+A成立, 并且关于tk连续, 则最后可让tk→0, 得到该问题对一般的方阵A也成立.

注 摄动法处理的矩阵问题一定要关于tk连续, 这一点十分重要, 否则将不能用摄动法来归结处理. 一般来说, 运用摄动法的步骤分为两步, 即先处理非异阵的情形, 然后再利用摄动以及取极限得到一般情形的证明.

下面我们先举一个简单的例子来说明摄动法的应用.

例1设为数域,A,B∈Mn(), 证明(AB)*=B*A*, 其中A*为A的伴随阵.

证若A,B均为非异阵, 则A*=|A|A-1,B*=|B|B-1, 从而

(AB)*=|AB|(AB)-1=|A||B|(B-1A-1)=(|B|B-1)(|A|A-1)=B*A*.

对于一般的方阵A,B, 可在中取到一列有理数tk→0, 使得tkIn+A与tkIn+B均为非异阵. 由非异阵情形的证明知

((tkIn+A)(tkIn+B))*=(tkIn+B)*(tkIn+A)*.

(1)

注意到(1)式两边均为n阶方阵, 其元素都是tk的多项式, 从而关于tk连续. 令tk→0, 两边同时取极限, 即有(AB)*=B*A*成立.

我们将这一原理描述如下. 设A是域上的n阶方阵, 则行列式|tkIn+A|是关于未定元t的n次首一多项式. 设|tIn+A|在域中的根的全体为集合R, 则由引理1知#R≤n, 其中#表示集合的元素个数. 如果一个矩阵问题对非异阵成立, 则对任意的tIn+A都成立, 其中t∈R. 从而可以得到一个类似于(1)的等式, 两边的元素都由关于t的多项式组成.设这些多项式次数的最大值为N. 如果域满足#>n+N, 则#(R)>N, 从而由引理2可得: 等式 (1) 其实是关于t的多项式的恒等式. 特别地, 取t=0, 则可以得到该问题对一般的方阵A也成立.

引理3设是特征等于素数p的有限域, #=pm, 则对任意的正整数r, 存在的有限扩张, 使得[:]=r, 此时#=(#)r=pmr.

证这由教材[2]第4.8节的定理8-1和推论8-2即得.

我们将给出四个例子说明上述原理. 首先, 将例1推广到一般的域上.

例2设A,B∈Mn(), 证明(AB)*=B*A*, 其中A*为A的伴随阵.

证注意到(AB)*,B*A*都是上的n阶方阵. 如果⊆为扩域且把A,B看成是上的n阶方阵, 则(AB)*=B*A*在上成立当且仅当(AB)*=B*A*在上成立. 因此由引理3, 不妨设的元素个数充分多, 即大于任一事先给定的正整数. 设RA={t∈||tIn+A|=0},RB={t∈||tIn+B|=0}, 则由引理1知#RA≤n, #RB≤n.

若A,B均为非异阵, 则同例1的证明可得(AB)*=B*A*. 对于一般的方阵A,B, 任取t∈(RA∪RB), 则tIn+A,tIn+B均为非异阵. 由已证的情形知

((tIn+A)(tIn+B))*=(tIn+B)*(tIn+A)*

(2)

对任意的t∈(RA∪RB)都成立. 注意到上式两边都是n阶方阵, 其元素分别设为fij(t),gij(t), 其中fij(t),gij(t)都是关于t的多项式且次数都小于等于2n-2. 由(2)式可得

fij(t)=gij(t), ∀t∈(RA∪RB), ∀1≤i,j≤n.

事实上, 摄动法和上述原理不仅可以将一般矩阵问题的讨论转化为对非异阵的讨论, 更广泛地, 还可以转化为对满足某种开性条件的矩阵的讨论. 例如, 方阵A为非异阵当且仅当|A|≠0, 因此非异性是一个开性条件. 又例如, 设方阵A的特征多项式为f(λ), 则A的全体特征值互不相同当且仅当f(λ)与其形式导数f′(λ)互素 (教材[1]的定理5.4.3), 这也等价于结式R(f(λ),f′(λ))≠0 (教材[1]的推论5.10.1), 因此全体特征值的互异性也是一个开性条件. 下面我们将利用上述原理证明一般的域上的Cayley-Hamilton定理.

例3设A∈Mn(),f(λ)=|λIn-A|为A的特征多项式, 证明f(A)=O.

证因为结论只在中, 与扩域无关, 故不妨设的元素个数充分多并且包含特征多项式f(λ)的分裂域. 设λ1,…,λn∈为A的全体特征值, 则f(λ)=(λ-λ1)…(λ-λn). 先设λ1,…,λn互不相同, 则存在非异阵P∈Mn()使得P-1AP=Λ=diag{λ1,…,λn}. 于是

P-1f(A)P=f(Λ)=(Λ-λ1In)…(Λ-λnIn)=O, 故f(A)=O.

为上三角阵. 令

则对任意的t∈R,At均有n个互不相同的特征值. 由已证的情形知

(At-(λ1+tμ1)In)…(At-(λn+tμn)In)=O

(3)

对任意的t∈R成立. 注意到 (3) 式左边是一个n阶方阵, 其元素均为t的多项式且次数小于等于n. 由于的元素个数充分多, 故可设#(R)>n, 由引理2知(3)式左边n阶方阵的每个元素都是零多项式, 即(3)式是恒等式. 特别地, 取t=0可得

f(A)=(A-λ1In)…(A-λnIn)=O.

例4设A∈Mn(), 证明: 存在g(x)∈[x]使得A*=g(A).

证设特征多项式f(λ)=|λIn-A|=λn+a1λn-1+…+an-1λ+an, 其中ai∈且an=(-1)n|A|. 由Cayley-Hamilton定理 (例3) 可得

An+a1An-1+…+an-1A+anIn=O.

A*=(-1)n-1(An-1+a1An-2+…+an-1In).

(4)

令g(x)=(-1)n-1(xn-1+a1xn-2+…+an-1)∈[x], 则A*=g(A)并且g(x)只由A的特征多项式中的n个系数所决定.

设A∈Mn()为一般的方阵, 我们仍要证明 (4) 式成立. 注意到g(x)只与A的特征多项式有关, 与的扩域无关, 故不妨设的元素个数充分多. 设R={t∈||tIn+A|=0}, 则对任意的t∈R,tIn+A都是非异阵. 设tIn+A的特征多项式为

ft(λ)=|λIn-(tIn+A)|=λn+a1(t)λn-1+…+an-1(t)λ+an(t),

其中ai(t)∈[t]且ai(0)=ai(A的特征多项式的系数). 由已证的情形知

(tIn+A)*=(-1)n-1((tIn+A)n-1+a1(t)(tIn+A)n-2+…+an-1(t)In)

(5)

对任意的t∈R成立. 注意到(5)式两边都是n阶方阵, 其元素均为关于t的多项式且次数小于等于n-1. 由于的元素个数充分多, 故可设#(R)>n-1, 由引理2知(5)式两边作为多项式矩阵必恒等. 特别地, 取t=0可得 (4) 式对一般的方阵A都成立.

例5设A,B∈Mn()且AB=BA, 证明

证因为结论只在中, 与扩域无关，故不妨设的元素个数充分多. 若A为非异阵,则由降阶公式以及A,B的交换性可得

设A为一般的方阵,R={t∈||tIn+A|=0}, 则对任意的t∈R,tIn+A均为非异阵且与B可交换. 由已证的情形知

(6)

对任意的t∈R成立. 注意到(6)式两边都是关于t的多项式且次数等于2n. 由于的元素个数充分多, 故可设#(R)>2n, 由引理2知(6)式两边的多项式必恒等. 特别地, 取t=0可得结论对一般的方阵A都成立.

在复旦大学数学科学学院本科生代数课程的教学过程中, 当学生学完近世代数回过头来看高等代数时, 我们经常鼓励他们思考这样一个问题: 能否将高等代数中数域上的相关概念、定理和理论等推广到一般的域上, 或者进一步推广到一般的环和模上呢? 通过多年的教学实践, 我们发现让学生思考这个问题对他们代数能力的提高起到了很大的促进作用.

事实上, 本文列举的四个例题 (例2-例5) 在一般的带有单位元的交换环上都成立, 它们的证明需要用到多元多项式的相关技巧, 由于篇幅关系, 不再赘述. 而本文所阐述的利用多项式的技巧替代摄动法的原理, 则从某种程度上说应该是思考上述问题时得到的一些成果, 希望能对大学数学系本科生学习高等代数和近世代数提供一些引导和帮助.

致谢在本文的撰写过程中, 得到了复旦大学数学科学学院姚慕生教授、吴泉水教授、朱胜林教授的热心指导和大力斧正, 在此谨表示衷心的感谢.

[参 考 文 献]

[1] 姚慕生, 吴泉水. 高等代数学[M]. 2版. 上海: 复旦大学出版社, 2008.

[2] 姚慕生. 抽象代数学[M]. 2版. 上海: 复旦大学出版社, 1998.