王吉明

“函数的零点”是“函数与方程”一节的第一部分内容，它是学生在相对比较系统地学习了函数的概念、性质、图像的基础上，继续学习的一个新内容，它承接了前面的函数知识，是学习后面“二分法”的基础，也是函数与方程关系的重要体现.根据本节内容的特点和我们学生现有的认知水平，我在备课、上课等环节上做了一些文章，通过教学实践，不论是教师的“教”还是学生的“学”，都有很大的收获.

一、在情境引入上做文章

在备课时，我考虑到尽管学生在初中已经学了基本函数的图像及其性质，但教学的起点仍不能太高，所以我在引入时先让学生画出下列函数的图像：（1）f（x）=-2x+3；（2）g（x）=x2-4x-5；（3）h（x）=2x.在学生顺利完成了这几个常见的基本函数图像后，我又出示一组问题，解下列方程：（1）-2x+3=0；（2）x2-4x-5=0；（3）2x=0.对于第三个方程，学生感觉无从下手，但又发现这个问题和刚才要求画的图像有点关联.学生经过一番思考后，很快发现它的结果是无解.我在此基础上让学生思考上述函数与对应方程之间的关系，从而引出“函数的零点”的概念，并很好地借助上面的两组题目从两个方面给出零点的解释.

二、在设问上做文章

本节课几个关键设问的地方分别是：

1.我在零点概念的引入过程中，完成了画函数图像、解方程之后，问学生：“这两组问题之间有什么关联？”学生清楚地认识到函数图像是从形上表达，方程是从数上表达，感受了数形结合的重要数学思想.同时我也在启发学生，函数图像与x轴的交点和对应方程的解之间的统一性.一方面为零点概念理解埋下伏笔，另一方面为后面学习“函数与方程”做好准备.

2.为了能让学生顺利理解和接受函数零点存在的条件，我设计了下列问题：观察下面函数y=f（x）的图像.

①在区间[a，b]上 （有/无）零点；f（a）·f（b） 0（>或<）.

②在区间[b，c]上 （有/无）零点；f（b）·f（c） 0（>或<）.

③在区间[c，b]上 （有/无）零点；f（c）·f（d） 0（>或<）.

从而得到结论：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且满足f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点.

在理解这个零点判断方法的时候，我还让学生思考：图像连续是什么意思？如果满足条件时有零点，那么，能判断零点的个数吗？如果f（a）·f（b）>0，能判断是否有零点吗？若函数有零点，一定是f（a）·f（b）<0吗？这么多抽象的、繁杂的问题怎么解决呢？如果只用语言解释，学生肯定是越听越糊涂的，我借助课本中的一个熟悉的函数图像，非常直观地解释了上述问题.

三、在选题上做文章

首先是引入时的选题，充分体现了基础性、低起点，让所有学生能跟着动手，这样学生能积极参与课堂学习，有利于接受和理解新知识.

其次在例题的选择上，注重针对性、层次性，体现通解通法.

【例1】 证明二次函数y=2x2-3x-7有两个不同的零点.

【例2】 求证：函数f（x）=x3+x2+1在区间（-2，1）上存在零点.

【例3】 f（x）=lgx+x-3有几个零点？

显然例1很简单，用初中知识就可以解决，但我让学生考虑有几种方法可以解决.学生一开始处理例2时感觉无从下手，因为三次方程不好解，但通过我的引导想到了函数零点的判断方法，很快就知道怎么做了.接着，我又问：可以画图像发现吗？根据函数零点的定义，求x3+x2+1=0的解，再将方程转化为x3=-x2-1，这样画函数f1（x）=x3和f2（x）=-x2-1的图像，发现交点的横坐标就是原函数的零点.怎么判断它在区间（-2，1）上呢？算f1（-2）=-8，f2（-2）=-5，得出f1（-2）f2（1），这样得到函数f（x）=x3+x1+1在区间（-2，1）上存在零点.至于例3，学生在例1、例2的基础上很快得出解决问题的方法和结论.延伸思考：该零点的范围是什么？能不能进一步缩小？

通过对这节课的反思再认识，我深刻体会到要提高教学效果，教师应该改变原来的教学方式，真正体现出学生的主体性，能让最多的学生动起来，不仅仅是手动，还要嘴动，更重要的是脑动.只有真正在课堂上让学生做主角，才能实现课堂真正的高效性，才能真正实现学生的能力提高.

（责任编辑 黄桂坚）

“函数的零点”是“函数与方程”一节的第一部分内容，它是学生在相对比较系统地学习了函数的概念、性质、图像的基础上，继续学习的一个新内容，它承接了前面的函数知识，是学习后面“二分法”的基础，也是函数与方程关系的重要体现.根据本节内容的特点和我们学生现有的认知水平，我在备课、上课等环节上做了一些文章，通过教学实践，不论是教师的“教”还是学生的“学”，都有很大的收获.

一、在情境引入上做文章

在备课时，我考虑到尽管学生在初中已经学了基本函数的图像及其性质，但教学的起点仍不能太高，所以我在引入时先让学生画出下列函数的图像：（1）f（x）=-2x+3；（2）g（x）=x2-4x-5；（3）h（x）=2x.在学生顺利完成了这几个常见的基本函数图像后，我又出示一组问题，解下列方程：（1）-2x+3=0；（2）x2-4x-5=0；（3）2x=0.对于第三个方程，学生感觉无从下手，但又发现这个问题和刚才要求画的图像有点关联.学生经过一番思考后，很快发现它的结果是无解.我在此基础上让学生思考上述函数与对应方程之间的关系，从而引出“函数的零点”的概念，并很好地借助上面的两组题目从两个方面给出零点的解释.

二、在设问上做文章

本节课几个关键设问的地方分别是：

1.我在零点概念的引入过程中，完成了画函数图像、解方程之后，问学生：“这两组问题之间有什么关联？”学生清楚地认识到函数图像是从形上表达，方程是从数上表达，感受了数形结合的重要数学思想.同时我也在启发学生，函数图像与x轴的交点和对应方程的解之间的统一性.一方面为零点概念理解埋下伏笔，另一方面为后面学习“函数与方程”做好准备.

2.为了能让学生顺利理解和接受函数零点存在的条件，我设计了下列问题：观察下面函数y=f（x）的图像.

①在区间[a，b]上 （有/无）零点；f（a）·f（b） 0（>或<）.

②在区间[b，c]上 （有/无）零点；f（b）·f（c） 0（>或<）.

③在区间[c，b]上 （有/无）零点；f（c）·f（d） 0（>或<）.

从而得到结论：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且满足f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点.

在理解这个零点判断方法的时候，我还让学生思考：图像连续是什么意思？如果满足条件时有零点，那么，能判断零点的个数吗？如果f（a）·f（b）>0，能判断是否有零点吗？若函数有零点，一定是f（a）·f（b）<0吗？这么多抽象的、繁杂的问题怎么解决呢？如果只用语言解释，学生肯定是越听越糊涂的，我借助课本中的一个熟悉的函数图像，非常直观地解释了上述问题.

三、在选题上做文章

首先是引入时的选题，充分体现了基础性、低起点，让所有学生能跟着动手，这样学生能积极参与课堂学习，有利于接受和理解新知识.

其次在例题的选择上，注重针对性、层次性，体现通解通法.

【例1】 证明二次函数y=2x2-3x-7有两个不同的零点.

【例2】 求证：函数f（x）=x3+x2+1在区间（-2，1）上存在零点.

【例3】 f（x）=lgx+x-3有几个零点？

显然例1很简单，用初中知识就可以解决，但我让学生考虑有几种方法可以解决.学生一开始处理例2时感觉无从下手，因为三次方程不好解，但通过我的引导想到了函数零点的判断方法，很快就知道怎么做了.接着，我又问：可以画图像发现吗？根据函数零点的定义，求x3+x2+1=0的解，再将方程转化为x3=-x2-1，这样画函数f1（x）=x3和f2（x）=-x2-1的图像，发现交点的横坐标就是原函数的零点.怎么判断它在区间（-2，1）上呢？算f1（-2）=-8，f2（-2）=-5，得出f1（-2）f2（1），这样得到函数f（x）=x3+x1+1在区间（-2，1）上存在零点.至于例3，学生在例1、例2的基础上很快得出解决问题的方法和结论.延伸思考：该零点的范围是什么？能不能进一步缩小？

通过对这节课的反思再认识，我深刻体会到要提高教学效果，教师应该改变原来的教学方式，真正体现出学生的主体性，能让最多的学生动起来，不仅仅是手动，还要嘴动，更重要的是脑动.只有真正在课堂上让学生做主角，才能实现课堂真正的高效性，才能真正实现学生的能力提高.

（责任编辑 黄桂坚）

“函数的零点”是“函数与方程”一节的第一部分内容，它是学生在相对比较系统地学习了函数的概念、性质、图像的基础上，继续学习的一个新内容，它承接了前面的函数知识，是学习后面“二分法”的基础，也是函数与方程关系的重要体现.根据本节内容的特点和我们学生现有的认知水平，我在备课、上课等环节上做了一些文章，通过教学实践，不论是教师的“教”还是学生的“学”，都有很大的收获.

一、在情境引入上做文章

在备课时，我考虑到尽管学生在初中已经学了基本函数的图像及其性质，但教学的起点仍不能太高，所以我在引入时先让学生画出下列函数的图像：（1）f（x）=-2x+3；（2）g（x）=x2-4x-5；（3）h（x）=2x.在学生顺利完成了这几个常见的基本函数图像后，我又出示一组问题，解下列方程：（1）-2x+3=0；（2）x2-4x-5=0；（3）2x=0.对于第三个方程，学生感觉无从下手，但又发现这个问题和刚才要求画的图像有点关联.学生经过一番思考后，很快发现它的结果是无解.我在此基础上让学生思考上述函数与对应方程之间的关系，从而引出“函数的零点”的概念，并很好地借助上面的两组题目从两个方面给出零点的解释.

二、在设问上做文章

本节课几个关键设问的地方分别是：

1.我在零点概念的引入过程中，完成了画函数图像、解方程之后，问学生：“这两组问题之间有什么关联？”学生清楚地认识到函数图像是从形上表达，方程是从数上表达，感受了数形结合的重要数学思想.同时我也在启发学生，函数图像与x轴的交点和对应方程的解之间的统一性.一方面为零点概念理解埋下伏笔，另一方面为后面学习“函数与方程”做好准备.

2.为了能让学生顺利理解和接受函数零点存在的条件，我设计了下列问题：观察下面函数y=f（x）的图像.

①在区间[a，b]上 （有/无）零点；f（a）·f（b） 0（>或<）.

②在区间[b，c]上 （有/无）零点；f（b）·f（c） 0（>或<）.

③在区间[c，b]上 （有/无）零点；f（c）·f（d） 0（>或<）.

从而得到结论：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且满足f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点.

在理解这个零点判断方法的时候，我还让学生思考：图像连续是什么意思？如果满足条件时有零点，那么，能判断零点的个数吗？如果f（a）·f（b）>0，能判断是否有零点吗？若函数有零点，一定是f（a）·f（b）<0吗？这么多抽象的、繁杂的问题怎么解决呢？如果只用语言解释，学生肯定是越听越糊涂的，我借助课本中的一个熟悉的函数图像，非常直观地解释了上述问题.

三、在选题上做文章

首先是引入时的选题，充分体现了基础性、低起点，让所有学生能跟着动手，这样学生能积极参与课堂学习，有利于接受和理解新知识.

其次在例题的选择上，注重针对性、层次性，体现通解通法.

【例1】 证明二次函数y=2x2-3x-7有两个不同的零点.

【例2】 求证：函数f（x）=x3+x2+1在区间（-2，1）上存在零点.

【例3】 f（x）=lgx+x-3有几个零点？

显然例1很简单，用初中知识就可以解决，但我让学生考虑有几种方法可以解决.学生一开始处理例2时感觉无从下手，因为三次方程不好解，但通过我的引导想到了函数零点的判断方法，很快就知道怎么做了.接着，我又问：可以画图像发现吗？根据函数零点的定义，求x3+x2+1=0的解，再将方程转化为x3=-x2-1，这样画函数f1（x）=x3和f2（x）=-x2-1的图像，发现交点的横坐标就是原函数的零点.怎么判断它在区间（-2，1）上呢？算f1（-2）=-8，f2（-2）=-5，得出f1（-2）f2（1），这样得到函数f（x）=x3+x1+1在区间（-2，1）上存在零点.至于例3，学生在例1、例2的基础上很快得出解决问题的方法和结论.延伸思考：该零点的范围是什么？能不能进一步缩小？

通过对这节课的反思再认识，我深刻体会到要提高教学效果，教师应该改变原来的教学方式，真正体现出学生的主体性，能让最多的学生动起来，不仅仅是手动，还要嘴动，更重要的是脑动.只有真正在课堂上让学生做主角，才能实现课堂真正的高效性，才能真正实现学生的能力提高.

（责任编辑 黄桂坚）