戴振翔，郑赣鸿，张青，马永青

（安徽大学物理与材料科学学院，安徽 合肥 230039）

静磁场中的唯一性定理

戴振翔，郑赣鸿，张青，马永青

（安徽大学物理与材料科学学院，安徽 合肥 230039）

唯一性定理是解决静电磁场问题的重要理论依据，应用构造恰当函数的技巧和一些数学运算，从给定的边界条件出发，本文给出了静磁场唯一性定理的证明，最后给出了唯一性定理关于静磁场实际问题的应用举例.

电动力学；唯一性定定理；边界条件

静电场和静磁场中的唯一性定理是电动力学中的重要定理.静电场的唯一性定理在郭硕鸿的《电动力学》已经给出非常清晰的证明.然而，关于静磁场中的唯一性定理，却没有给出.因此，有必要对静电场和静磁场的唯一性定理给出一个统一的系统证明，为解决静场问题提供理论依据.

1 静磁场边界条件

对于存在有限边界的静磁场问题，边界条件一般只有一种选择，那就是给定边界上的磁感应强度的法向分量：

即通过边界的净磁通为零.

2 静磁场唯一性定理的证明

由于磁场是有旋无源场，原则上可以引入一个矢量的旋度来描述磁感应强度，此矢量定义为矢势A：B=▽×A

在均匀各向同性的磁介质中：B=μH

而静磁场的边值关系：n·(Bi-Bj)=0 n×(Hi-Hj)=α

其中用下标i和j表示界面两侧，n表示界面法线方向的单位矢量，从i侧指向j侧.α表示电流线密度，其大小等于垂直通过单位横截线的电流.

对于非铁磁性均匀磁介质，上述的边值关系可化为A的边值关系：

在磁介质分界面两侧取一狭长回路，计算矢势A对此狭长回路的线积分.

则可以得到：Ait=Ajt

若取库伦规范▽·A=0，则可得：Ain=Ajn及矢势A的法向分量和切向分量在边界处相等，矢势A连续：Ai=Aj

假设在可均匀区分的磁介质内给定磁导率μi和传导电流Ji，在磁介质边界S上给出矢势的切向分量At|S或磁感应强度的切向分量Bt=(▽×A)t|S，则介质内的磁场被唯一确定.

证明假设有两组不同的解A1和A2都满足定理条件.

令：A=A1-A2

在均匀各向同性磁介质B=μH

任意两个相邻的介质分界面上满足边值关系：

因而在整个区域的边界S面上满足：

构造第i个区域Si上的积分：

将积分在所有分区域内求和：

则：▽×A=0 A1-A2=constvector

即A1和A2相差一个常数，两者所确定的磁感应强度矢量相同，即磁场唯一确定.

由以上的论证，可以得到不随时间变化的矢量场，在给定的边界条件和其满足的可以完备描述其不含时的矢量场下，是唯一确定的.

3 结论

从静场的角度论证电动力学中的唯一性定理业已完成.在时变电磁场中论证唯一性定理和在运动的参考系下即相对论情形下论证电磁张量的特定给定的边界条件下的唯一性定理是今后进一步的研究工作.

〔1〕蔡圣善，朱耘.经典电动力学[M].上海：复旦大学出版社，1985.120-210.

〔2〕赵凯华，陈熙谋.电磁学上册[M].北京：高等教育出版社，1985.213-219.

〔3〕胡友秋，程福臻.电磁学与电动力学上册[M].北京：科学出版社，2008.30-85.

〔4〕张玉民，戚伯云.电磁学[M].北京：科学出版社2007.213-241.

〔5〕郭硕鸿，电动力学[M].北京：高等教育出版社，2008.37-90.

〔6〕林璇英，张之翔.电动力学题解[M].北京：科学出版社，2007.99-263.

〔7〕梁昌洪，褚庆昕.运动边界的电磁场边界条件[J].物理学报，2002,51(10)：2201-2204(10).

〔8〕雷银照，徐纪安.时变电磁场唯一性定理的完整表述[J].电工技术报，2000,15(1)：16-20.

〔9〕胡森.静磁场矢势A的唯一性定理及其证明[J].湖北第二师范学院学报，2008,25(2)：31-32.

〔10〕张福恒.静电唯一性定理的意义与应用[J].海南师范大学学报，2008,21(2)：161-166.

〔11〕张国文，王福谦.在电磁学中讲授静电场的唯一性定理[J].长治学院学报，2005,22(2)：45-47.

〔12〕邵建军.论电磁势的唯一性（非动力物理效应）与相对论[J].湖北教育学院学报，2002,19(2)：22-26.

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