袁志玲

(江南大学 理学院，江苏 无锡 214122)

1 引 言

为贯彻落实党的十七大提出的走中国特色新型工业化道路、建设创新型国家、建设人力资源强国等战略部署、贯彻落实《国家中长期教育改革和发展规划纲要》和《国家中长期人才发展规划纲要》，教育部率先启动了一项高等教育重大改革计划——“卓越工程师教育培养计划”. 其主要目标是面向工业界、面向世界、面向未来，培养造就一大批创新能力强、适应经济社会发展需要的高质量各类型工程技术人才.“卓越工程师教育培养计划”强调对学生工程实践能力、工程设计能力与工程创新能力的培养，需要创立高校和企业联合培养机制，这对高校人才培养模式提供了新的机遇和挑战，特别是对课程体系、教学内容与教学模式提出了新的要求.2011年1月8日 教育部关于实施卓越工程师教育培养计划的若干意见中关于高校卓越工程师教育培养计划的组织实施中提出建设高水平工程教育师资队伍，大力改革课程体系和教学形式.

而高等数学是所有工科专业学生的必修基础课，它提供的数学思想、数学方法和理论知识不仅是后继专业课的重要工具，更是在实践操作中更新知识、拓宽专业，培养学生工程能力、实践能力和创新能力的重要理论基础.因此有必要对卓越工程师培养中的高等数学的教学改革进行研究.

我校作为首批实施“卓越工程师教育培养计划”高校之一，对该计划给予了高度的重视和关注，精心组织，周密部署，于2010年11月26日成功举办部属行业背景高校 “卓越工程师教育培养计划”工作进展交流会.学校多次召开"卓越工程师教育培养计划"专题研讨会，深入研究该项计划的内涵、目标、任务和实施过程，不断完善实施该项计划的具体工作方案，动员师生积极参与，逐步形成了试点专业改革创新、非试点专业积极关注、全校空前关注工程教育质量提升计划的良好态势.我们长期从事数学教育研究，同时又为为食品，纺服，通信、电气、土木、光科等不同工科专业的学生讲授数学基础课.结合我们的教学实践和卓越工程师的培养理念，我们将对基于卓越工程师培养的高等数学教学方法或策略进行探讨与分析，以期使学生通过高等数学的学习，能具备良好的数学基础、数学素养.使高等数学课程能更好地满足“卓越工程师教育培养计划”实施中对数学的要求.提高“卓越工程师培养计划”的实施效果.

2 基于卓越工程师培养的高等数学教学策略

2.1 高等数学教学与学生的专业背景和生活实际相结合，激发学生的学习兴趣和积极性

学生要为专业课学习和工程设计、工程实践等准备良好的数学基础，要学好高等数学，首先要有学习的兴趣和积极性.目前，大学生学习高等数学的积极性并不高，在大多数学生眼中，高等数学是枯燥的[1].在高等数学的教学中，经常有学生会问“老师，学习高等数学有什么用？”针对这种情况，我们在高等数学教学中可以把高等数学知识与学生的专业和现实生活实际相结合，使学生了解学习高等数学的必要性和重要性，以激发学生学习高等数学的兴趣和积极性.例如，在为通信专业的学生讲授级数的内容时，我们可为学生介绍级数在信号处理中的作用.又如，对于气象专业的学生，学习了二重积分求曲面面积的方法后，我们可为学生设置下面的任务.设有一颗要拍摄气象云图的地球同步轨道气象卫星，它距地面的高度为h=25600km，假设其运行的角速度与地球自转的角速度相同.要观测到整个地球上的云层覆盖和地表面特征，需要使用几颗这样的卫星？这是一个有关气象卫星拍摄卫星云图的天文学问题，气象专业的学生会比较感兴趣，于是学习的积极性立时会被调动起来.这时教师可引导学生去探索这样的一个气象问题中蕴含的数学成分，考虑如何建立数学模型进行解答.

教师引导学生在课堂上用二重积分解决这样的一个与专业有关的问题，不仅可以激发学生的学习兴趣，而且还可以使学生更好地理解二重积分，了解二重积分的应用.

再如，学习了一阶微分方程的解法后，我们可为学生设置这样一个实际问题.

一起交通事故发生3小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是56%(mg/ml).又过两个小时，含量降为40%(mg/ml)，试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定(不超过80%(mg/ml))(假设血液中酒精浓度递减率与酒精浓度成线性关系).这是 一个与现实生活息息相关的问题，学生比较感兴趣.刚看上去，这是个交通问题好像与数学没有关系，其实仔细分析，这是一个一阶微分方程初值问题.由假设酒精浓度递减率模型是一阶微分方程：C′=-kC，其中C为t时刻酒精的浓度，k>0，而且由题设可知，C(3)=56,C(5)=40.容易解得其通解为C(t)=C(0)e-kt，其中C(0)即为所求.再由条件C(3)=56,C(5)=40可解得k≈0.17,C(0)=94.通过数学上的计算，我们知道事故发生时，司机血液中酒精浓度已超过规定.学生在用所学的微分方程知识解决这样的实际问题的过程中，不仅能更好地理解微分方程及其解法，而且还能了解数学在现实生活中的应用，更能体会到学习的乐趣.

2.2 高等数学教学中渗透数学史知识，体现数学文化，使学生理解数学的思想、精神和思维方法

实际上，学生在工程实践中或在毕业后走入社会，他们学过的具体的数学定理、公式可能不一定能用上，而深深铭刻在头脑中的数学的思想、精神、数学的思维方法和看问题的着眼点等，却会随时随地发生作用，甚至使他们终生受益.因此在高等数学教学中，教师在传授知识的同时，还要有意识地渗透数学文化、提高学生的数学素养.

数学史中不仅介绍了数学知识的来源与数学的应用，而且还蕴含了一些数学家的创造性思维方法和探索精神，在高等数学教学中穿插一些数学史知识不仅能激发学生的学习兴趣、促进学生对数学的理解、而且还能使学生了解知识的来龙去脉，提高学生的应用能力和创新能力.如，当学习了“无穷小量”的概念后，许多学生对“无穷小量”的概念有些模糊，于是我们可为学生介绍数学史上牛顿求瞬时速度的方法.

问题：设质点的运动规律为S(t)=t，求物体在t时刻的瞬时速度.

牛顿的求法是先求ΔS，

ΔS=S(t+Δt)-S(t)=(t+Δt)2-t2=2tΔt+(Δt)2.

(1)

然后(1)式两边同除以Δt，得到

(2)

最后，令Δt=0，求得物体在t时刻的瞬时速度为2t.

英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论.贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？在推出(2)式时，假定了Δt≠0才能做除法，所以(2)式的成立是以Δt≠0为前提的.那么，为什么又可以让Δt=0而求得瞬时速度呢？因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从 5×0=3×0出发，两端同除以0，得出5=3一样的荒谬.

现在我们有了极限的概念，回到牛顿的(2)式上.这是在Δt≠0条件下，得到的等式，它表明Δt时间内物体的平均速度为2t+Δt.(2)式等号两边都是Δt的函数.然后，我们把物体在t时刻的瞬时速度定义为：上述平均速度当Δt趋于0时的极限.下边我们对(2)式的等号两边同时取极限，根据“两个相等的函数取极限后仍相等”及“两个函数和的极限等于极限的和”，得t时刻的瞬时速度为2t.

当时牛顿因不能正确解释无穷小量而遭到抨击，后来有了极限概念我们才能正确理解无穷小量.这样学生不仅能更好地理解“无穷小量”是一个极限为零的变量(零是唯一的常数无穷小量)的意义，同时也进一步理解数学的逻辑性与严谨性，并了解到知识的逻辑顺序与历史顺序有时是不同的.

再如，讲到弧微分时，我们介绍巴罗的“微分三角形”，并介绍1669年巴罗将卢卡斯教授职位让与他的学生牛顿的光荣事迹；讲到无穷级数时，我们引用芝诺的一个悖论——阿基里斯(Achilles)追不上乌龟等等.通过在高等数学教学中介绍相关的一些数学史知识和数学家的事迹，不仅可以开阔学生的视野、使学生理解数学的思想、精神和思维方法，而且还可以激发学生学习兴趣和探索欲望，提高学生的数学素养.

2.3 设置一些高认知水平任务，培养学生高层次的思维能力和自主学习能力

“卓越工程师教育培养计划”强调对学生工程实践能力、工程设计能力与工程创新能力的培养.但“创造性思维是难以模拟和复制的，……创造性思维一经传授就失去了创造意义”[2].“创造性”是“教”不出来的，而是鼓励和培养出来的，它需要生长环境[3].高认知水平任务具有非常规性、情景性、开放性、引导性、合作性、主动探究性、创新性等特征[4]，为学生提供了运用高水平的思维和推理的机会，日复一日，学生从高水平任务中体验到的累积效果，就在于学生对数学本质的认识得到潜在的发展，创新精神和创造能力得到提高[5].另外，高认知水平数学任务要求学生在教师引导下通过独立思考、积极探索、自我激励、合作交流等探索解决问题的策略或方法、主动建构知识，高认知水平任务实施中，教师不会把知识直接告诉学生，学生获得知识主要靠自己，要对自己的学习负责，自主学习[6].因此，在数学教学中要根据学生的实际情况，精心创设一些高认知水平任务，发展学生问题解决、创造性思维、批判性思维以及自我反思[7]等高层次的思维能力，同时培养学生的自主学习的能力.

学生学习了重积分的计算后，我们可为学生设置下面的任务.在一形状为旋转抛物面z=x2+y2的无刻度容器内盛有汽油，工人师傅由液面高度就知道容器内盛有多少升汽油，你能解释为什么吗？

这是一个有工人师傅如何由液面高度确定汽油体积的问题，问题可能有多种解答方式，但问题本身没有暗示一种特定的或预演好的解决方法.学生要完成任务，必须具有一定的数学洞察力，仔细考虑问题情境，发现实际问题中蕴含的数学成分，并启用相关的知识和经验(数学中求体积的一些方法)，创造性地加以应用，找到一种解决问题的合理的方式.所以任务具有非常规性、情境性和开放性特征，属于高认知水平数学教学任务.

(3)

由此可看出，容器内石油体积确实是液面高度的函数，所以工人师傅由液面高度就知道容器内盛有多少升汽油.

另外，学生可能还能发现：z=h与z=x2+y2围成的立体体积也可看做是由以D:x2+y2≤h为底以z=h为顶的圆柱体与以D:x2+y2≤h为底以z=x2+y2为顶的曲顶柱体的体积之差.因为二重积分可以求曲顶柱体体积，所以问题也可用二重积分解决，即

(4)

这样，教师引导学生通过独立思考、小组讨论，运用发散思维讨论和创造性思维探索多种解决问题的过程中，不仅可以使学生开阔思路、深刻理解定积分、二重积分和三重积分的关系和应用范围，而且还可以使学生掌握运用数学知识解决实际问题的策略或方法，逐步学会用数学的眼光审视实际问题，以提高学生的创新能力、应用能力、数学洞察力以及自主学习能力.

2.4 引导学生概括总结，发掘知识之间的内在联系，强调知识的连贯性，使学生形成良好的认知结构

在高等数学的教学中，经常听到学生抱怨说高等数学的知识太多，学着后面的又把前面的掉了，甚至，在专业课学习和工程设计或工程实践中需要用到高等数学知识时，却早已忘得一干二净或不知如何应用.所以我们在教学中要引导学生概括总结，抓住问题的实质，掌握知识的整体结构，形成良好的认知结构.这不仅能使学生更好地理解数学而且也为学生在后继专业课学习中应用数学知识以及在工程设计、工程实践中应用高等数学知识解决实际问题打下了良好基础.

例如，我们学习了高等数学中的曲面积分后，可以引导学生将定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分和第一类曲面积分从定义、积分区域和物理意义的角度进行概括、总结.它们的定义非常类似，都归结为求某个和式的极限，而定义域分别是数轴上的某区间、二维空间中某平面区域、三维空间某立体区域、平面曲线或空间曲线上的某弧段和三维空间中的某曲面.另外，它们的物理意义又分别可看作是求一直线形物体的质量、平面薄片的质量、空间立体的质量、曲线形物体的质量和曲面的质量.这样，通过发掘不同积分之间的区别和内在联系，不但可使学生更好地理解积分思想，而且这样形成的认知结构在以后的专业课学习和社会实践中更容易从脑海中提取和应用.

再如，我们讲到利用定积分的元素法求平面曲线的弧长时将弧长元素与以前学习的弧微分联系，然后以参数方程作为一般形式推导出四种形式的弧长元素的计算公式.当学到对弧长的曲线积分的计算公式时我们再与平面曲线的弧长元素进行联系，以学生已经掌握的弧长元素的计算公式作为知识的固着点，学生自己就能推导出对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分的计算公式.这样通过引导学生概括总结，注意知识的连贯性，即使是普遍认为比较难的曲线积分，学生竟能探索推导出其计算公式.这不仅使学生更容易地掌握新知识，形成良好的认知结构，而且能激发学习主动性与积极性，激发学生的探索欲望.

2.5 注重培养和发展学生的元认知监控能力

元认知监控是为了达到认知的目标，而在进行认知活动的全过程中，将自己正在进行的认知活动作为意识的对象，不断地对其进行积极、自觉的计划、监察、检查、评价、反馈、控制、和调节的过程[8].从动态的角度看，元认知监控就是元认知.元认知监控能帮助学生在自觉地意识状态下学习，通过对认知过程的计划监控评价和调节，最后真正学会学习.

如学生在参与并完成上述高认知水平任务的过程中，教师首先可引导学生明确问题、抓住问题的本质并对问题进行表征.如需要解决的是：探索出容器内石油体积与液面高度的关系；而已知的是容器是无刻度的，形状是转抛物面z=x2+y2.然后，当学生探索出一种或几种解决方案时，教师引导学生解释自己的思维过程.这可帮助学生调理自己的思维，使思维更清晰.最后，引导学生总结、反思、评价.如有的学生可能只想到用二重积分计算，这时，教师引导学生反思：为什么能想到用二重积分计算？为什么没能想到用三重积分或定积分？同时让学生在反思、总结的过程中进行自我评价.这样，教师在教学中通过有意识地培养学生的元认知监控能力，可使学生逐渐地学会学习，这不仅可使学生学好高等数学,而且在学生后继课学习以及在工程设计和工程实践中发挥着非常重要的作用.

3 结 论

基于卓越工程师培养的高等数学教学中，要时刻把握高等数学课程要为学生专业课学习以及工程实践提供数学知识、数学思想和数学方法，要培养学生用数学的眼光看待工程实践问题的能力.因此在高等数学教学中，教师要根据高等数学课程的特点，结合“卓越工程师教育培养计划”强调的“厚基础、重实践、强能力、求个性”的人才培养模式，有意识地引导、启发学生，帮助学生理解数学的实质、精髓，使学生具备“卓越工程师教育培养计划”提出的工程型人才要具有的数学素养.

[参 考 文 献]

[1] 李雯.浅谈高等数学教学中的策略[J].教育理论与实践,2009,29(5)：41-42.

[2] 郭思乐，喻平.数学思维教育论[M].上海:上海教育出版社,2000.

[3] 黄全愈.素质教育在美国[M].广州:广东教育出版社,1999.

[4] 袁志玲, 陆书环.高认知水平数学教学任务的特征分析[J].数学教育学报,2006，15(4)：24-28.

[5] Stein M K, Smith M S.Mathematical tasks as a framework for reflection: From research to practice[J]. Mathematics Teaching In The Middle School.1998, 3(4), 268-275.

[6] 袁志玲, 陆书环.高认知水平数学教学任务的教学意义及启示[J].数学教育学报,2008,17(6)：37-40.

[7] 刘儒德.基于问题学习对教学改革的启示[J].教育研究，2002,265(2):12-16.

[8] 程素萍.元认知思想的历史演变[J].心理科学,2002,25(3):377-378.