陈 隽，叶 艇，彭怡欣，3

（1.土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092；2.同济大学，上海 200092；3.香港理工大学，香港，九龙红磡）

行走激励下楼盖振动加速度反应谱研究

陈 隽1，2，叶 艇2，彭怡欣2，3

（1.土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092；2.同济大学，上海 200092；3.香港理工大学，香港，九龙红磡）

利用320条实测中国人步行荷载曲线，由振型分解法计算了步行荷载作用下大跨混凝土楼盖竖向振动的10 s加速度均方根反应谱曲线。基于楼盖频率与振动幅值双控原则，对计算反应谱进行了拟合简化，提出了3～20 Hz频率范围的设计用楼盖均方根加速度响应计算表达式。进一步讨论了高阶振型、边界条件、计算跨度、行走步幅和阻尼比等要素对反应谱的影响，并给出了对应的修正方法。最后通过与已建大跨楼盖步行激励下实测加速度响应的比较，验证了所建议的反应谱计算方法的合理性。

步行荷载；大跨度混凝土楼盖；加速度均方根反应谱；参数分析

随着跨度的不断增大、新型轻质建筑材料的应用，以及无隔墙布置方式的流行，大跨混凝土楼盖在人致激励作用下的振动舒适度问题在工程设计中日益突出。设计阶段主要通过限制楼盖频率下限值或限制结构加速度响应上限值两种方法来处理楼盖振动舒适度问题，后一种方法更为合理。因此，在结构布置方案变化频繁的初步设计阶段，如何快速准确地计算人致激励下的楼盖响应，就显得非常的关键，而采用反应谱方法是主要途径之一。

宋志刚等［1］利用国外不同学者实验所获得的步频为2.2、1.6和1.9 Hz的单足落步荷载曲线，计算了跨度为6 m的简支梁结构的加速度峰值反应谱，对此3条反应谱拟合得到针对不同阻尼比的计算反应谱，并讨论了边界条件，高阶振型和跨度对反应谱的影响。聂建国等［2］基于Willford等［3］提出的步行荷载模型逆向构建了步频为1.6～2.4 Hz的单足落步曲线，并计算了跨度为7.5～150 m的单跨简支人行桥的加速度均方根反应谱，讨论了步频、跨度、阻尼比和边界条件等参数的影响。按照与文献［2］相同的方法，陈宇等［4］建立了适用于二～四跨连续人行桥的加速度均方根反应谱，考虑了跨度比对响应的影响。韩小雷等［5］通过引入对行人行走模式、开始时间、行走路线、体重分布等计算参数分布特性的假定，通过随机生成步行荷载计算了人群行走下楼盖的响应并拟合了反应谱，适用楼盖频率范围4～14 Hz，文中未明确单人步行荷载模型的选取方式。Ungar等［6］基于文献［7－9］中实测2.08、1.67、1.25 Hz步频的单足落步曲线，计算并拟合了单自由度体系加速度、速度峰值及均方根值反应谱。该研究针对高频楼板，谱的适用范围为5～20 Hz。

前述反应谱研究工作中大都选用国外步行荷载数据或数学模型，而大量医学研究已表明中国成年人的足底压力分布、步行荷载特性以及行走特点与西方人差异较大［10－12］。另一方面，仅采用单足落步曲线也忽略了左右脚差异所引起的次谐波效应，造成荷载谱特性不完整。此外，研究所建议反应谱方法大都未与工程实测响应进行对比验证。针对上述问题，本文根据实测中国人步行荷载曲线，计算了大跨度楼盖的加速度均方根反应谱，基于频率和振幅双控原则，提出了3～20 Hz频率范围的设计用反应谱公式与参数修正方法，并与实测楼盖响应进行了比较。

1 标准加速度均方根值反应谱

1.1 步行荷载曲线的选取

利用三维动作捕捉技术结合固定测力板，课题组已完成了100多人次多种步频下步行荷载动力特性试验。图1为实验情形，图2为某男性测试者（身高1.79 m，体重72 kg，固定步频2.0 Hz）左、右脚所测单足落步曲线（虚线）和两个单步的合力（实线）。

图1 采用三维动作捕捉技术的步行荷载特性实验情况Fig.1Walking load experiment using 3D motion capture and fixed force plates

图2 典型落步曲线实验记录Fig.2 Typical footfall curvesmeasured in the test

动作捕捉系统可记录试验者步行时足部的轨迹，以及每足着地和离地的准确时刻。据此可将实测复步步行荷载曲线（即图2中实线）进行了拓展，得到连续的步行荷载曲线［14－15］。本文最终采用了来自60位测试者的总共320条步行荷载曲线，其频率分布覆盖了常见的1.5～2.5 Hz步频范围。与以往研究大多采用单足落步荷载曲线（且多为数值模型）不同，本研究采用的是由实测的复步步行荷载曲线，可更准确体现次谐波效应的影响［14－15］。有关步行荷载实验的更详细的描述见文献［13］。

1.2 标准激励系统均方根加速度反应谱

对于四边简支的矩形薄板，考虑沿板中线行走的最不利方式，利用振型分解方法可得板响应计算方程如下［1，15］：

式中：Yjk、ωjk、ξjk、Mjk、arefjk分别是楼板第（j，k）阶振型的位移、频率、阻尼比、振型质量和参考加速度；j，k分别是行走方向和垂直行走方向板振型编号；G是行人体重；Fj（t）是行走方向第j振型的标准激励曲线，由振型广义力（实测步行荷载曲线乘振型）除体重G得到［1，16］。

定义式（2）为标准激励系统，其响应只与步行荷载曲线的形式有关，与行人体重、振型质量无关。基于式（2）的加速度反应谱计算步骤为：①计算320条实测步行荷载曲线作用下标准激励系统的加速度响应时程·Y·。峰值响应或均方根响应常被用来评估振动舒适jk度［16］，峰值响应具有偶然性，因此本文取计算响应的10 s均方根值的最大值作为当前楼盖频率的反应谱值。①调整楼盖频率重复以上计算，得到楼板频率－10 s加速度均方根值反应谱曲线。计算时取板跨42 m，步幅0.75 m，一阶振型。

图3为1.84 Hz步频、阻尼比2%时的反应谱，图中用竖向虚线标出了步频及其倍频的位置。可见反应谱不仅在步频及其倍频处有峰值，在半步频及其倍数处也有峰值，这是因为计算采用的复步步行荷载曲线，进一步说明了采用实测步行荷载的重要性。

对于给定阻尼比ξk，共有320条反应谱，对其任意频率fi处的反应谱值（共320个），取95%分位数处的谱值ai作为此频率处的代表值，将所有（fi，ai）连线作为ξk对应的反应谱曲线，以下称为标准反应谱曲线。图4为按上述步骤获得的1%阻尼比的均方根反应谱（图中虚线）。图5给出了对应阻尼比为1%～5%的五条标准反应谱曲线。

图3 标准激励系统的加速度均方根值反应谱（步频1.84 Hz，阻尼比2%）Fig.3 RMS acceleration response spectrum of the generalized excitation system（walking rate＝1.84 Hz，ξk＝2%）

图4 1%阻尼比标准反应谱曲线Fig.4 Standard acceeration response spectrum（1%damping）

图5 不同阻尼比的标准反应谱曲线Fig.5 Standard acceeration response spectrum（1%～5%damping ratio）

1.3 加速度均方根反应谱公式

图5所示反应谱曲线峰值集中在2 Hz左右，通过曲线拟合方式获得其数学模型非常困难。针对此问题，建议综合运用频率、振动幅值双控原则，可只对曲线3 Hz以上部分进行拟合。实际楼盖设计时，首先保证楼盖的自振频率不低于3 Hz的常用限值，进而再利用反应谱公式验算加速度响应。据此，对于3 Hz以上部分建议的标准反应谱计算公式为：

式中：f为楼盖频率，单位Hz；a，b为模型参数。将上式拟合图5中各阻尼比对应的反应谱计算曲线，得模型参数见表1。

表1 标准反应谱模型参数系数Tab.1 Coefficients of standard acceleration response spectrum

图6 不同阻尼比下拟合的标准反应谱Fig.6 Standard acceleration response spectrum for various damping ratio

当取其他阻尼比值时，谱模型参数按下式计算

各阻尼比下拟合反应谱见图6。相同频率时，楼盖振动幅值随阻尼比的增大而减小。

2 标准反应谱影响参数及修正方法

本节讨论高阶振型、边界条件、计算跨度、步幅等参数对标准反应谱的影响以及对应的修正方法。

2.1 高阶振型

以四边简支方板为例，计算所得1～3阶振型的反应谱见图7。可见，前3阶振型所对应的10 s加速度均方根值反应谱在3 Hz以上区域差别不大，仅在步频倍频处略有差别。因此，计算响应时可采用式（3）的标准反应谱公式考虑高阶振型的贡献。此结论对于其他四种边界条件：对边简支对边固定、三边简支一边固定、对边简支一边固定一边自由、三边简支一边自由也成立［17］。

图7 四边简支边界对应的前三阶反应谱Fig.7 Response spectrum for the first three vibrationsmodes of imply supported square plate

2.2 边界条件

图8比较了五种边界条件下一阶振型对应的反应谱曲线，图中字母S、C、F分别表示简支、固定和自由边界。可见，若以四边简支（S：S－S：S）边界对应的反应谱为基准，三边简支一边自由（S：S－S－F）边界对应反应谱与之差异最大，峰值差约20%，其余各边界对应反应谱则差别不大。由于边界条件对谱峰值的影响主要出现在3 Hz以前，对不同边界条件采用统一的反应谱曲线（即式（3）对应的四边简支边界标准反应谱）可行，给计算使用带来极大的方便。

图8 各边界条件一阶反应谱比较Fig.8 Effect of boundary conditions on the acceleration response spectrum

2.3 计算跨度

为考虑楼盖计算跨度的影响，按最小跨度16.5 m，最大跨度42 m，间隔1.5 m，计算了5种阻尼比下各跨度对应反应谱。然后将各跨度在四种固定步频曲线作用下的反应谱除以对应42 m跨度的反应谱，再对各比值求均值得到某一步频荷载在某一阻尼比下的跨度修正系数，总共得到20条（4种步频×5种阻尼比）跨度修正系数曲线。对20条曲线的均值进行拟合（图9），得到如下跨度修正系数表达式：

式（5）表明跨度较小时对响应影响较大，随跨度的增大其影响越来越小，当跨度大于30 m时，修正系数已大于0.95，因此对于跨度大于30 m的楼盖不考虑跨度修正不会导致太大误差。

图9 跨度修正系数均值及拟合值Fig.9 Correction coefficient for floor span

2.4 步幅

根据对实测4 300多组［步频、步距］数据的统计［13］，步幅均值随步频的变化很小，稳定在0.66 m左右。相同楼盖跨度，步幅大小影响步行荷载的时长。因此，可将步幅修正与楼盖跨度修正统一以方便计算，即当步幅不同于0.75 m时，直接将式5中的跨度乘以0.75/dl修正，即得到下式

式中：dl为步幅，L为计算跨度，单位为m。

为说明式（6），计算了相同步频、2%阻尼比下0.75、0.66、0.62 m三种步幅在12 m、42 m两个跨度下的标准反应谱曲线。进而计算0.75、0.66 m的反应谱与0.62 m反应谱比值的均值，结果见表2。表中同时给出了由式（4）、（6）计算所得比值，采用跨度与步幅统一修正的式（6）结果误差很小，在2%以内。

表2 不同步幅对应反应谱比较Tab.2 Comparison of spectrum with different stride length

2.5 阻尼比

取步频为1.9 Hz的步行荷载，四边简支边界，阻尼比0.01∶0.01∶0.05，计算10 s加速度均方根值反应谱，见图10。在共振区域（步频的倍频及半倍频处）阻尼比值影响较大，阻尼比大时步行荷载中的高频成分影响减小。后续实例对比也表明，楼盖阻尼比取值对振幅的估计有较大的影响，需谨慎对待。由于微振时结构中许多阻尼机制（如节点、内摩擦等）贡献甚微，结构适用性验算的阻尼比取值应比安全性验算的阻尼比低。

图10 阻尼比对反应谱的影响Fig.10 The influence of damping

3 基于加速度反应谱的楼盖响应计算

利用上一小节建立的标准反应谱曲线以及影响参数的修正方法，可通过以下四个步骤计算楼盖的10 s加速度均方根响应：

（1）利用有限元建模等方法计算目标楼盖的各阶振动频率fjk及振型质量Mjk。

（2）由式（3）计算每阶振型对应的加速度反应谱值，即：

式中：fjk为楼盖（j，k）阶振型频率，系数a、b根据楼盖阻尼比按表1或式（4）取值。j为板沿与行走路线垂直方向振型阶数，k为板沿行走路线方向振型阶数。

（3）按下式计算每阶振型对应的10 s加速度均方根值响应。

式中：φwjk为行走路线对应的第（j，k）阶振型值，φjk为板上响应验算点处（j，k）阶振型值，参考加速度arefjk＝G/Mjkajkref＝G/Mjk，G为行人体重，单位N，Mjk为楼盖（j，k）阶振型质量。

（4）对步骤3计算所得的响应按平方法和开平方的方式进行组合。

4 实例应用分析

4.1 实例结构与人致激励振动实验

某市体育中心综合训练馆采用预应力混凝土楼盖（图11红框部分），短边方向跨度为41.55 m，布置有10根450×3000 mm的预应力混凝土梁；长边方向72 m，共9跨，间距8 m；混凝土板厚120 mm，梁板采用C50混凝土浇筑。作者在此大跨度楼盖上安装了一套包括12个加速度传感器的竖向振动测试系统，用于检验和监测楼盖的竖向振动特性与振动幅度，自2009年初正常工作至今。仪器安装情况与具体布设位置见图12。

图11 混凝土大跨楼盖与步行试验路线Fig.11Walking routes

图12 楼盖测点布置Fig.12 Arrangement ofmeasuring points

利用振动监测系统开展了各种不同人致激励下楼盖振动的多组测试［18］，其中开展了单人固定步频的实验，实测结构响应可用于验证本文建议反应谱方法的合理性。

测试者体重80 kg，在节拍器的引导下按固定步频2 Hz沿四条路线进行了单人激励的振动测试。四条行走路线分别为沿楼盖短轴中线行走测试（路线1）；沿长轴中线行走测试（路线2）；以及分别沿楼盖两个对角线方向行走测试（路线3，4）。线路示意见图11。

4.2 楼盖中心的响应计算

采用Ansys软件建模计算楼盖前16阶竖向振型频率及振型质量［16］，结果见表3。阻尼比取2%，按表1确定反应谱计算公式：

对楼盖中心点，由于长边及短边方向为偶数个半波的振型（比如第2，8阶）在该处的振型值为0，因此这些振型对响应无影响，计算时可略去。楼盖各阶振型对应的楼盖中心点加速度响应及各振型响应组合见表4～表5对参与组合的振型阶数，令组合响应不小于总响应的95%，由表5可见，组合至第5、7阶竖向振型时，楼盖响应分别为组合至第14阶振型楼盖响应的94.6%、98.3%。因此，考虑楼盖前7阶振型能保证组合响应有足够的精度。按照反应谱方法计算得到的楼盖中心点响应为0.117 cm/s2。

4.3 所有测点不同行走线路对比

反应谱计算的楼盖中心点响应为0.117 cm/s2，略小于按路线2行走实测值0.129 cm/s2，原因可能是楼盖阻尼比取值有偏差。为此，取楼盖阻尼比为0.01、0.02、0.03三种情况，采用反应谱方法计算了对应线路1和线路2的所有测点处的加速度响应，并在图13～图14中与实测结果进行了对比。

实测数据表明，沿线路1（图13）、线路2（图14）的步行激励所引起的楼盖响应幅值大于线路3、4的响应，因此按最不利行走路线进行楼盖振动舒适度验算是合理的。图13、14结果同时表明，绝大部分实测点的响应在阻尼比0.01～0.03的计算值之间，本文建议的反应谱计算方法可行。考虑到微振时结构阻尼小，楼盖振动舒适度验算时应取较小的阻尼比值。对本例的预应力混凝土楼盖，由于其上没有任何的分割墙，取阻尼比1%或1.5%是合理的。

表3 楼盖各阶频率及振型质量Tab.3 Natural frequency and modalmass

表4 楼盖中心点各阶振型响应Tab.4 Response of cen tral point of floor

表5 楼盖中心点各阶振型响应组合Tab.5 Modal response combination of central point of floor

图13 各测点响应计算与实测值比较（路线1）Fig.13 Comparison ofmeasured response and calculated results（route 1）

图14 各测点响应计算与实测值比较（路线2）Fig.14 Comparison ofmeasured response and calculated results（route 2）

4.4 与CSTR43规范计算结果对比

图13～图14中另外加入按英国CSTR43计算结果的比较，图中带标记C的为按CSTR43计算结果，考虑阻尼比1%和3%两种情况。除去1、9、11号点外，其他各测点采用CSTR43的计算结果均小于实测结果。原因可能在于楼盖第三阶振型（频率6.09 Hz，与3倍步频接近）在1、9、11测点处的振型值分别为1.0，1.0和0.434，而在其余测点均接近0。显然，采用CSTR43时步频的选择对结果影响很大。文献［19］也曾指出CSTR43的计算结果不可靠。

5 结 论

本文利用实测中国人步行荷载曲线，利用振型分解法研究步行激励下大跨楼盖的加速度10 s均方根反应谱。依据频率和响应的双控原则提出了适用于基频3～20 Hz（或跨度16～42 m）的单人步行荷载激励下的楼盖响应反应谱计算公式，讨论并给出了高阶振型、边界条件、计算跨度、行走步幅以及阻尼比取值等要素的影响和修正方法。最后通过与已建大跨楼盖步行激励下实测加速度响应的比较，验证了建议反应谱计算结果的合理性，可供大跨混凝土楼盖振动舒适度设计与振动评估参考使用。

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Acceleration response spectrum of a long span floor under human walking loads

CHEN Jun1，2，YE Ting2，PENG Yi-xin2，3
（1.State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering，Shanghai200092，China；
2.TongjiUniversity，Shanghai200092，China；3.The Hong Kong Polytechnic University，Hong Kong，China）

Here，the acceleration response spectrum of a long span floor under human walking loads was studied.Three hundreds and twenty experimentalmeasurements ofwalking load curveswere applied to a long span floor to obtain a 10-second root-mean-square acceleration response spectrum in the vertical vibration direction，based on it a simplified calculation expression was suggested for the root-mean-square acceleration response of the floorwithin the frequency range of3－20Hz.The effects of several parameters including higher order vibration modes，boundary condition，floor span，stride length and damping ratio on the spectrum were studied and the corresponding modifying measures were suggested.The detailed implementation procedure of the suggested response spectrum was presented.The feasibility and applicability of the suggested spectrum were validated by comparing the prediction results with field measurements of an existing long span floor.

human walking loads；long span concrete floor；RMS acceleration response spectrum；parametric analysis

T312＋.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.24.001

国家自然科学基金（51178338，51478346）；土木工程防灾国家重点室（SLDRCE14－B－16）

2013－07－16 修改稿收到日期：2014－01－02

陈隽男，博士，教授，1972年4月生