王录雁,王 强,鲁冬林,张梅军,毛 迪

(解放军理工大学，南京 210007)

Huang等[1]提出了经验模态分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)技术，在处理非平稳、非线性信号方面具有独特的自适应性，使其成为近年国内外学者的研究热点。经过多年的研究，EMD技术的理论体系逐渐完善，并已在众多领域得到了实践应用，但其端点效应问题一直制约着该方法的推广应用。解决EMD端点效应主要有两个途径：数据延拓法和改进插值法。其中数据延拓法具有理论简单、效果明显的特点，因而成为主要的研究方向。文献[2]对近年出现的典型的数据延拓算法进行了分类综述，分析了各种方法的特点及不足。其中波形匹配方法[3-8]，立足于近端点处波形与内部波形的相似性实现数据延拓，延拓数据不但考虑了近端点处数据的局部变化趋势，同时保留了波形的原始特征，具有其他方法所不可比拟的优势，因而成为遏制EMD端点效应的一个重要研究方向。

波形匹配法的关键步骤之一是波形匹配程度的计算。文献[3，8]及文献[4-7]分别采用了三角波和基于距离的波形匹配算法，在实际应用中尚且存在一些不足，本文在此基础上，提出一种自适应的三角波形匹配延拓算法。

1 EMD方法及其端点效应

1.1 基本原理

EMD方法是将非线性、非平稳的信号分解为有限个具有单一瞬时频率的固有模态函数(Intrinsic mode function，IMF)，步骤如下：

(1)确定信号的极值点；

(2)用三次样条曲线对所有极值点进行插值，生成上、下包络线；

(3)计算上下包络线均值m1，求出h1

h1=x(t)-m1

(4)判断h1是否符合IMF判据，如果h1符合IMF判据[1]，则h1即为一个IMF；若h1不符合IMF判据，则重复执行步骤(1)～(3)，直到h1k=h1(k-1)-m1k符合判据。

(5)分离IMF后重复执行步骤(1)～(4)，直到分离出所有的IMF(ci)直到残留项rn不再满足筛分条件[1]为止，则有：

(1)

1.2 端点效应问题

在采用三次样条曲线对极值点进行插值时，由于数据两端端点处数值不能同时既为极大值又为极小值，于是在拟合包络线时，会在端点处失去约束，导致包络线在端点处发生大幅摆动。随着分解的进行，误差就会由端点处逐渐向内传播，严重的情况下会使分解的数据丧失物理意义。如图1所示，在没有采取抑制措施的情况下，包络线在端点处出现了大幅摆动，致使分解结果发生严重偏离，只分解出了两个有意义的频率成分便终止了循环筛分；采用镜像极值延拓法有效遏制了端点效应，获得了三个有效的频率成分。

图1 EMD端点效应问题及端点延拓

2 波形匹配方法

近年来，波形匹配延拓法的研究主要有正弦波匹配法[5]、基于距离的波形匹配法[4,6-7]以及相似三角波的匹配法[3,8-9]。

2.1 正弦波匹配延拓

文献[5]提出一种使用正弦函数进行端点延拓的方法。其思想是根据端点至首个极值之间的波形特征，构造出一段幅值、频率、相位与其近似匹配的正弦波实现数据的外延(图2)。

图2 正弦波匹配延拓

该方法将近端点的波形近似看作是某正弦波的一部分，通过该段波形构造出一段近似匹配的波形加以延拓，实现了波形的平顺延拓。但该方法仅仅依靠近端点处的数据特征实施延拓，割裂了近端点处信号与内部信号的联系，无法真实的反映信号的变化趋势及内部特征。

2.2 基于距离的波形匹配法

邵晨曦等[4]将基于距离函数的波形匹配法应用于EMD端点延拓，取得了较好的效果。随后，王婷等[6-7]，也分别运用相似的算法实现了EMD端点延拓。这类的延拓的思想是，在波形内部寻找一段与近端点处子波(S1)相似的匹配波形，截取匹配波形(Sj)前一段子波(S’)对端点进行延拓。如图3所示，两子波的匹配距离为：

(2)

式中，s1(i)、sj(i)分别为两子波第i个点的值，N为子波数据长度。取d(S1，Sopt)=min(d(S1,Sj))，截取Sopt前包含两个极值(或更长)的子波S’作为匹配波形平移至端点处实现延拓。

图3 基于距离的波形匹配过程

该方法用原始波形内部的一段子波实现延拓，不但充分考虑了信号近端点处的数据变化趋势信息，同时兼顾了端点处信号与内部信号的联系，在获得波形平顺延拓的同时，维持了信号的原始特征。但是，由于该方法建立在子波数据逐点比对的基础上，因此要求子波间的数据长度严格一致，导致在应用中存在一些问题。

(1)致使无意义的子波截取

当波形的时间尺度变化较大或子波较长时，难以保证所截取的子波在参考极值两侧具有相同的增减特性。如图4，按照等长度截取子波S1及S8，其中S8包含了两个极大值点，使得匹配失去实际意义。

图4 等长度子波截取时的错误

(2)端点位于极值附近时预测准确性差

按照距离匹配算法，当端点数据位于极值附近时，由于可用数据相对较少，将难以准确预测数据的走势。以常用仿真信号为例，表达式为：

t∈[0,500]

(3)

由图5所示，端点距极大值只有一个点距。整体上看，与S1对应匹配的是S9和S17，但是计算结果(表1，精确到10-5)显示S13与S1匹配距离最小。由小窗口可看出，匹配错误是由于匹配数据太少，子波S13在形状上和S1更加接近。

表1 各子波与S1的匹配距离分布

图5 端点位于极值附近时的错误匹配

三角波匹配法，是指以端点与邻近两个极值点所构成的三角形波形为匹配子波，构造三角波形的匹配算法以实现波形的延拓。其突出的特点是不要求子波长度相等(图6)。文献[3,8]分别研究了三角波相似匹配的问题，但并未提及三角波起始点的确定方法。文献[9]将自适应三角波匹配应用于局部均值分解的端点延拓，采用等比关系确定三角子波起始点t(i)的方法：

(4)

或：

(5)

其中：t(mi)是第i个极大值的时刻位置，t(ni)是第i个极小值的时刻位置。

由式(4)可知，t(i)的确定建立在A、B两个三角形相似的基础上。而在实际应用中，难以保证t(ni-1)于t(ni)之间一定存在一点，使得A、B两三角形相似。即，根据式5计算所得t(i)不一定位于t(ni-1)和t(ni)之间，同样使得截取的三角子波无意义(如图4)，更无法保证所截取的三角子波具有最佳的匹配度。

图6 三角波匹配法

3 自适应三角波匹配延拓算法

综上所述，正弦波延拓割裂了与内部波形的联系；距离函数匹配法要求子波长度相等，易因数据较少而无法真实反映波形宏观走势，而增加子波长度时易导致无意义的匹配计算；三角波匹配法，不要求子波长度相等，但固定比例法截取子波，难以保证其有效性和匹配的准确性。本文在此基础上提出一种自适应的三角波匹配算法。以首个极值为极大值情况下的左端点延拓为例说明算法步骤。

(1)提取极值点

设，信号x(t)分别有M个极大值和N个极小值；x(i)为信号第i点的数值，m(i)，x(m(i))，分别为第i个极大值的序列位置和数值；n(i)，x(n(i))分别为第i个极小值的序列位置和数值。

(2)截取模板子波

如图7，截取从端点至第二个极值点间的数据构成模板子波，设为S1。

(3)局部寻优

如图7，须在n(i-1)至m(i)寻找一个时刻点t(i)=j作为三角波的起点。对于每一个固定的i∈[2,n]，取j∈[n(i-1)m(i)]，则以x(j)、x(m(i))、x(n(i))为顶点共可构成m(i)-n(i-1)个三角波，设为Si(j)。求取一点t(i)=j，使得Si(j)与S1的匹配度最大。

图7 自适应三角波匹配算法

为了在全面反映子波整体形状特征的同时突出延拓的平顺性，文章将单边波斜率及端点幅值差引入到波形匹配计算中。

令：Xi(j)为第i个极大值时，以j时刻为起点，左边波的斜率匹配度：

i∈[2,M]，j∈[n(i-1),m(i)]，下同。

令：Yi(j)为左边波的幅值匹配度：

令：Oi(j)为右边波幅值匹配度：

令：Pi(j)为右边波时刻匹配度：

令：Qi(j)为端点幅值差匹配度：

其中：a=[x(1)-x(n(1))]×[x(t(i))-x(n(i))]

则，令三角波Si(j)与S1的匹配度Mi(j)为：

Mi(j)=w(Xi(j),Yi(j),Oi(j),Pi(j),Qi(j))

(6)

其中w为各匹配度的权重向量，默认为等权重。

取t(i)=j=find[Mi(j)=maxMi(j)]，t(i)即为第i段三角子波的起始点。

(4)全局寻优

记第i个极大值对应的由t(i)截取的最佳三角子波记为Mi。取r=find(Mi=maxMi)，则r为最佳匹配子波对应的极值点位置。按照2.2节所述方法可实现左右两端点的匹配延拓。

(5)细节处理

在实际应用中，由于波形长度限制，或难以找到匹配度较高的子波，设置匹配阈值λ∈(0,1)，当M(i)<λ时，可采用相似极值延拓[10]或镜像延拓法[11]处理，文中采用镜像延拓法。一般地，信号越长、规律越强，λ取值应越大。

4 算例验证分析

为验证自适应三角波形匹配延拓的有效性，分别采用正弦波延拓法、基于距离函数的波形匹配延拓法以及支持向量回归机(Support Vector Regression，SVR)预测延拓法[12]对仿真信号与实测信号进行对比验证。

4.1 仿真信号分析

采用本方法对式3中信号进行匹配计算，由表2可看出(精确到10-5)，该方法实现了准确的波形匹配。由图8～9可看出，正弦波匹配法虽然一定程度上抑制了端点效应，但是没能正确反映信号变化趋势，分解过程出现较大波动；采用距离函数法匹配时，出现了错误匹配现象，致使各分量在端点处出现了变形；自适应三角波匹配延拓与支持向量机预测延拓法，均实现了较为准确延拓。其中w取默认等权重，λ取0.9；SVR延拓点数为100个，支持向量个数为200。

表2 各子波与S1的匹配度

图8 各种延拓方法延拓结果对比

图9 采用各种延拓方法处理的EMD结果

表3显示(精确到10-6)，采用自适应三角波匹配延拓法，使EMD处理精度得到显著提高，对于这种规律信号，这些误差基本上是由于包络拟合误差所产生。

4.2 实验信号分析

图10为某轴承振动信号截取的片段，从小窗口可看出，a,b两段波形具有较高的相似性，若能实现准确的匹配延拓，将有效抑制EMD的端点效应问题，提高分解精度。

表3 仿真信号EMD分解指标

图10 某轴承振动信号片段

由图11～12可知，采用距离函数匹配延拓法，在EMD处理过程中，在左端点处出现了较明显的波动；自适应三角波匹配延拓法，较好的抑制了EMD端点效应。表4显示，自适应三角波匹配延拓法，分解精度较高，且不需要大量样本学习计算，运行速度比SVR方法有大幅提升。其中w取默认等权重，λ取0.8；SVR延拓点数为50个，支持向量个数为100。

图11 各方法延拓结果对比

表4 实测信号的EMD分解指标

图12 两种延拓方法EMD结果的前5项

5 结 论

本文在总结现有波形匹配延拓方法特点与不足的基础上，提出了一种自适应的三角波形匹配延拓方法。该方法有以下有点：

(1)采用三角波匹配法实现延拓，规避了子波等长度匹配所导致的问题；

(2)通过改进三角波匹配算法，自适应地截取最佳匹配三角子波，改善了固定比例截取子波时产生的问题，保证了子波截取的有效性与合理性。

(3)通过局部寻优与全局寻优相结合的方法实现匹配子波的截取与定位，提高了波形匹配延拓的准确性。

(4)匹配度算法中加入了单边斜率匹配度和端点幅值差匹配度，突出了延拓的平顺性，强化了近端点波形与内部波形间的联系。

仿真及实验数据分析表明，该方法提高了波形匹配的准确性，可有效遏制EMD端点效应问题，显著提高分解精度。文中仅对匹配度阈值λ的取值方法做了定性分析，尚需进一步研究其取值及调整方法，另外权重向量w的取值及调整方法同样需要进一步深入研究。

参 考 文 献

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