司 林

(北京林业大学理学院，北京100083)

1 引 言

判断一个向量组的线性关系(即线性相关还是线性无关),一方面可以考虑用定义，把问题转换为判断相关方程组是否有非零解，另外的常用方法就是应用下面的定理：

定理1[1]设α1,α2,…,αt与β1,β2,…,βs是两个向量组.如果

(i) 向量组α1,α2,…,αt可以经β1,β2,…,βs线性表出；

(ii)t>s，

那么向量组α1,α2,…,αt必线性相关.

上面的定理在判断向量组的线性关系时起着很重要的作用，与它等价的一个命题则给我们提供了比较向量个数的重要方法，即

定理2[1]设α1,α2,…,αt与β1,β2,…,βs是两个向量组.如果

(i)向量组α1,α2,…,αt可以经β1,β2,…,βs线性表出，

(ii)向量组α1,α2,…,αt线性无关，

那么t≤s.

事实上，定理2只是与定理1等价的众多命题中的一个，当然也是常用到的重要的一个.

在本文中，我们从命题逻辑的角度分析了定理1的结构，不论是定理1还是定理2，它们较在大学数学课程中碰到的一般数学命题的结构都要复杂一些.在分析定理1的逻辑结构的基础上，讨论了所有与它等价的命题，其中也包括了定理2.我们认为本文中的分析方法对于人们很好的理解其它复杂结构的命题也是有益的.

2 定理1的逻辑结构及其等价命题

把上面定理1中的简单命题抽取出来[2]，并且记

p：向量组α1,α2,…,αt可以经β1,β2,…,βs线性表出；

q：向量组α1,α2,…,αt中所含向量的个数大于向量组β1,β2,…,βs中所含向量的个数；

r：向量组α1,α2,…,αt线性相关.

注1 (i)以上面文字表述的以q代表的命题替代了定理1中的条件(ii)t>s；

(ii)向量组α1,α2,…,αt与向量组β1,β2,…,βs中所含向量的维数相同.

下面利用命题逻辑中的等值演算来更为一般的揭示与定理1等价的命题.

情况Ⅰ 由于

这样可得与定理1等价的如下命题.

命题1设α1,α2,…,αt与β1,β2,…,βs是两个向量组.如果向量组α1,α2,…,αt可以经β1,β2,…,βs线性表出，那么向量组α1,α2,…,αt中所含向量个数小于等于向量组β1,β2,…,βs中所含向量个数或者向量组α1,α2,…,αt线性相关.

注2 在此处用到的逻辑联接词“∨”是“相容或”，亦即如果复合命题p∨q为真，则有三种情况发生：(i)命题p为真；(ii)命题q为真；(iii)命题p与命题q均为真.

这样的话，在命题1中结论“向量组α1,α2,…,αt中所含向量个数小于等于向量组β1,β2,…,βs中所含向量个数或者向量组α1,α2,…,αt线性相关”也就蕴含了三种情况：

(i)向量组α1,α2,…,αt中所含向量个数小于等于向量组β1,β2,…,βs中所含向量个数；

(ii)向量组α1,α2,…,αt线性相关；

(iii)向量组α1,α2,…,αt中所含向量个数小于等于向量组β1,β2,…,βs中所含向量个数并且向量组α1,α2,…,αt线性相关.

在后面涉及的诸多命题中，如果结论以“或”相连接，也会有三种相应的情况，我们不再一一说明.另外，等值演算的具体过程也将被略去.

命题2设α1,α2,…,αt与β1,β2,…,βs是两个向量组.如果向量组α1,α2,…,αt中所含向量个数大于向量组β1,β2,…,βs中所含向量个数，那么向量组α1,α2,…,αt不能由向量组β1,β2,…,βs线性表出或者向量组α1,α2,…,αt线性相关.

命题3设α1,α2,…,αt与β1,β2,…,βs是两个向量组.如果向量组α1,α2,…,αt线性无关，那么向量组α1,α2,…,αt中所含向量个数小于向量组β1,β2,…,βs中所含向量个数，或者向量组α1,α2,…,αt不能由向量组β1,β2,…,βs线性表出.

命题4设α1,α2,…,αt与β1,β2,…,βs是两个向量组.如果向量组α1,α2,…,αt可以经β1,β2,…,βs线性表出且向量组α1,α2,…,αt线性无关，那么向量组α1,α2,…,αt中所含向量个数小于或等于向量组β1,β2,…,βs中所含向量个数.

注3 命题4即为上面的定理2.

可以像上面所做的那样不断地对定理1对应的命题公式作等值演算，这样可以得到众多的等价命题，其中有一些是乏味的，如命题3.另外也有一些命题是很有意义的，如命题4.通过这样的演算，对两个重要的常用结果(即上文中的定理1和定理2)的结构有了更清晰的认识，也可以更好地把握它们之间的联系.

3 结 论

一般来讲，分析命题的结构的常用方法就是考虑它们的逆命题，否命题，以及最重要的逆否命题.这样的方法对于分析简单的命题结构，特别是p→q,即“如果…,那么…”型的命题是有效的.但在高等数学里所处理的一些重要命题(如第一节的定理1，定理2)一般结构要复杂些，这时考虑用简单的数理逻辑的方法来分析它们的结构，分析命题间的内在联系就很方便了.

注4 本文仅以命题逻辑为工具对特定的一些命题做了分析.另外，如有必要，也可以考虑用谓词逻辑作更为精细但也更为复杂的结构分析，在此不再举例

致谢本文是作者于2012.9-2013.9期间在北京大学数学科学学院访问时完成的，在此作者非常感谢北京大学数学科学学院宗传明教授一贯的支持和帮助.

[参 考 文 献]

[1] 王萼芳，石生明修订． 高等代数 [M]. 3版. 北京：高等教育出版社，2003:123-125．

[2] 屈婉玲，耿素云，张立昂． 离散数学[M]．北京：高等教育出版社，2008:16-38．