【摘要】数学知识认知结构、启发方法、元认知能力和信念系统是影响问题求解过程的主要因素，这些因素之间以多种方式进行交互；其中，数学知识认知结构、启发方法是解题的基础，元认知能力是关键，同时信念系统通过影响认知行为促进或阻碍问题解决。

【关键词】数学问题求解过程数学知识认知结构启发方法元认知能力信念系统

【中图分类号】 G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）05C-0137-03

一、问题背景

有关数学问题解决国内外已有了大量的研究。最初对数学问题解决的研究主要集中在数学问题解决过程及模式的建构和应用方面，近年来越来越多的学者关注数学问题解决内在机制的研究以及成功解题因素的识别。通过这些研究，人们越来越多地认识到数学问题解决过程是一个复杂的系统工程，然而，目前仍然缺乏系统的研究，一些观点的理论与实践脱节或者偏颇。

为了对影响问题求解因素有更全面的掌握，笔者结合自身的解题经验和对学生解题案例的大量观察分析，对问题解决过程做了进一步的探究，从中挖掘出影响问题求解的主要因素并且探讨了这些因素如何影响问题求解过程。我们期望该研究能够对数学问题解决的教学有所思考和帮助。

二、数学问题求解过程

（一）问题和问题求解

1988年第六届国际数学教育大会的一份报告指出：“一个数学问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境。”这类题目可以称之为“问题”。而“问题求解”则是指：综合地、创造性地运用各种数学知识去解决那种并非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题。

（二）数学问题求解的阶段

数学教育家Polya在他的著作《怎样解题》中给出求解问题的四个阶段:理解问题，拟定计划，实施计划，检查回顾。他描述了解决问题的过程是一个线性的从一个阶段到下一个阶段的发展过程，在解决问题时，第一，我们必须弄清楚是什么问题，什么是必需的条件，我们必须了解各种条件的关系以及未知数据是如何与已知条件相关的。第二，制定一个计划以获得解决问题的方案。第三，执行原先拟定的计划。第四，检查回顾完成的解题过程并讨论它。

（三）数学问题求解过程的分析

根据Polya的解题四个阶段，下面我们来分析数学解题过程。

1.理解问题阶段，解题者在理解问题情境时通常伴随着强烈的认知参与。首先是问题的信息经过解题者感知后进入短时记忆（信息加工过程中的“工作区”），其中的部分信息经过复述和编码，储存到长时记忆中完成信息输入。接着是回忆与问题有关的概念、数学事实、关键词、画出草图和列表，进一步弄清问题的条件、结论及其差异，进而抽取出问题的逻辑结构以理解问题。同时回忆与问题相关的数学问题图式，经比较、匹配，识别出数学问题类型。对于一些陌生问题，解题者还需要深化整合、灵活迁移已有的数学问题图式或者建立新的问题图式，虽然不同成功解题者完成这个阶段花费的时间不同，但是为了试图理解问题他们都必须合理地构造问题的表征或图式。这时解题者已有的数学知识、解题经验、思想方法、解题策略等是他们表征问题情景的基础。

在这个阶段，解题者还显示出信心、好奇心，他们心里会自我提问：我该如何表示这个问题?这是什么意思?问题看起来像什么？这些都明显有助于他们使用画图、表格等去逻辑地构建问题情境，并自发地访问和提取相应的数学知识、事实和算法。

2.拟定计划阶段是指回忆是否有该问题的相近或相似解决方法。如果有，则通过借用该解决方法而提出解题思路；如果没有，则在数学认知策略、思想方法的指导下通过变换题目条件和结论等方式构思出问题的解题方案。在这个阶段同时还要运用有关知识与推理规则想象各种解题思路并假设一个可行的解决方案。一般情况下，如果这个解决方案被视为潜在的成功方法，解题者就移到下一个实施计划阶段，否则再次进行理解问题、拟定计划阶段，直到一个可行的解决方案被确定。

在该阶段，解题者必须访问和提取数学知识和启发方法，以便假设、想象并评估他们的推测。尽管他们有时显示出负面的挫折、焦虑等情绪反应，但是他们坚定的信心和有效的应对机制使其能够集中注意力。同时解题者会通过诸如“如果我这样试试将会发生什么?”“这是否可推导出我要的结论？”“这个方法是否高效？”等提问来持续监控他们的策略和计划。

3.实施计划阶段是解题者运用数学问题解决的表述规则，构建与表述问题解决的步骤与程序，即应用数学语言与推理法则将先前的问题解决思路进行规范的书写。在这个阶段，解题者的一些行为包括:回忆和提取数学知识、写出逻辑上连接的数学语句、计算及推导等。

掌握广泛和熟练的启发方法、算法、推导程序是其高效解题推理的保证。而对解题方案的持续监控使解题工作在正确的方向前进，解题者良好的认知领域的知识使监控更有成效。

另外，解题者强大的情感反应（如：喜悦、快乐、沮丧和焦虑）促进或阻碍问题解决。他们使用各种各样的防御和应对机制来有效管理这些情感反应以帮助自己坚持朝着正确方向解决问题。

4.检查回顾阶段是对问题的求解过程及结果的回顾与反思。包括考察解答是否正确，过程是否简洁，是否还有其他解法，解题方法是否最优，解决过程的关键环节是什么，以及运用了哪些知识经验与方法，能否作一些拓展等。

解题者这时需要考虑是否接受结果，若接受结果则结束解题，若拒绝结果，则转到下一次的“理解问题—拟定计划—执行计划—检查回顾”循环递进过程。值得注意的是，优秀的解题者很少以线性的方式解决一个问题，他们通常在尝试解一个问题时一般要进行“理解问题—拟定计划—执行计划—检查回顾”的多次循环。有时这个循环周期缓慢、繁琐甚至出现反复，有时则跳跃前进或瞬间带过。

检查阶段再次涉及解题者利用他们的数学知识和过程性知识来验证计算和结果的合理性和正确性。在这个阶段强烈的负面情绪反应有时会导致他们将问题放在一边。

由上可见，数学问题解决过程是一个具有多因素影响、非线性递归、循环可逆、自我监控和主动知识建构等特征的过程。

三、影响数学问题解决的因素探析

借助以上数学问题解决过程的分析，我们认为：数学知识认知结构、启发方法、元认知能力和信念系统是影响问题解决的主要因素。

（一）数学知识认知结构

数学知识认知结构是储存在个人长时记忆系统内的数学知识及其联系。如概念、公式、规则、数学思想方法和原理及其相互关系。长时记忆是为进行信息加工提供背景知识的仓库，长时记忆中的知识只有经过根据加工结果得到的线索进行检索，一部分知识被激活才能调入短时记忆进而对解题发挥作用。

任何解题都是以一定的数学知识，包括有关内容的事实、定义、算法程序、例行程序，及处理过程规则、作图和画图知识等作为必要条件的。在实际解题时，解决者对知识的高效利用依赖于多个因素的控制，即使个人拥有解决某个特定的问题的知识，如果这些知识没有形成有机的联系和合理的组合，解题者也常常没有想到或者不知道何时，如何以及是否使用这些知识。良好的问题解决者拥有更多的联系广泛的知识和丰富的图式。所以解题更为重要的还在于知识的合理组织，使解题者能够根据题目的特征，在自己的记忆库中适时提取所需的知识。数学知识的合理组织，实质上就是按照个体的需要，改造和组建适合问题解决的数学知识认知结构。

良好的数学知识认知结构对数学问题解决过程具有决定性影响，尤其在问题解决的关键时刻，能够使用有用的数学知识是高度依赖于个人的丰富的数学知识认知结构。

（二）启发方法

就思维活动而言解题过程是一个思维定向、展开、控制的过程。这里有分析、综合、比较、分类、抽象、概括等逻辑思维活动，更需要归纳、类比、联想、想象、直觉、猜想等创造性思维活动。面对变化万千的心智活动，要想找到一个可以机械地用来解决一切问题的“万能公式”显然是不可能的。只能通过大量的解题亲身实践，总结经验以发现启发方法，开启和指导解题活动。

解题规律、解题策略应是主要的启发方法。

解题规律可以看成是伴随数学解题过程产生的体验性知识，是一种内隐的、动态的知识，如对解题的本质、方法和认知策略的认识与感受。数学题的解法各不相同，但就解题思路而论是有一定规律可循的，如求解方程规律、解答函数极值规律、添加辅助线规律、图形变换规律等，这些都能够有效启发解题思路。

解题策略是指解题者解题时宏观上采取的解题方法、原则和方案。解题中经常采用的解题策略有：逆向推导、特殊化、数形转换、将条件和结论组合或分解、将问题简单化、观察对称性和寻找反面例子等。熟悉解题策略有利于全方位、多角度思考问题，在总体上把握解题的方向。

此外，良好的数学问题求解者在解决问题时还表现出灵活性和倾向于使用强大的内容相关进程处理方法而不仅仅是一般启发式方法，他们善于根据解题进程新出现的情况及时改变或者调整解题的策略。

（三）元认知能力

元认知可以看成主体对认知领域的知识、体验和控制行为，解题中的元认知行为包括对解题效率和认知活动的有效性的认识、对解题活动的积极实践体验以及随后的自律行为。

解题过程经常伴随的元认知行为是指对所进行的解题活动，包括解题模式的识别、解题策略的选择、解题途径的探索、解题方案的构思、解题效率的认识和解题情景的评价等解题实践活动的自我意识、自我评价和自我调整。

自我意识是以自身为意识对象的意识。是解题者对正在采取的解题步骤的主观反映，只有对解题活动的信息输入、加工、输出有清醒的自我意识，才能克服思维活动的盲目性，增强主动性和自觉性。自我评价是在自我意识的基础上主动分析、评价自己所进行的解题工作。 针对解题目标，找出解题过程的薄弱环节或存在问题，以便及时采取相应的对策，把握正确的解题方向，将思维活动调节到最佳状态。自我调整又是在自我评价后采取的对策行为。根据自我评价反馈的信息，针对解题中的不足之处在新的起点上调整自己的解题策略，修正原有的解题途径，使解题活动回到正确的轨道上来。

自我意识、自我评价和自我调整等元认知行为常表现为疑问（如：这种方法会使我推到哪里?这是什么意思?）、停顿（如：新出现的结果是否符合解题者的现有的知识和理解）和反复（解题者反复在一个解题环节推敲以确定方法的正确性）。这些具体的元认知行为贯穿整个解题过程，调控着认知活动从一个阶段发展到下一个阶段并影响着解题者的解题决策，并且自我意识、自我评价和自我调整等元认知行为都是动态的活动，只有通过元认知体验才能将静态的元认知知识与动态的调节过程衔接起来。如果没有关于当前认知活动的体验，元认知与认知活动之间就处于脱节状态而无法连接。

此外自我调节也包括控制解题过程的情绪控制机制以及开展内心对话等行为。解题者如果缺乏良好的情绪控制机制，如随机联想、缺乏坚持努力、没有仔细考虑问题含义等，就容易导致利用错误的概念和进行错误的推理。

（四）信念系统

所谓解题的信念系统，泛指解题的非智力因素，即解题者学习积极性方面的因素，如情感、态度以及数学观等方面的个性品质。解题中经常表现出来的这些行为有：高兴、骄傲、兴奋、欣赏、自信、坚持以及愤怒、焦虑、沮丧、急躁等。

事实上纯粹的认知行为是罕见的，对于大多数解题者，他们处理问题的表现是受他们所处的环境及看待事物的观点影响的。其中情感因素如态度和情绪对解题者的行为有一个强大的影响。随着情感在解决问题过程中频繁变化，正面的感情如欣赏、自信、坚持、满意和自豪感，负面情绪如焦虑、失败、悲伤和沮丧，都是常见的。正面情感通常导致动力和兴趣并促进解题者的认知水平发挥，而负面情绪通常成为一种阻碍力量而导致不成功的问题求解。

虽然情感更明显比信仰在问题解决中扮演了更重要的角色，但数学观等信仰也扮演了不可或缺的角色。良好的数学观包括：数学是美好的、做数学需要执着追求解决方案、问题解决过程可能需要许多错误的尝试、问题涉及的数学推理都是令人愉快的、数学思想应该被理解而不是仅仅记住、学习数学需要根据自己的理解整理信息、证明是问题解决过程的一部分等。这些观点都能够有效促进数学问题解决。

四、结论

我们通过分析数学问题解决过程，揭示了数学问题解决过程的“理解问题—拟定计划—执行计划—检查回顾”四个阶段的非线性循环可逆递进过程，并且剖析了数学知识认知结构、启发方法、元认知能力和信念系统等因素如何交互出现影响着解题的过程，决定着解题各阶段的开启、循环、反复和终止，决定着对有关知识、方法、规则的选择与使用。

研究表明，学习成为一个优秀的问题求解者需要联系良好的数学知识、丰富问题推理的模式、熟练的解题策略、在解决问题过程有效的管理资源和情感反应，以及大量的实践和经验。

所以，在平时的数学解题教学中，我们应该防止机械训练，并针对不同个体解题过程出现的问题和薄弱环节采取相应的对策，改正错误或不良的数学解题方式方法以提高解题能力，并最终借助数学解题训练帮助学生更好地理解和掌握数学知识、数学思想，教会学生数学地思考问题，使解题成为培养学生思维品质和提高学生创新能力的有效途径。

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【基金项目】广西高等学校特色专业及课程一体化建设项目（GXTSZY253）

【作者简介】罗奇（1964-），男，桂林师范高等专科学校副教授，研究方向：数学教育，初等数学。

（责编丁梦）