李学锋

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

破产理论是风险理论的主要研究内容，而风险模型则是风险理论的主要研究对象，其中破产概率是衡量保险公司稳定性的重要指标，是管理风险的重要工具.破产概率高意味着保险公司经营不够稳定，这时保险公司需要采取合理的措施提高其承担风险的能力，确保保险公司能够长期稳定地发展下去.因此，对破产概率的研究是保险风险模型的重要研究课题.

自从1930年Cramer提出经典风险模型后，风险理论便逐渐形成并发展起来.许多学者从不同的角度对经典风险模型进行了推广，并用各种方法估算出破产概率的值.文献[1，2]中考虑了利率因素，对经典风险模型进行了推广；文献[3,4]将鞅理论用于破产概率的研究，促进了破产理论的快速发展.但在早期的推广模型中，大多假设保单到达过程与索赔到达过程是相互独立的，可实际上由于保险公司会受到诸多不确定的自然因素和社会因素 (如社会经济环境、生活环境，竞争、利率、通货膨胀率及各种可能发生的灾害等等)的影响，此时这种比较理想的假设就不符合实际了，需要对模型作进一步的合理化改进.在文献[5] 中，Dufresne和Gerber研究了带干扰的复合Poisson过程的风险模型；文献[6]研究了索赔相关过程的风险模型；文献[7，8]研究了索赔过程是稀疏过程的风险模型并得到了相关结论；文献[9]将单一险种推广到双险种或多险种的风险模型，等等.为了保险公司的长期稳定经营并与时俱进，我们应不断改进风险模型，使其更接近保险公司的实际经营模式.

本文在上述工作的基础上，将风险模型推广为更一般的情形，即考虑了退保事件的发生、保险公司的投资利率和通货膨胀率及随机干扰，建立了带干扰项且索赔过程和退保过程是保单到达过程的稀疏过程的双险种风险模型，利用鞅分析得到了该模型的破产概率满足的Lundberg不等式及最终破产概率的精确表达式，并讨论了该模型的调节系数的性质.

1 模型的定义

定义1 设(Ω,F,P)是完备的概率空间(本文所有的随机变量都定义在此空间)，则对u≥0，t≥0,保险公司在t时刻的盈余为：

(1)

对上述模型做如下假设：

(1) {M(t),t≥0} 与{N(t),t≥0}分别是参数为λ1,λ2的Poisson过程；

(2){M1(t，p1),t≥0} 是{M(t),t≥0}的一个p1-稀疏过程，0

{N1(t,p2),t≥0} 与{N2(t,q),t≥0}分别是{N(t),t≥0}的p2-与q-稀疏过程，0

[(cλ1+λ2μ)(1+I)-p1λ1α1-p2λ2α2-

qλ2β]t>0,

由此定义相对安全负荷系数：

定义2 保险公司的破产时刻T=inf{t:t≥0,U(t)<0}，最终破产概率为：

φ(u)=P{T<∞|U(0)=u}.

定义3 根据模型的假设，随机变量Xk的Laplace变换为：

(2)

(3)

假设l(r)<∞，显然当r→∞时，有mi(r)→∞，i=1,2,3.

2 相关引理

E[e-rS(t)]=etg(r).

(4)

引理2 方程g(r)=0存在唯一正解R，称之为调节系数.

证明由引理1知g(0)=0，又

g′(0+)=-[(cλ1+λ2μ)(1+I)-p1λ1α1-

p2λ2α2-qλ2β]<0,

所以当r>0时g(r)是凸函数，又g(0)=0，且显然有当r→+∞时，g(r)→+∞，因此，g(r)=0存在唯一正解，记为R.此时称g(r)=0为调节方程，称R为调节系数.证毕.

定义4 对于盈利过程{S(t),t≥0}，定义事件流：

引理3 令:

恕是指原谅、宽容、恕宥、包涵和体谅。《论语》在道德准则阐述中把恕提高到很重要的地位。指出：“子贡问曰：‘有一言可以终身行之者乎？’子曰‘其恕乎！己所不欲，勿施于人。’”含义是，子贡问到：“有没有一句话可以终生去奉行的呢？”孔子回答说：“那就是‘恕’吧！自己不愿意做的事情，不要强加在别人身上。”很显然，《论语》已把‘恕’提到道德准则核心的高度。

证明∀v≤t，由引理1得：

(5)

引理4[11]破产时刻T是FS停时.

3 主要结果

定理1 调节系数R满足不等式：

定理2 风险模型(1)的最终破产概率φ(u)满足Lundberg不等式：

φ(u)≤e-r0u(1+I)，

证明由引理4知T是FS停时，取t0<∞，则易知T∧t0是FS停时，利用有界停时定理知:

e-ru(1+I)=Mu(0)=E[Mu(T∧t0)]=

E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)+

E[Mu(T∧t0)|T>t0]P(T>t0)≥

E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)=

E[Mu(T)|T≤t0]P(T≤t0).

(6)

又当T<∞时，有u(1+I)+S(T)≤0,所以e-r[u(1+I)+S(T)]≥1，故：

φ(u)≤e-r0u(1+I).证毕.

定理3 风险模型(1)的最终破产概率为：

(7)

其中R为调节系数.

证明根据式(6)，取r=R,得：

e-Ru(1+I)=E[e-RU(T)|T≤t0]P(T≤t0)+

E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0).

(8)

以I(A)表示集合A的示性函数，则：

0≤E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0)=

E[e-RU(t0)I{T>t0}]≤E[e-RU(t0)I{U(t0)≥0}],

由于0≤e-RU(t0)I{U(t0)≥0}≤1，且根据强大数定律可知，当t0→∞,U(t0)→∞,a.s..

由控制收敛定理可知：

于是在式(8)两端令t0→∞即得证.

4 结束语

本文提出的一类具有退保事件的双险种风险模型更加接近保险公司的实际经营模式，所得到的结果对保险公司自身设置预警措施提供了理论指导，同时也能为保险监管部门设置相应的监管指标体系提供理论支持.从最终破产概率可以看出，为确保保险公司的稳定经营，一方面，保险公司必须具备足够的初始准备金；另一方面，公司也不能为了提高市场份额而盲目降低保费或高额承保.因此，保险公司为减小风险，提高承担风险的能力，必须在获得尽可能多的保单的同时，还要做好统计调查，以便厘定合理的保费与索赔额，并制定合理的退保规则；同时，保险公司也不能忽视投资利率、通货膨胀率及一些随机扰动对公司稳定经营的影响，往往这些因素也直接关系到保险公司的生死存亡.当然，保险公司的实际经营运作情况可能更加复杂(例如公司的广告宣传、员工工资、房租、设备等开销都需要公司进行支付)，本文所建模型乃至现有的所有风险模型还有待进一步改进，因此，破产模型仍然是广大相关研究者感兴趣的研究对象.

参 考 文 献

[1] Cai J.Discrete time risk models under rates of interest[J].Probability in the Engineering and Information Sciences, 2002, 16:309-324.

[2] Cai J, Dickson D. Ruin probabilities with a Markov chain interest model[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2004, 35:513-525.

[3] Gerber H U. Martingale in risk theory[J].Mitt Ver Schweiz Vers Math,1973,73:205-216.

[4] Cai J, Dickson D C M. Upper bounds for ultimate ruin probabilities in the sparre Andersen model with interest[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2003, 32:61-71.

[5] Dufresne F, Gerber H U. Risk theory for the compound poisson process that is perturbed by diffusion [J].Insurance: Mathematics and Economics, 1991, 10:51-59.

[6] Christian Partrat. Compound model for two dependent kinds of claim[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 1994,15:219-231.

[7] Luo J H ,Fang S Z. The risk model about that claims are thinning process[J]. Guangxi Science,2004,11(4):306-308.

[8] 李学锋，杨薇娜.一类带双稀疏过程的双险种风险模型[J].中南民族大学学报：自然科学版，2013,32(4)：111-114.

[9] Zhang Zhimin, Yang Hu. The compound Poisson risk model with dependence under a multi-layer dividend strategy [J]. Appl Math J Chinese Univ, 2011, 26(1):1-13.

[10] 何声武.随机过程引论[M]. 北京：高等教育出版社，1996.

[11] Grandell J. Aspects of risk theory [M].New York: Springer-Verlag,1991.