史月杰

（1．首都师范大学 数学科学院，北京 100048；2．保定师范专科学校 涿州分校，河北 保定 072750）

1 问题的提出

数学样例是数学问题及其解答的组合体，或者是一个数学概念、公式或原理的一个具体“实体”对象，一般而言，它可以解释一个数学概念，例说一个原理或例示一个公式及其应用，当然也可以说明一类数学问题的解法，在数学学习中起到样板和示范的作用[1]（马俊青，2009）．

在数学课堂教学中，样例的学习通常以逐步呈现解答步骤的形式向学习者提供解决问题的方法或规则[2]（赵弘，2007）．近年来，研究课堂教学中样例呈现的研究者认为，样例学习的优越性主要表现在以下4个方面：（1）易化了认知技能的获取；（2）有效地防止了错误学习和“手段—目的”分析策略的使用，减轻了学生的认知负荷．（3）样例学习中提供大量的例题和习题，明确表明了与学习有关的关键成分．（4）样例学习转变了学生被动接受知识的地位，调动了学生的学习积极性，有助于培养其思维能力，提高其问题解决技能[3]（许永勤，2000）．近年来，许多学者开始将样例作为学习的主要指导方法来研究[4]（邢强等，2003）．

在传统的数学课堂教学中，新知识和技能的学习常采用样例加练习的形式．样例和练习有不同的呈现方式，一般分为交互式、分块式．交互式呈现方式为样例与练习交错，样例1—练习1—样例2—练习2—……分块式呈现方式是先样例再练习形式，样例1—样例2—样例3……练习1—练习2—练习3……[5]（Trafton和Reiser1993）．研究表明交互式样例、练习呈现比分块式呈现所用解题时间短，正确迁移数量多，与学习知识的编辑模型是一致的．近十年，有一些研究针对样例—问题对呈现及其有效变式的研究，结果显示，练习题在与之解题步骤相同的样例之后呈现是一种比较有效的教学模式[6]（孙志军，2006）．另有一些研究认为不完整的样例呈现比完整的样例呈现能更好地支持认知技能的获得[7]（邵光华，2003），但也有研究者提出了不同的看法．由Renkl和Atkinson等人（2002）提出的渐减提示法样例呈现与传统样例学习方法不一样，它可以动态地实现样例和问题的连接，促进学习者对后面解法进行推理和预期，促进产生自我解释和问题迁移．

在样例学习研究领域中，人们发现学习者从样例学习中所得，不仅受到样例设计的影响，也依赖于学习者如何解释呈现给他们的问题解决的原理，即自我解释．自我解释（self-explaining）概念，是学习者经常用来帮助自己理解,并以“问题”或“判断”等各种形式呈现外部信息的加工过程，是一种由自我产生并指向自我知识建构的心理活动[8]（曾辉，2011）．普通意义上指的是学习者向自身做出解释，以此力图理解新信息的活动．样例学习中的自我解释，指学习者在学习样例的时候，为了充分理解样例，积极地向自己解释问题的解决步骤，解释问题解决的原理，预计解决的步骤，使得学习者充分利用样例所提供的信息来建构理想的解决问题的图式．已有研究表明，样例学习的解释中包含两种类型：无诱发自我解释（自发自我解释，spontaneous self-explanation），诱发自我解释．无诱发自我解释和诱发自我解释都是学习者自己生成的解释，诱发自我解释都或多或少地得到了外界解释性信息的支持，而无诱发自我解释则是完全依靠学习者自身．对大部分学习者来说，由于受学习经验和思维水平的限制，其无诱发自我解释往往数量不足、质量低下，对建构学习的帮助不大．由于自发自我解释的上述不足，研究者们开始关注通过学习材料的设计或更直接的方法—通过提示性问题来诱发自我解释，在样例学习中诱发自我解释能促进学习效果的结论已得到相关证实．

实验将样例学习中的自我解释作为干预因素与样例呈现方式结合研究，将个别学习者样例学习中的自我解释方式抽离出来作为干预因素区别作用于不同的学习者，研究不同干预方式和不同呈现方式的组合作用对学习者数学学习带来的影响．选择材料为全日制普通高中教材高二数学排列及排列的应用内容，此内容思维性强，对学习者诱发自我解释和无诱发自我解释的区分度高，解答步骤分明，适合作为实验材料．将学习材料设计成4种呈现方式“样例—问题对+诱发自我解释”、“渐减提示法+诱发自我解释”、“样例—问题对+无诱发自我解释”，“渐减提示法+无诱发自我解释”．

2 研究方法

2.1 实验设计

实验采用2´2实验设计，以样例的呈现方式（样例—问题对，渐减提示法）、自我解释（诱发自我解释、无诱发自我解释）作为自变量，以测验成绩为因变量．

2.2 被 试

被试从某市高二年级理科班中随机抽选59人，按以前模块考试成绩的平均成绩作为分组依据，分成4组：“样例—问题对组＋无诱发自我解释”组（15人），“渐减提示法组＋无诱发自我解释”组（16人），“样例—问题对+诱发自我解释”组（15人），“渐减提示法＋诱发自我解释”组（13人）．经单因素方差分析，各分组之间平均成绩没有显著性差异（F=0.049，p=0.986）．

表1 4组被试平时数学成绩差异方差分析结果

2.3 实验材料

实验材料由学习材料和测试材料构成．学习材料的主要内容是排列及其排列数公式，包括：教案、学案和样例学习材料．“样例—问题对+无诱发自我解释”搭配组（第一组）的学习材料包括两个样例和两道相似的问题，“样例—问题对+诱发自我解释”组（第二组）学习材料是在上述（第一组用）样例和练习旁加注提示性问题．“渐减提示法+无诱发自我解释”搭配组（第三组）的学习材料有两个完整样例（即应用排列数公式解答的应用题），两个练习题，其解答提示步骤逐渐减少以至最后仅剩下问题去解决，“渐减提示法+诱发自我解释”组（第四组）所用材料是在第三组学习材料旁边加注提示性问题．

评分方法：测试材料为有关排列及其排列数公式应用的试题，一共8题．评分标准如下：第1、2题为选择题，每题5分，第3题共5分，给出百位数求法得2分，给出十位数求法得2分，有个位数求法及结论得1分；第4题共5分，选派正、付组长一人值班得2分，选择其他5人值班排列得3分；第5题共7分，能分成3类得2分，各类的路线条数答对分别为2、2、1分；6、7、8题的分数分别为5分，5分，7分，赋分方式参看3、4、5题总分为44分．

2.4 实验程序

第一步，对被试分组，对 4组学生做前测（时间约为20分钟），主要检查排列组合中两个基本原理的掌握情况．

第二步，将被试59人集中一起，按学案设计学习排列和排列数公式内容，时间一节课．回收学案，课间休息 10分钟．第二节课，将被试4组同学带到4个教室，分开学习．分发各组样例学习材料，学习时间为40分钟．在学习过程中，教师会根据时间将问题或不完整样例的答案利用幻灯片投影出来，以便学生能够对自己掌握的情况进行及时掌控．然后回收样例材料．1天后进行同时测试，测试时间为 45分钟．

3 结果与分析

对各分组成绩进行描述性统计，结果如表2所示．

表2 各组成绩描述统计结果

可看出，在4个分组中后，后两个分组的成绩比前两个分组高一些，其中“渐减提示法+诱发自我解释”组成绩最高，而“样例—问题对+无诱发自我解释”组成绩最低．

对后测成绩进行2´2方差分析，其中，样例呈现方式和自我解释类型都是被试间因素．结果如表3．

表3 后测成绩2（两种样例呈现方式）´2（两种自我解释类型）方差分析结果

这表明：样例呈现方式主效应显著（F(1, 58)=5.708，p=0.020<0.05），自我解释类型主效应显著F(1, 58)=4.846，p=0.031<0.05）．结合表1，样例渐减提示呈现方式在后测成绩（M=31.733，SD=2.334）上显著高于样例—问题对呈现方式（M=23.536，SD=2.276）．且诱发自我解释干预方式在后测成绩（M=31.417，SD=2.373）上显著高于无诱发自我解释干预方式（M=23.852，SD=2.236）．但样例呈现方式与自我解释类型两因素交互作用没有达到显著水平（F(1,58)=1.042，p=0.282>0.05）．

对两个实验因素的水平搭配分组做独立样本t检验，结果如表4．

表4 二因素水平搭配分组的独立样本t检验

其中，分别用 A0表示水平样例—问题对呈现方式、用A1表示渐减提示法呈现方式；B0表示无诱发自我解释、B1表示诱发自我解释．

可以看出，有3组水平搭配均值差异显著，另外3组没有达到显著水平．其中“渐减提示法+诱发自我解释”组后测成绩（M=35.333，SD=3.619）好于“样例问题对+无诱发自我解释”组后测成绩（M=21.571，SD=3.360）“渐减提示法+诱发自我解释”组后测成绩好于“渐减提示法组+无诱发自我解释”组（M=26.133，SD=3.1）．“渐减提示法+诱发自我解释”组后测成绩好于另外“样例—问题对+诱发自我解释”组后测成绩（M=25.500，SD=3.261）．虽然其它3组在均值上差异有大小之别，但都没有达到显著水平．

4 结果讨论

4.1 样例呈现方式中“渐减提示”方式组测试成绩高于“样

例—问题对”方式组的归因分析

实验结果说明，渐减提示法呈现样例的成绩好于样例—问题对方式呈现的样例，其原因可能是：样例—问题对的呈现方式虽然对学习者认知图式的获得有一定的作用，但由于其很难有效地促进学习者进行样例学习的自我解释，因而影响了学习的成效．而样例呈现渐减提示法方式，由于既考虑到在学习过程中学习者的自我建构过程，又能在学习者学习过程中提供认知建构的框架等外部支持措施，符合认知技能获得的四阶段模型[9]（按照Anderson（1997））．认知技能获得的四阶段模型指，认知技能的获得是一个渐进的、动态的变化过程，第一阶段，学习者通过类比解决问题，即他们依照已知的样例并试图把样例与问题的解决联系起来；第二阶段，学习者形成了抽象的陈述性规则，书面知识引导他们解决问题；第三阶段，问题解决的速度变得很快，进入这一阶段后学习者不再按照他们习得的书面知识而是自动按照熟悉的问题很快地、自动地解决问题，没有使用较多的注意资源；第四阶段，学习者在头脑中已经拥有了大量样例的不同类型的问题，因此可以很快地直接从记忆中提取问题的解法．而且这些阶段可以是相互叠加的，它反映的是学习者使用不同解决方法的灵活性．显然，当学习者在第一阶段或从第一阶段进入第二阶段时依据样例的学习是非常重要的，而当学习目标是促进第三阶段的获得时，样例可能不是一个首选的方法，问题解决练习显得特别关键．渐减提示法呈现组正是考虑到这个动态变化的认知过程来安排样例学习，最初呈现的完整样例为后来学习者建构关于样例的知识图式提供了一个认知模型，伴随着不断简化的支架问题直到最终问题，学习者实现了新知识图式的建构．建构主义强调支架式教学的重要性，认为支架式教学为学习者建构对知识的理解提供了一种概念框架，这种框架中的概念是为发展学习者对问题的进一步理解所必须的．为此,事先要把复杂的学习任务加以分解，以便于把学习者的理解逐步引向深人．渐减提示法正式通过以上方法，引导着教学的进程．其次，渐减提示法呈现方式促进学习者对样例问题进行高质量的自我解释，对下一步是什么或怎样解决有一个心理预期，能进行积极的推理．样例文本的空缺和心理模型的空缺是相互对应的，通过自我解释产生的推理填补了这种空缺．所以通过渐减提示学习，学习者不断译码样例材料，也就不断完善了自我建构的心理模型．

实验学习材料是排列和排列数公式内容，比较适合用样例学习方式，不同的样例呈现方式对学习效果也有不同的影响，从测试的结果来看，渐减提示法组的成绩高于样例—问题对组，也能从上述理论得出解释．利用两个基本原理解决排列问题，必须理解问题解决中的策略和步骤，明确分成几类，各类再分成几步．而利用样例—问题对呈现方式不能很好地促进学生重点掌握问题解决中的策略和方法，不能有效激发自我解释，而相应的渐减提示法不同，把要解决的任务分成几个步骤来提示，让学生从中发现该类任务的解决方法和步骤，能有效激发自我解释并按方法步骤处理问题，学习效果自然不同．

4.2 样例呈现方式中“诱发自我解释”干预组测试成绩高

于“无诱发自我解释”干预组的归因分析

实验结果表明，样例呈现方式中诱发自我解释组成绩好于无诱发自我解释组，且“渐减提示法+自我解释”组成绩优于“样例—问题对+自我解释”组，可能原因：样例呈现中的“样例—问题对”组，呈现给学生的样例的表面内容是相似的，因而它们的基本结构和解题步骤也是相同的，虽然被试会有自发的自我解释，但是他们还是不能很好地监控自己的解释活动，不能有意识地加工子目标和算子之间的联结条件．而使用渐减提示法呈现方式却相反，在诱发的自我解释条件下，可以在有限的认知限度内进行自我推理，辨别子目标和算子之间的联结条件，建构起较为有效的心理模型，提高学习成绩．本实验中采用的学习材料是排列和排列数公式，在诱发自我解释条件下，学生能够更加关注排列的步骤，不管是渐减提示法还是样例—问题对呈现，都能使学生更好地理解排列中分类和分步的道理，提高数学成绩[10~13]．

因此，在利用样例进行教学过程中，最好使用不完整样例的渐减提示法，因为这些需要学生进行推导，并填充已跳跃过的部分，促进学习中的自我解释；样例学习过程中的自我解释的质和量对学习效果有很大影响，在设计自学材料时，最好使用“渐减提示法+诱发自我解释的方式呈现样例．

5 研究结论

已有的研究比较重视样例类型和呈现方式的研究，重视样例与问题的联结方式对数学学习的影响，也重视和类比迁移、认知负荷与自我解释等学习心理机制的结合研究，相比于以往的研究，这里将自我解释作为样例学习中的干预因素来研究设计，研究不同干预方式、不同呈现方式及其不同组合作用对学生数学学习带来的影响．

基本结论：

在排列及其应用教学中，样例呈现方式和自我解释主效应均显著，但样例呈现方式和自我解释之间交互效应不显著．总的说，样例渐减提示呈现方式组在后测成绩上显著高于样例—问题对呈现方式组；诱发自我解释干预方式组在后测成绩上显著高于无诱发自我解释干预方式组．具体来说，“渐减提示法+诱发自我解释”组后测成绩显著好于“样例问题对+无诱发自我解释”组后测成绩；“渐减提示法+诱发自我解释”组后测成绩显著好于“渐减提示法组+无诱发自我解释”组；“渐减提示法+诱发自我解释”组后测成绩好于另外“样例—问题对+诱发自我解释”组后测成绩．

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