张军菲 王昭娜

(1.中建三局集团有限公司工程总承包公司，湖北 武汉 430070； 2.安阳工学院土木与建筑工程学院，河南 安阳 455000)

无网格点插值法工程应用概述

张军菲1王昭娜2*

(1.中建三局集团有限公司工程总承包公司，湖北 武汉 430070； 2.安阳工学院土木与建筑工程学院，河南 安阳 455000)

重点介绍了点插值法(PIM)的基本原理及程序实现过程，并比较了PIM与有限元法(FEM)和无网格伽辽金法(EFGM)之间的异同，结果表明：PIM法集合了FEM法和EFGM法的优点，便于工程应用。

无网格，点插值法，形函数，delta函数

0 引言

有限元法自20世纪50年代提出以来，已成为工程分析与计算的最重要工具之一。其显著特点之一是用预先定义的网格，将一个无限自由度的连续体离散成有限自由度的单元集合，从而获得一个复杂问题的近似解。但因为运用了网格，造成有限元法在算解某些工程问题时变得越加困难。所以，无网格法的思想被提出，并得到迅速壮大。

最先无网格法的一种是光滑质点水动力学法。1994年美国的Belytschko教授在修正模糊单元法的基础上提出了自由单元法[1]。当前，无网格法已应用到岩土工程、大变形问题、穿透问题等。当然无网格法也存在计算量大，效率低等很多缺点。因此，Liu[2]提出了点插值法(PIM)。PIM法集合了有限元法(FEM)和无网格伽辽金法(EFGM)的优点。

本文将简要介绍点插值法(PIM)的基本原理及其实现的流程，并基于插值过程和主要位移边界条件的实现等两方面来比较PIM法与FEM法和EFGM法的基本特征，从而阐明PIM法在原理和工程应用方面的优势。

1 PIM法基本原理及实现过程

1.1 PIM法基本原理

在域Ω中，点xQ附近的点的数值u的近似函数为：

(1)

其中，pi(x)为任意阶的基函数，可通过Pascal三角取得；n为基函数的项数；a(xQ)为系数矩阵。

插值函数Ф(x)定义为：

(2)

其中，插值函数Фi(x)满足：

Фi(x)=1,i=j,j=1,2,…,n

(3)

Фi(x)=0,i≠j,j=1,2,…,n

(4)

(5)

因为插值函数Ф(x)具备delta函数特性，进而使PIM在主要位移边界条件上容易呈现。

1.2 PIM法实现经过

PIM的流程图可简单表述如下：

1)把域Ω分成有限个子域(cell)。

2)每个cell都反复a步～e步：a.获取cell里的某个高斯点xQ；b.确定xQ的影响域并找到xQ的全部相邻点；c.计算Фi(xQ)和Фi,j(xQ)；d.代入前面PIM的方程；e.解出结果以及序列存储；f.反复a步～e步，直到遍历cell里全部的高斯点。

3)反复步骤2)，直到遍历域Ω里全部的cell。

2 PIM法与FEM法、EFGM法的对比

2.1 插值过程的对比

1)PIM法和FEM法的对比。

PIM法插值过程建立在一系列随机分布节点的基础之上。FEM法与PIM法的插值过程相同，两样插值函数都具备delta函数的特性，都是过点插值，在边界条件的施加上更加简便。

此外，PIM法在取样点上的插值过程是由该节点的影响域变径来确定的，它会覆盖作为另外取样点的影响域。但是，FEM法的网格之间没有相互覆盖的部分，单元和单元之间是由单元边界上的公共节点来联系的。

2)PIM法和EFGM法的对比。

对比于PIM法，EFGM法的插值过程同样是建立在一组随便分布的节点基础上。然而，EFGM法基的项数m不同于域内节点数n，即m≠n。

所以，EFGM法的形函数比PIM法的形函数要繁琐许多，对不一样的问题还应该选择不一样的权函数。从某种意义上说，PIM法是EFGM法的特殊情况，原因是当基的个数m同于域内节点数n时，两者是统一的。

2.2 实现主要位移边界条件

1)PIM法和FEM法的对比。

PIM法和FEM法的形函数都具有delta函数特性，全部主要边界条件都容易实现。

2)PIM法与EFGM法的对比。

EFGM法是一种不过点拟合的非线性插值过程，其形函数不拥有delta函数特性，精确并有效的施加本质边界条件是困难的，通常采用Lagrange乘子法来消除这种困难。在运用Lagrange乘子法时，系数矩阵是一个满秩矩阵，要比PIM法形成的矩阵大很多，尤其是在边界条件很多时，这样就使得EFGM法很不经济。

3 结语

点插值法(PIM)是一种重要的无网格方法，它集合了有限元法(FEM)和无网格伽辽金法(EFGM)的优点。具备无网格法不需要建立网格、精度高、后处理方便和收敛快等优点，同时插值函数具备delta函数特性，克服了传统无网格法计算与选择形函数繁琐耗时、主要位移边界条件难以实现等缺点。

[1] Belytschko T,Lu Y Y,Gu L.Element-free Galerkin methods[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,1994,37(2):229-256.

[2] Liu G R.Mesh Free Methods[M].Florida USA:CRC Press,2003.

Summary of engineering application of meshfree Point Interpolation Method

ZHANG Jun-fei1WANG Zhao-na2*

(1.GeneralConstructionCompanyofCCTEBGroupCo.，Ltd，Wuhan430070，China；2.DepartmentofCivilandArchitectureEngineering,AnyangInstituteofTechnology，Anyang455000,China)

This paper mainly introduced the fundamental principle and the process of program of Point Interpolation Method(PIM). Therefore, the differences between PIM and the Finite Element Method(FEM), and the differences between PIM and the Element-Free Galerkin Method(EFGM) are compared. The results indicated that PIM collected the advantages of FEM and EFGM, which would contribute to the engineering application.

meshfree， Point Interpolation Method， shape function， delta function

1009-6825(2014)34-0086-02

2014-09-20

张军菲(1984- )，男，二级建造师

王昭娜(1985- )，女，助教

O313

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