高名旺，张宪民

（1.山东理工大学机械工程学院，山东淄博 255012；2.华南理工大学广东省精密装备与制造技术重点实验室，广州 510641）

高速平面并联机器人残余振动抑制实验

高名旺1，张宪民2

（1.山东理工大学机械工程学院，山东淄博 255012；2.华南理工大学广东省精密装备与制造技术重点实验室，广州 510641）

针对高速轻型并联机器人残余振动抑制问题，基于输入整形法，对其残余振动抑制进行实验研究。首先分析了并联机构运动学，建立了机构动力学模型。然后对每个输入轴分别设计一个比例－微分（PD）控制器，建立包含PD控制器的系统动力学模型。最后分别设计了单模态零振动（ZV）、零振动微分（ZVD）整形器和双模态零振动－零振动微分（ZV－ZVD）整形器，建立了并联机器人实验系统。实验结果表明，输入整形器可以抑制并联机器人的残余振动，而双模态整形器振动抑制效果更好。

并联机器人；输入整形；残余振动

并联机器人由于惯性低、刚度高、承载能力强等优点，已得到广泛应用，然而在高速运动时残余振动格外突出［1］。抑制残余振动，可通过增加阻尼、提高刚度或者采用主动控制算法等方法实现。

输入整形法是一种前馈控制技术，它将系统的输入与输入整形控制器的一系列脉冲卷积的值作为控制输入，从而达到减小残余振荡的效果。这种方法首先应用于单模态的具有柔性结构的线性系统［2－5］，随之推广到多模态线性系统［6－7］，并逐步应用在非线性系统［8］。

Kozdk等［9］提出在并联机床中应用单模态方法减少残余振动，该文献把机构动力学线性化，然后计算固有频率和阻尼。吴军等［1］利用实验得到并联机床的模态参数，设计单模态整形器抑制并联机床的残余振动，但仅进行仿真。Li等［10］也设计单模态整形器抑制3－PRR机构的残余振动，并进行了仿真。

然而，针对并联机构的残余振动进行输入整形抑制的实验研究鲜有涉及。本文首先建立了3－RRR机构的动力学模型和控制模型。然后基于实验得到的模态参数设计了单模态和双模态两类整形器。最后利用整形器进行了残余振动抑制实验，对两类整形器的抑制效果进行了比较，结果表明双模态整形控制器有更好的残余振动抑制效果。

1 并联机构动力学模型

1.1 机构运动学

平面并联机器人3－RRR有三个自由度，即x－y平面的平动（x，y）和绕z轴的转动φ。如图1所示，在固定基座O1O2O3建立系统固定坐标系OXYZ，在动平台C1C2C3上建立动坐标系O′X′Y′Z′。则点O′在固定坐标系中可表示为

图1 机构示意图Fig.1 Scheme of themechanism

1.2 机构动力学

2 并联机器人输入整形控制

2.1 输入整形原理

输入整形法将命令输入和整形器产生的脉冲的卷积作为被控对象的输入，驱动系统运行。一个欠阻尼二阶系统的残留振动幅值可表示为

ξ是系统阻尼比，ω是系统自然频率，Ai、li是整形器产生的第i个脉冲的幅值和时间，n是产生的脉冲数。

常用的输入整形器有ZV零振动整形器、ZVD零振动微分整形器和极不灵敏EI整形器，这些整形器的参数是通过求解不同的限制方程获得的［12］。最简单的ZV整形器包括两个脉冲，第一个脉冲在t1时刻作用，第二个脉冲在t2时刻作用，其产生的振荡与第一个脉冲产生的振荡在理想状态下幅值相等、方向相反，从而消除系统振荡。整形器传递函数为

2.2 输入整形控制原理

并联机构有三个控制轴。每一个轴分别设计一个PD控制器，PD控制规律为

输入整形控制分别采用单模态和双模态整形器抑制并联机器人残留振动。每一阶固有频率构建一个输入整形器，然后再把这两个单模态的输入整形器进行卷积，从而形成一个双模态输入整形器。并联机器人的控制过程如图2所示。

图2 并联机器人控制原理Fig.2 Parallel robot control theory

3 残余振动抑制实验

3.1 实验系统

3－RRR平面并联机器人如图3所示，它由3－RRR并联机构、交流伺服电机和Dspace1103控制器组成。3－RRR平面并联机器人在平面中可实现二平动一转动，本文仅以它的X向运动为例说明其残余振动的产生和抑制。并联机器人的输出用激光干涉仪测量。

在残余振动的分析中，幅值为振动偏离稳态值的最大值，稳态时间为并联机器人从启动到稳定在稳态值的某一范围内（本文为0.005 mm）的时间，上升时间为位移稳态值的10%～90%的过渡时间。

图3 3－RRR并联机器人Fig.3 3－RRR parallel robot

实验过程中，机器人按梯形速度曲线，从位置（0，0）运动到位置（100 mm，0）。它的运动加速度为4 g，速度为2 m/s。测得的未整形的动平台位移如图4所示。

由图4可知，当高速高加速运动时，在位置（100，0），并联机器人产生残余振动。残余振动的幅值为1.79 mm，上升时间是0.068 s，运动的稳态时间为0.517 s。

图4 动平台位移Fig.4 Displacement of themoving platform

3.2 残余振动抑制实验

由于实际并联机器人的频率不容易求出，因此，通过实验，得到并联机构的两个低阶振动模态参数：

一阶模态为：f＝28；ξ＝2.09%。

二阶模态为：f＝46.8；ξ＝5.6%。

由于一阶模态响应时间较长，对系统总体的响应时间影响较大，根据式（19）设计ZV整形器，其参数为

而二阶模态控制器的鲁棒性是设计考虑的主要因素，根据式（20）设计鲁棒性较好的ZVD整形器，以提高对系统参数的变化的抗干扰能力。其参数为

将以上设计的两个整形器进行卷积后，可得到双模态输入指令整形器ZV－ZVD

输入信号经过ZV整形后，并联机器人的输出位移响应如图5所示。残余振动的幅值为0.467 mm，是未整形的26.1%；上升时间为0.074 s，是未整形的108.8%；稳态时间为0.4 s，是未整形的77.35%。

经过ZVD整形后，并联机器人的位移响应如图6所示。残余振动的幅值为0.46，上升时间0.118 s，稳态时间为0.356 s。

经过ZV-ZVD整形后，并联机器人位移响应如图7所示。机器人输出没有超调；上升时间为0.109 s，是未整形的160.3%；稳态时间为0.344 s，是未整形的66.53%。

图5 ZV整形后位移Fig.5 Displacement after ZV input shaping

图6 ZVD整形后位移Fig.6 Displacement after ZVD input shaping

图7 ZV-ZVD整形后位移Fig.7 Displacement after ZV-ZVD input shaping

3.3 实验结果分析

并联机器人未整形和经过整形器整形的运动响应的参数值见表1。

表1 实验结果Tab.1 Experiment result

从表1可看到三个明显的趋势。一是输入整形器使得并联机器人的残余振动的幅值和振荡次数显著减少。使用ZV整形器后的系统残余振动的幅值从1.79 mm减少到0.467 mm，振荡次数从4减少到2。而双模态整形器的应用，使得系统的输出响应没有振荡，幅值和振荡次数均为零。第二个趋势是整形器的使用使得并联机器人输出响应稳态时间减少。和未整形相比，整形后的系统响应稳态时间减少了22.6%～33.5%。第三个趋势是系统响应的上升时间增加了。未整形的系统响应上升时间为0.068 s，ZV整形后的上升时间为0.074 s，增加了0.006 s；而ZV-ZVD整形后的上升时间为0.109 s，增加了0.041 s。

4 结 论

基于输入整形器抑制并联机器人的残余振动的实验表明，输入整形能够抑制并联机器人的残余振动，减少其稳态时间，ZV整形器的使用明显减少了机器人的残余振动，机器人的响应也比较快。但双模态整形器有更好的振动抑制效果，它完全抑制了残余振动，实现无超调运动。

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Residual vibration suppression test for a planar parallel robot with high-speed

GAO Ming-wang1，ZHANG Xian-min2
（1.School of Mechanical Engineering，Shandong University of Technology，Zibo 255012，China；
2.Guangdong Provincial Key Laboratory of Precision Equipment and Manufacturing Technology，South China University of Technology，Guangzhou 510641，China）

A test for residual vibration suppression of a parallel robot was done based on input shaping control.Firstly，the kinematics of the planar parallel mechanism was analyzed and the dynamic model of the mechanism was constructed.Then，a PD controller was designed for each input shaft，a dynamic model of the whole system including all PD controllerswas built.Lastly，input shapers for zero vibration（ZV）and zero vibration derivative（ZVD）of signle mode and for zero vibration-zero vibration derivative（ZV-ZVD）of two-mode，respectively were designed.A test system for a parallel robot was set up.The test results showed that the input shapers can be used to suppress the residual oscillation and the ZV-ZVD shaper ismore effective.

parallel robot；input shaping；residual vibration

TP242

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.24.027

国家自然科学基金重大研究计划项目（91223201）；国家863计划项目（2012AA050302）

2013－06－02 修改稿收到日期：2014－04－03

高名旺男，博士，讲师，1973年生

张宪民男，博士，教授，1964年12月生