周卫东

除了国家课程规定的数学课本上的学习内容外，还有怎样的内容也可以作为“课程”进入学生的学习视野呢？

我一直在思考，也一直在探索。直到这一天，班上一位名叫许诺的学生写了一篇数学日记，使我看到了努力的方向——

从三角形到椭圆

2013年4月8日 星期一 晴

今天，周老师给大家出了一道练习题：有两根小棒，分别长14厘米和12厘米，可以把其中的一根剪成两段，然后围成一个三角形，有几种不同的围法？

大家讨论后，我们对这道题形成了如下统一的想法：（1）不能把12厘米长的小棒作为截断对象，只能剪14厘米长的小棒，因为14厘米>12厘米，无法形成三角形；（2）拆分14厘米长的小棒时，分成“1+13”厘米不能围成三角形，就变成一条重叠的线段了，因为1+12=13（厘米）；（3）假如只考虑整数，就有6种可能，（12，2）、（11，3）、（10，4）、（9，5）、（8，6）、（7，7）；（4）如果考虑小数，就有若干种可能。

回家后，我进一步思考：可以用一根12厘米长的小木棍和一条14厘米长的软绳子来做模拟实验。

先把绳子两头固定在木棍两端（A与B），然后用笔圈住绳子画曲线，这条曲线上的每个点C到木棍两端的距离之和就是AC+BC=14（厘米）。所以说，这条曲线上所有的点都是我们要寻找的答案。

如果把整条曲线完整地画出来，我惊奇地发现是一个椭圆！

在此基础上，本题的解题方法可以用图形来很直观地解答：可以以A点为圆心，画直径不同的圆，圆和椭圆的交点就是我们要找的目标点。如上图所示：画半径为4厘米的圆，和椭圆在C点相交。将C点分别与A、B两点连线，AC=4厘米，BC=10厘米。图中实线所示，就是我们要寻找的三角形。

是不是很神奇啊？

我完全被许诺同学奇特的想法惊呆了！

第二天，我把这则日记在班上介绍后，引来了阵阵啧啧的赞叹声。我趁热打铁：“同学们，一般情况下，我们只是满足于一般的结论，很少有人再往前跨一步。许诺同学能从一般的内容里找到不一般的发现，能从看上去已经解决了的问题中找到解决问题的新思路，这种学习就好比‘在石头里看到了风景，真难得呀！”

随后，学生表达了强烈的兴趣，他们纷纷发言：“老师，我们以后也要学会从石头里看风景！”“老师，以后如果我们在石头里看到了风景，也能在班上介绍吗？”“老师，我建议把班上所有从石头里看到的风景都汇编起来！”……

我的兴奋难以抑制；“同学们，你们的建议太好了！以后就按大家的建议来做，让我们共同努力，行吗？”

其实，我没告诉学生，这种内容就是一种“微型课程”雏形。

…………

一年过去了，属于我们四（6）班的“微型课程”已经编撰完成，而且有一个形象的名字——“石头里看风景”。里面收录着《最强大脑诞生记》《解决生活小难题：倒油》《巧算红薯体积》《6的倍数的特征》《3的倍数再认识》等五十多篇小文章。

翻看着这本装帧并不精美、内容还很幼稚的“书本”，学生爱不释手，因为他们知道：这是属于他们自己的“课本”。

是的，基于普通的教学内容，基于常态的教学过程，引导学生把他们非常规的思维、独特的思路、具有创造性的想法、个性化的设计、不一般的发现、不寻常的数学探索经历等内容诉诸文字（体裁不限），定期加以整理并形成序列，可以用来复习巩固、拓展延伸、思维训练，也可以作为数学阅读的素材。这样的内容，正是一种实用的、鲜活的数学“微型课程”。这种“课程”，问题发端于学生，内容整理于学生，最终服务于学生。这种“课程”，才是真正意义上源于学生、为了学生、学生自己的课程。

（作者单位：南京师范大学附属小学）

除了国家课程规定的数学课本上的学习内容外，还有怎样的内容也可以作为“课程”进入学生的学习视野呢？

我一直在思考，也一直在探索。直到这一天，班上一位名叫许诺的学生写了一篇数学日记，使我看到了努力的方向——

从三角形到椭圆

2013年4月8日 星期一 晴

今天，周老师给大家出了一道练习题：有两根小棒，分别长14厘米和12厘米，可以把其中的一根剪成两段，然后围成一个三角形，有几种不同的围法？

大家讨论后，我们对这道题形成了如下统一的想法：（1）不能把12厘米长的小棒作为截断对象，只能剪14厘米长的小棒，因为14厘米>12厘米，无法形成三角形；（2）拆分14厘米长的小棒时，分成“1+13”厘米不能围成三角形，就变成一条重叠的线段了，因为1+12=13（厘米）；（3）假如只考虑整数，就有6种可能，（12，2）、（11，3）、（10，4）、（9，5）、（8，6）、（7，7）；（4）如果考虑小数，就有若干种可能。

回家后，我进一步思考：可以用一根12厘米长的小木棍和一条14厘米长的软绳子来做模拟实验。

先把绳子两头固定在木棍两端（A与B），然后用笔圈住绳子画曲线，这条曲线上的每个点C到木棍两端的距离之和就是AC+BC=14（厘米）。所以说，这条曲线上所有的点都是我们要寻找的答案。

如果把整条曲线完整地画出来，我惊奇地发现是一个椭圆！

在此基础上，本题的解题方法可以用图形来很直观地解答：可以以A点为圆心，画直径不同的圆，圆和椭圆的交点就是我们要找的目标点。如上图所示：画半径为4厘米的圆，和椭圆在C点相交。将C点分别与A、B两点连线，AC=4厘米，BC=10厘米。图中实线所示，就是我们要寻找的三角形。

是不是很神奇啊？

我完全被许诺同学奇特的想法惊呆了！

第二天，我把这则日记在班上介绍后，引来了阵阵啧啧的赞叹声。我趁热打铁：“同学们，一般情况下，我们只是满足于一般的结论，很少有人再往前跨一步。许诺同学能从一般的内容里找到不一般的发现，能从看上去已经解决了的问题中找到解决问题的新思路，这种学习就好比‘在石头里看到了风景，真难得呀！”

随后，学生表达了强烈的兴趣，他们纷纷发言：“老师，我们以后也要学会从石头里看风景！”“老师，以后如果我们在石头里看到了风景，也能在班上介绍吗？”“老师，我建议把班上所有从石头里看到的风景都汇编起来！”……

我的兴奋难以抑制；“同学们，你们的建议太好了！以后就按大家的建议来做，让我们共同努力，行吗？”

其实，我没告诉学生，这种内容就是一种“微型课程”雏形。

…………

一年过去了，属于我们四（6）班的“微型课程”已经编撰完成，而且有一个形象的名字——“石头里看风景”。里面收录着《最强大脑诞生记》《解决生活小难题：倒油》《巧算红薯体积》《6的倍数的特征》《3的倍数再认识》等五十多篇小文章。

翻看着这本装帧并不精美、内容还很幼稚的“书本”，学生爱不释手，因为他们知道：这是属于他们自己的“课本”。

是的，基于普通的教学内容，基于常态的教学过程，引导学生把他们非常规的思维、独特的思路、具有创造性的想法、个性化的设计、不一般的发现、不寻常的数学探索经历等内容诉诸文字（体裁不限），定期加以整理并形成序列，可以用来复习巩固、拓展延伸、思维训练，也可以作为数学阅读的素材。这样的内容，正是一种实用的、鲜活的数学“微型课程”。这种“课程”，问题发端于学生，内容整理于学生，最终服务于学生。这种“课程”，才是真正意义上源于学生、为了学生、学生自己的课程。

（作者单位：南京师范大学附属小学）

除了国家课程规定的数学课本上的学习内容外，还有怎样的内容也可以作为“课程”进入学生的学习视野呢？

我一直在思考，也一直在探索。直到这一天，班上一位名叫许诺的学生写了一篇数学日记，使我看到了努力的方向——

从三角形到椭圆

2013年4月8日 星期一 晴

今天，周老师给大家出了一道练习题：有两根小棒，分别长14厘米和12厘米，可以把其中的一根剪成两段，然后围成一个三角形，有几种不同的围法？

大家讨论后，我们对这道题形成了如下统一的想法：（1）不能把12厘米长的小棒作为截断对象，只能剪14厘米长的小棒，因为14厘米>12厘米，无法形成三角形；（2）拆分14厘米长的小棒时，分成“1+13”厘米不能围成三角形，就变成一条重叠的线段了，因为1+12=13（厘米）；（3）假如只考虑整数，就有6种可能，（12，2）、（11，3）、（10，4）、（9，5）、（8，6）、（7，7）；（4）如果考虑小数，就有若干种可能。

回家后，我进一步思考：可以用一根12厘米长的小木棍和一条14厘米长的软绳子来做模拟实验。

先把绳子两头固定在木棍两端（A与B），然后用笔圈住绳子画曲线，这条曲线上的每个点C到木棍两端的距离之和就是AC+BC=14（厘米）。所以说，这条曲线上所有的点都是我们要寻找的答案。

如果把整条曲线完整地画出来，我惊奇地发现是一个椭圆！

在此基础上，本题的解题方法可以用图形来很直观地解答：可以以A点为圆心，画直径不同的圆，圆和椭圆的交点就是我们要找的目标点。如上图所示：画半径为4厘米的圆，和椭圆在C点相交。将C点分别与A、B两点连线，AC=4厘米，BC=10厘米。图中实线所示，就是我们要寻找的三角形。

是不是很神奇啊？

我完全被许诺同学奇特的想法惊呆了！

第二天，我把这则日记在班上介绍后，引来了阵阵啧啧的赞叹声。我趁热打铁：“同学们，一般情况下，我们只是满足于一般的结论，很少有人再往前跨一步。许诺同学能从一般的内容里找到不一般的发现，能从看上去已经解决了的问题中找到解决问题的新思路，这种学习就好比‘在石头里看到了风景，真难得呀！”

随后，学生表达了强烈的兴趣，他们纷纷发言：“老师，我们以后也要学会从石头里看风景！”“老师，以后如果我们在石头里看到了风景，也能在班上介绍吗？”“老师，我建议把班上所有从石头里看到的风景都汇编起来！”……

我的兴奋难以抑制；“同学们，你们的建议太好了！以后就按大家的建议来做，让我们共同努力，行吗？”

其实，我没告诉学生，这种内容就是一种“微型课程”雏形。

…………

一年过去了，属于我们四（6）班的“微型课程”已经编撰完成，而且有一个形象的名字——“石头里看风景”。里面收录着《最强大脑诞生记》《解决生活小难题：倒油》《巧算红薯体积》《6的倍数的特征》《3的倍数再认识》等五十多篇小文章。

翻看着这本装帧并不精美、内容还很幼稚的“书本”，学生爱不释手，因为他们知道：这是属于他们自己的“课本”。

是的，基于普通的教学内容，基于常态的教学过程，引导学生把他们非常规的思维、独特的思路、具有创造性的想法、个性化的设计、不一般的发现、不寻常的数学探索经历等内容诉诸文字（体裁不限），定期加以整理并形成序列，可以用来复习巩固、拓展延伸、思维训练，也可以作为数学阅读的素材。这样的内容，正是一种实用的、鲜活的数学“微型课程”。这种“课程”，问题发端于学生，内容整理于学生，最终服务于学生。这种“课程”，才是真正意义上源于学生、为了学生、学生自己的课程。

（作者单位：南京师范大学附属小学）