陈晶

对称问题是高中数学的一个重要内容，也是平时学习的难点.它的运用非常广泛，不仅体现在数学知识上，有时还会渗透到物理应用中去.对称问题的题型主要体现在点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称等几个方面.

一、点关于点对称

点关于点对称是大家比较常见的对称问题，也是最简单的对称问题.关于原点对称可以通过坐标系得出，关于一般点对称我们可采用中点公式求出对称点坐标.

例1设点M(2,4)，求点M关于点P(-1,2)对称的点N的坐标.

分析P点不是坐标原点，要求出N点坐标必须利用中点坐标公式.

解设点N(x,y)，点M(2,4)，点P(-1,2)，由中点坐标公式可得N(-4,0).

二、直线关于点对称

直线关于点对称通常转化为点关于点对称.在直线上取出两个特殊点，然后求出两对称点可确定直线方程.在解题过程中我们发现直线关于点的对称直线和原直线是平行的，这样我们解决此类问题还可设平行直线系，再将一个对称点坐标代入即可求出.

例2求直线l1:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l2方程.

方法一分析在l1上找两个点，求出其在l2上的两对称点，确定方程l2.

解在l1上任取两点，如M(1,1),N(4,3),则M,N关于点A的对称点M′,N′均在l2上.

得M′(-3,-5),N′(-6,-7),由两点式可得l2的方程为2x-3y-9=0.

方法二分析可设直线系方程，再代入一个特殊点，就可以确定直线方程了.

解因为l1∥l2,所以设对称直线方程l2为： 2x-3y+c=0(c≠1).

因为点A到两直线的距离相等,

所以由点到直线的距离公式得

|-2+6+c|22+32=|-2+6+1|22+32,解得c=-9.

所以l2的方程为2x-3y-9=0.

方法三分析通过点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题.

设P(x,y)是l2上任一点，则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-y)

.因为P′在直线l1上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,整理得2x-3y-9=0.

三、点关于直线对称

在坐标系中我们容易观察出点关于坐标轴的对称点，点关于特殊直线y=x的对称点.但如果面对一般直线的对称问题时，如假设已知点的坐标是A(x0,y0)，已知直线方程（非坐标轴直线）是y=kx+b，求点A关于已知直线y=kx+b的对称点B的坐标.解决此类问题就要抓住两点：①两点所在直线与已知直线垂直，②两点的中点在已知直线上.

例3 求点A(-1,-2)关于直线l∶2x-3y+1=0的对称点A′的坐标.

分析求解的关键是抓住垂直与平分这两个几何条件上，转化为代数关系列方程求解.

解设A′(x,y)，AA′中点坐标为(x-12,y-22)

.由已知得 y+2x+1·23=-1，

2×x-12-3×y-22+1=0,

解得x=-3313，

y=413.

所以A′(-3313,413).

四、直线关于直线对称

直线关于直线的对称是以点关于直线的对称为基础的，其求解方法和点关于直线的对称相同.但是直线关于直线的对称问题中，两直线的位置关系有两种不同的情况：两直线平行，两直线相交.当两直线平行时，通常设平行直线系方程，然后通过两组平行线间的距离相等求出直线方程.当两直线相交时，解决此类问题的方法很多，主要有：特殊值法，交点法，动点代入法等.为了方便，我们通常采用取交点的方法.下面我们以相交直线为例.

例4求直线m:3x-2y-6=0关于直线l1∶2x-3y+1=0的对称直线l2的方程.

分析线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决.

解在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M关于l1的对称点M′必在l2上.

设对称点M′(a,b).

则由2×a+22-3×b+02+1=0,

b-0a-2×23=-1,得 M′(613,3013).

设m与l1的交点为N，由2x-3y+1=0

3x-2y-6=0得N(4,3).

又l2过N点，由两点式得直线l2的方程为9x-46y+102=0.

五、对称问题与物理知识结合应用

由物理光学知识知道，入射光线与反射光线关于法线对称.所以解决光学对称题，经常会利用到点关于线的对称知识.

例5从点（2，3）射出的光线沿与直线x-2y=0平行的直线射到y轴上，求经y轴反射的光线所在的直线方程.

解由题意得，射出的光线方程为y-3=12(x-2),

即得x-2y+4=0与y轴的交点为(0,2),

又(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),所以反射光线所在直线过(0,2),(-2,3).故方程为x+2y-4=0.

例６在直角坐标系中，A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，求光线所经过的路程.

解设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D,C,易求得D(4,2),C(-2,0),则△PMN的周长=|PM|+|MN|+|PN|=

|DM|+|MN|+|NC|.由对称性，D,M,N,C共线，所以|CD|即为所求，由两点间的距离公式得|CD|=40=210.

endprint

对称问题是高中数学的一个重要内容，也是平时学习的难点.它的运用非常广泛，不仅体现在数学知识上，有时还会渗透到物理应用中去.对称问题的题型主要体现在点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称等几个方面.

一、点关于点对称

点关于点对称是大家比较常见的对称问题，也是最简单的对称问题.关于原点对称可以通过坐标系得出，关于一般点对称我们可采用中点公式求出对称点坐标.

例1设点M(2,4)，求点M关于点P(-1,2)对称的点N的坐标.

分析P点不是坐标原点，要求出N点坐标必须利用中点坐标公式.

解设点N(x,y)，点M(2,4)，点P(-1,2)，由中点坐标公式可得N(-4,0).

二、直线关于点对称

直线关于点对称通常转化为点关于点对称.在直线上取出两个特殊点，然后求出两对称点可确定直线方程.在解题过程中我们发现直线关于点的对称直线和原直线是平行的，这样我们解决此类问题还可设平行直线系，再将一个对称点坐标代入即可求出.

例2求直线l1:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l2方程.

方法一分析在l1上找两个点，求出其在l2上的两对称点，确定方程l2.

解在l1上任取两点，如M(1,1),N(4,3),则M,N关于点A的对称点M′,N′均在l2上.

得M′(-3,-5),N′(-6,-7),由两点式可得l2的方程为2x-3y-9=0.

方法二分析可设直线系方程，再代入一个特殊点，就可以确定直线方程了.

解因为l1∥l2,所以设对称直线方程l2为： 2x-3y+c=0(c≠1).

因为点A到两直线的距离相等,

所以由点到直线的距离公式得

|-2+6+c|22+32=|-2+6+1|22+32,解得c=-9.

所以l2的方程为2x-3y-9=0.

方法三分析通过点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题.

设P(x,y)是l2上任一点，则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-y)

.因为P′在直线l1上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,整理得2x-3y-9=0.

三、点关于直线对称

在坐标系中我们容易观察出点关于坐标轴的对称点，点关于特殊直线y=x的对称点.但如果面对一般直线的对称问题时，如假设已知点的坐标是A(x0,y0)，已知直线方程（非坐标轴直线）是y=kx+b，求点A关于已知直线y=kx+b的对称点B的坐标.解决此类问题就要抓住两点：①两点所在直线与已知直线垂直，②两点的中点在已知直线上.

例3 求点A(-1,-2)关于直线l∶2x-3y+1=0的对称点A′的坐标.

分析求解的关键是抓住垂直与平分这两个几何条件上，转化为代数关系列方程求解.

解设A′(x,y)，AA′中点坐标为(x-12,y-22)

.由已知得 y+2x+1·23=-1，

2×x-12-3×y-22+1=0,

解得x=-3313，

y=413.

所以A′(-3313,413).

四、直线关于直线对称

直线关于直线的对称是以点关于直线的对称为基础的，其求解方法和点关于直线的对称相同.但是直线关于直线的对称问题中，两直线的位置关系有两种不同的情况：两直线平行，两直线相交.当两直线平行时，通常设平行直线系方程，然后通过两组平行线间的距离相等求出直线方程.当两直线相交时，解决此类问题的方法很多，主要有：特殊值法，交点法，动点代入法等.为了方便，我们通常采用取交点的方法.下面我们以相交直线为例.

例4求直线m:3x-2y-6=0关于直线l1∶2x-3y+1=0的对称直线l2的方程.

分析线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决.

解在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M关于l1的对称点M′必在l2上.

设对称点M′(a,b).

则由2×a+22-3×b+02+1=0,

b-0a-2×23=-1,得 M′(613,3013).

设m与l1的交点为N，由2x-3y+1=0

3x-2y-6=0得N(4,3).

又l2过N点，由两点式得直线l2的方程为9x-46y+102=0.

五、对称问题与物理知识结合应用

由物理光学知识知道，入射光线与反射光线关于法线对称.所以解决光学对称题，经常会利用到点关于线的对称知识.

例5从点（2，3）射出的光线沿与直线x-2y=0平行的直线射到y轴上，求经y轴反射的光线所在的直线方程.

解由题意得，射出的光线方程为y-3=12(x-2),

即得x-2y+4=0与y轴的交点为(0,2),

又(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),所以反射光线所在直线过(0,2),(-2,3).故方程为x+2y-4=0.

例６在直角坐标系中，A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，求光线所经过的路程.

解设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D,C,易求得D(4,2),C(-2,0),则△PMN的周长=|PM|+|MN|+|PN|=

|DM|+|MN|+|NC|.由对称性，D,M,N,C共线，所以|CD|即为所求，由两点间的距离公式得|CD|=40=210.

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对称问题是高中数学的一个重要内容，也是平时学习的难点.它的运用非常广泛，不仅体现在数学知识上，有时还会渗透到物理应用中去.对称问题的题型主要体现在点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称等几个方面.

一、点关于点对称

点关于点对称是大家比较常见的对称问题，也是最简单的对称问题.关于原点对称可以通过坐标系得出，关于一般点对称我们可采用中点公式求出对称点坐标.

例1设点M(2,4)，求点M关于点P(-1,2)对称的点N的坐标.

分析P点不是坐标原点，要求出N点坐标必须利用中点坐标公式.

解设点N(x,y)，点M(2,4)，点P(-1,2)，由中点坐标公式可得N(-4,0).

二、直线关于点对称

直线关于点对称通常转化为点关于点对称.在直线上取出两个特殊点，然后求出两对称点可确定直线方程.在解题过程中我们发现直线关于点的对称直线和原直线是平行的，这样我们解决此类问题还可设平行直线系，再将一个对称点坐标代入即可求出.

例2求直线l1:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l2方程.

方法一分析在l1上找两个点，求出其在l2上的两对称点，确定方程l2.

解在l1上任取两点，如M(1,1),N(4,3),则M,N关于点A的对称点M′,N′均在l2上.

得M′(-3,-5),N′(-6,-7),由两点式可得l2的方程为2x-3y-9=0.

方法二分析可设直线系方程，再代入一个特殊点，就可以确定直线方程了.

解因为l1∥l2,所以设对称直线方程l2为： 2x-3y+c=0(c≠1).

因为点A到两直线的距离相等,

所以由点到直线的距离公式得

|-2+6+c|22+32=|-2+6+1|22+32,解得c=-9.

所以l2的方程为2x-3y-9=0.

方法三分析通过点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题.

设P(x,y)是l2上任一点，则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-y)

.因为P′在直线l1上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,整理得2x-3y-9=0.

三、点关于直线对称

在坐标系中我们容易观察出点关于坐标轴的对称点，点关于特殊直线y=x的对称点.但如果面对一般直线的对称问题时，如假设已知点的坐标是A(x0,y0)，已知直线方程（非坐标轴直线）是y=kx+b，求点A关于已知直线y=kx+b的对称点B的坐标.解决此类问题就要抓住两点：①两点所在直线与已知直线垂直，②两点的中点在已知直线上.

例3 求点A(-1,-2)关于直线l∶2x-3y+1=0的对称点A′的坐标.

分析求解的关键是抓住垂直与平分这两个几何条件上，转化为代数关系列方程求解.

解设A′(x,y)，AA′中点坐标为(x-12,y-22)

.由已知得 y+2x+1·23=-1，

2×x-12-3×y-22+1=0,

解得x=-3313，

y=413.

所以A′(-3313,413).

四、直线关于直线对称

直线关于直线的对称是以点关于直线的对称为基础的，其求解方法和点关于直线的对称相同.但是直线关于直线的对称问题中，两直线的位置关系有两种不同的情况：两直线平行，两直线相交.当两直线平行时，通常设平行直线系方程，然后通过两组平行线间的距离相等求出直线方程.当两直线相交时，解决此类问题的方法很多，主要有：特殊值法，交点法，动点代入法等.为了方便，我们通常采用取交点的方法.下面我们以相交直线为例.

例4求直线m:3x-2y-6=0关于直线l1∶2x-3y+1=0的对称直线l2的方程.

分析线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决.

解在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M关于l1的对称点M′必在l2上.

设对称点M′(a,b).

则由2×a+22-3×b+02+1=0,

b-0a-2×23=-1,得 M′(613,3013).

设m与l1的交点为N，由2x-3y+1=0

3x-2y-6=0得N(4,3).

又l2过N点，由两点式得直线l2的方程为9x-46y+102=0.

五、对称问题与物理知识结合应用

由物理光学知识知道，入射光线与反射光线关于法线对称.所以解决光学对称题，经常会利用到点关于线的对称知识.

例5从点（2，3）射出的光线沿与直线x-2y=0平行的直线射到y轴上，求经y轴反射的光线所在的直线方程.

解由题意得，射出的光线方程为y-3=12(x-2),

即得x-2y+4=0与y轴的交点为(0,2),

又(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),所以反射光线所在直线过(0,2),(-2,3).故方程为x+2y-4=0.

例６在直角坐标系中，A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，求光线所经过的路程.

解设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D,C,易求得D(4,2),C(-2,0),则△PMN的周长=|PM|+|MN|+|PN|=

|DM|+|MN|+|NC|.由对称性，D,M,N,C共线，所以|CD|即为所求，由两点间的距离公式得|CD|=40=210.

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