数学课堂如何兼顾学生数学素养与应试能力

2014-04-10曹广福

数学教育学报 2014年2期

何勇，曹广福

（1．广州市执信中学，广东广州 510095；2．广州大学数学与信息科学学院，广东广州 510006）

1 引言

对绝大多数高中生来说，通过高考上好大学，找份好工作，是他们首要的选择．由于大学学位供求差距太大，高考恐难以有太大的改变．也就是说应试仍是中学生学习的一个重要目的．以上的教育困惑将一定时期内存在，教师也在应试教育与素质教育之间纠结、挣扎，这就给教师带来一个艰难的问题：数学课堂能不能兼顾学生数学素养与应试能力？

所谓数学素养是指具备一定的数学知识，了解数学发展过程，懂得用数学的眼光观察问题，用数学的头脑分析问题，能运用数学方法解决问题．数学素养与数学应试能力是两个完全不同的概念，所谓应试能力，顾名思义是应付考试的能力，以应付考试为目的的教育就是应试教育．学生有一定的应试能力未必具备一定的数学素养，人们之所以对教育现状有诸多不满，也正是因为素质与应试之间存在着严重矛盾．

考试是检验学生掌握知识的程度与运用知识能力的不可或缺的基本形式，可见考试本身没有错，但以考试为最终目的教育显然背离了教育的宗旨．数学教育的根本目的应该是发挥学生的数学潜能，全面提高学生的数学素质，而不是单纯的传授知识．根据学生的不同特点，让每一个学生都有提升自身数学素养的机会．

中国学生在国际性数学竞赛及水平测试中成绩斐然，虽然培养了很多数学尖子生，但迄今为止，却没有人获得过菲尔兹奖等国际性数学大奖，这是值得每个数学教育工作者深思的问题．目前无论是中小学数学教师还是大学数学教育工作者，都在积极探索中国中小学数学教育改革．他们分别从东西方数学教育比较、基础教学的继承与发展以及课堂教学中的问题意识等多方面探索数学教育改革之路（例如参见文[1~5]），这些研究对于促进中国中小学数学教育无疑是有重要参考意义的．传统的数学课堂教学有什么弊端？教师应该教什么样的数学？数学课堂是传授知识还是传授思想？这些问题的答案似乎并不复杂，但真正做起来并不容易．

广州市执信中学与广州大学数学与信息科学学院在中学数学课堂教学改革方面正进行深入的合作研究，针对数学课堂设计合适的教学方案，目的在于探索兼顾学生数学素质培养与应试的教学模式，使得学生既具备基本的数学素养、能学以致用，又能适应各种选拔式考试．在此基础上，根据课程标准，针对课堂的具体内容设计教学方案．

2 课堂教学的基本模块

素质教育远远不止于开设几门文化素质课，学几种技能，开展几项活动，它更体现在每一节课堂教学中．众所周知，从古希腊数学直到牛顿、莱布尼兹创立的微积分，一千多年的数学史表明[1~4]，重要数学概念的产生通常与现实及自然科学有关．遗憾的是，很多老师在实际教学过程中往往忽略了概念的教学或者说不清楚概念的来龙去脉与深刻背景，致使学生对概念理解不深刻，有些甚至不想去理解．定理的证明也是停留在技术层面上，缺少对定理的科学价值与实际意义的理解，只把目标盯在如何解题上．久而久之，在学生心目中，所谓数学就是学生阶段需要学习并考好的课程之一，至于它与人们的日常生活、自然科学之间有什么关系几乎一无所知．数学是将现实世界或自然科学中的各种现象与关系用符号或数字以最简洁的方式表达出来，通过逻辑演绎与计算等数学手段探求未知的结论．换句话说，数学是现实世界的抽象反映，它反映了各种现象的本质．数学产生与发展的过程就是个发现问题、分析问题、解决问题的过程，老师的根本任务是通过合情推理还原这个过程，挖掘隐藏在书本知识背后的思想与方法．数学课堂通常分为几大模块，其中概念课、原理课（也叫规则课）、解题课是教学的主体．然而，实际的教学过程中，由于应试的压力，老师往往将重点放在解题课上，不仅没有讲清楚概念的来龙去脉与定理的科学意义，甚至概念一带而过，学生对概念的理解似是而非，解题时只能生搬硬套，这不是真正的数学教育．

2.1 概念课

任何一个数学概念的产生通常都伴随着重要的历史背景，老师应该熟悉相关的历史，了解数学概念产生的根源，即所谓的本原性问题，通过本原性问题驱动概念课教学，克莱因的《古今数学思想》也许可以帮助老师熟悉相关历史（参见文[6~9]）．事实上，任何一个重要概念都应该说清楚几件事：（1）概念是怎么产生的？为了解决什么问题？（2）如何恰当地定义一个概念？（3）概念的内涵是什么？

以复数教学为例，研究者曾经做过一些了解，询问来自不同学校的学生：“你们的中学老师在介绍复数概念时是怎么讲的？是不是从有理数的扩充开始？先介绍诸如x2-2=0在有理数范围内无解，所以需要将有理数进行扩充，再讲到诸如 x2+1=0在实数范围内无解，所以实数也要扩充？”学生纷纷点头：“老师就是这么教的．”研究者又问：“方程 022=-x 是有实际背景的，例如单位长度正方形对角线的长度问题，可老师有没有告诉你们方程 012=+x的背景是什么？它来自哪里？”学生纷纷摇头．可见教师的复数概念教学并未说清楚概念之所以产生的背景．所设计的不过是一些伪问题或伪情境．老师从这个解释不清的方程出发介绍复数，于是学生以为引入复数就是为了解这些不知道有什么用的方程，与做数学游戏并无二致．

数学的发展是一个漫长又复杂的过程，一个数学概念从产生到最终为大家普遍接受往往需要很长的时间，复数概念从16世纪人们在一元三次方程求根问题中发现负数开平方问题，直到18世纪中叶欧拉利用复数概念将指数函数与三角函数联系起来，即著名的欧拉公式，其间经过了300年左右的时间．老师虽然很难在有限的课堂上完全按照历史发展的线索将一个概念的产生完完整整叙述清楚，但应该尊重历史，而不是脱离历史人为杜撰一些不符合事实的例子，否则学生所了解的将是虚假的历史．在尊重历史基础上，按照适合课堂的方式重新组织相关史料．这就对老师提出了较高的要求，事实上，一个重要概念的产生不仅意味着一个理论的滋生，而且这个概念对于后续概念与理论的产生可能具有深远的影响．正是因为人们将复数与平面内的点相对应，使得代数运算可以进入二元数组，从而平面内的力学问题可以利用复数来处理．这一发现给数学带来的影响是深刻的，正是受到复数的启发，人们试图寻找三维空间中的对应方法，19世纪中叶，数学家兼物理学家哈密尔顿创立了四元数，为三维空间中的静力学研究奠定了数学基础．如果学生甚至老师对这些史实不了解甚至一无所知，而是根据自己的想象臆造出一些例子，所谓素养的提高将无从谈起．

再以函数概念的建立为例．函数是微积分中出现的第一个重要概念，它的本质是什么？与现实世界的关系是什么？老师即使涉及，也大多解释不清．函数概念的建立是人们连接现实世界与数学王国的桥梁．完全可以从具体现象出发逐步引入函数概念，文[10]指出：“世间万物皆是不断变化的，人的生老病死，大海的潮涨潮落，经济市场的瞬息万变，无不体现了一个永恒的真理，不变是相对的，变是绝对的．如何描述各种现象的变化规律？如何预测其变化趋势？反映这些客观规律的重要模型就是函数，它告诉我们不同的量在某个过程中的内在关系，以及它们的变化规律，通过对这些函数模型的分析可以预测各种相关量的变化趋势．”

很多概念的产生通常是新理论的萌芽，这些概念恰恰是启发学生创新思维能力的最好载体，为什么要提出一个概念？如何适当地定义概念？这些概念给我们带来了什么？这些问题也许比概念本身更重要．目前存在的一种现象是很多老师并不重视概念课，为了有更多的时间解题，课堂上概念一带而过，不愿意花时间挖掘隐藏在概念背后的深刻数学思想，学生无法弄清楚为什么需要这个概念，甚至搞不清概念的内涵，这是素质教育与应试教育之间一个突出的矛盾．

2.2 原理课

任何数学理论都是通过概念与定理呈现的，无论是概念的产生还是定理的发现都缘于一个核心——问题，换句话说，数学理论的建立与发展是发现问题、分析问题及解决问题的过程，概念课的讲授需要围绕着问题展开，定理的讲授也需要围绕着问题展开．一个定理是如何被发现的？它反映了什么规律性的东西？它能带给我们什么？如果老师不能通过对问题的不断分析从中发现定理的证明思想．那么学生只能是学了一大堆理论，却不知道这些理论有什么用，学了一堆知识，却没有催化自身能力的提升．老师应该清楚书本与课堂之间的关系，老师课堂上的根本任务应该是透过书本知识挖掘背后的思想并展现给学生，这样死的知识才能变成活的灵魂．

与概念课不同的是，数学原理或定理中很多是数学自身逻辑演绎的结果，促使这些定理产生的问题大多属于派生性的．数学原理课不在于有多难，抽象的东西能用通俗易懂的方式阐述清楚其本质就是高水平的教学．

以微积分教学为例，中学生能否具备辩证思维能力可能有待进一步研究，但中学阶段对微积分的要求不宜太高．微积分作为辩证思维的典范，几乎是每一个大学生都要学习的，中学阶段没必要也做不到让学生真正理解微积分蕴含的深刻思想．但中学微积分教学也不应该仅仅局限于简单的极限、导数及积分计算，而应该初步领略微积分的本质，否则不如不学．微积分的本质是什么？简而言之，贯穿微积分始终的灵魂就是局部地以直代曲，以简单代替复杂，这是典型的辩证法思想，与经典的初等数学基于形式逻辑演绎的思想完全不同．如果学生修完微积分后只知道极限、导数与积分的简单计算，对这门学科深刻的思想内涵一无所知，这样的微积分教学很难称为成功．

要真正讲好微积分，就应该了解微积分产生的背景，历史上，推动微积分发展的动力正是自然科学，主要是速度、路程、面积以及光学问题．无论是导数还是积分都体现了一个共同的思想，局部地看，曲线段可以近似看成直线段，曲边形可以近似看成直边形，这是处理问题的第一步．第二步是不断细化，最终产生质的飞跃—极限．对于中学生而言，能理解这一基本的思想方法并能进行简单的计算就够了．

认识能力的提高是个渐进的过程，不同年龄阶段认知能力是不同的，美国新数学运动之所以失败，其原因之一正是忽略了中小学生认识能力上的局限．但避重就轻，弱化数学思想，片面强调解题技巧显然也不是成功的数学教育．

与概念不同的是，定理的发现未必都缘于本原性问题，它可能是逻辑演绎的结果，而且不是每个定理都可以找到它产生的史实，老师需要根据合情推理创造定理发现的情境．学生学习了定理后应该清楚定理是为了解决什么问题？它反映了什么思想？利用它还可以解决什么问题？

原理课不仅仅是定理的论证过程，更重要的是需要阐述清楚定理的科学意义，所以原理课也应该在问题的驱动下进行．这就需要老师熟悉数学史，了解数学发展规律．

2.3 解题课

哈尔莫斯说过：“学习数学的最好方法是解题．”要学好数学，一定量的解题训练是必须的，问题是，解题的目的是什么？这将决定教师怎么上解题课．解题的目的有两个：（1）强化对概念与原理的理解；（2）提升分析和解决数学问题以及实际问题的能力．前者通常在讲授概念与原理阶段完成，后者则是侧重强化数学知识的综合运用．但在实际教学中，站在应试角度，以上两点都只是过渡，最终目标是考试成绩，虽然考试成绩与这两个目标有密切关联，但不可否认，按现在的考试方式，学生通过高强度的机械训练，即使这两个目标达成度不高，学生仍有可能取得较好的考试成绩．

解题课不在于重复讲解与练习很多题，而在于引导学生如何从已知中发现未知，一道典型题可以演化出多种变化，条件的变化，结论的变化，等等．研究者认为，题目的类型可以分为3类：（1）为了解决某类问题，需要具备什么条件（即目标明确，条件未知）？（2）在现有的条件下可以解决什么问题（即条件已知，目标不明确）？（3）利用已有的条件如何解决某个问题（即条件已知，目标明确）？传统的解题课大多是第三类问题，可喜的是，目前国内的教材在这方面已经有所改变，增加了一些开放式题型，这对于拓展学生思维不无帮助．

3 结束语

中国的中小学数学教育改革是项长期的工作，课程标准、教材固然是改革的重要部分，但教师实际的教育过程则是改革能否落到实处和教育成败与否的根本．每年全国各地都会举行各种教师培训项目，这些培训对于提升教师的素养与教学水平起到了重要作用．但实际教学过程涉及每个教师个人的经验、眼界与素养，正所谓一百个教师有一百种不同的教学方法，如何针对课堂教学的具体内容给出一个系统的教学指导性参考是一项工程巨大而且意义重大的事情，它将决定我们最终能否跳出应试教育的怪圈，从应试教育的强大压力中解脱出来．

从理论上讲，素质教育与应试之间没有本质的矛盾，如果学生真正理解了数学理论，掌握了数学思想，学会了数学思维，解题能力自然可以得到提高，正所谓厚积薄发．在现阶段，如果老师们在课堂教学中切实贯彻新课标的要求，将重点放在学生数学素养与数学能力的培养，同时兼顾到考试能力的提高，对于提升数学教育质量，培养高素质的数学人才无疑是有帮助的．执信中学这些年在这方面做了有益的尝试，具体做法是在低年级（一二年级）侧重基本能力的培养，不片面追求分数，高年级（三年级）则兼顾到学生考试能力的提高，在进一步提高数学素养的同时增强应试能力．

毋庸置疑，仅仅依靠课标与教材的改革是很难从根本上改变数学教育现状的，如果老师们能够在新课标指导下，根据教材内容针对“数学课堂如何围绕问题展开”进行深入的思考与探索，细心设计驱动课堂教学的问题，则数学教学将会更见成效．可喜的是，许多教师与专家都意识到了“问题”在课堂教学中的重要性，例如，曾小平，吕传汉，汪秉黎[11]、温建红[12]等关于数学教学中学生提出的问题作了深入的研究与分析．张夏雨和喻平[13]、杜文平[14]、张永雪[15]、廖运章[16]等则对学生问题解决能力的差异做了评估或研究，可见“问题”是数学教育中不可或缺的灵魂．可以预见，如果课堂教学围绕着问题展开，在尊重历史的基础上通过引导学生发现问题与对问题的深入分析从而大胆提出猜想，最终提炼出概念或建立定理，必将对学生数学素养的提高带来帮助．将数学课堂分成概念课、原理课及解题课3个模块并针对 3类课堂设计合适的问题是兼顾素质教育与应试教育比较切实可行的方法．

[1] 周莹，王华．中美中学数学优秀教师课堂提问的比较研究——以两国同课异构的课堂录像为例[J]．数学教育学报，2013，22（4）：25-29．

[2] 宁连华，涂荣豹．中国数学基础教育的继承与发展[J]．数学教育学报，2012，21（6）：6-9．

[3] 温建红．数学课堂有效提问的内涵及特征[J]．数学教育学报，2011，20（6）：11-15．

[4] 吴增生．3B教育理念下的数学高效课堂教学策略初探[J]．数学教育学报，2011，20（1）：17-22．

[5] 杨跃鸣．数学教学中培养学生“问题意识”的教育价值及若干策略[J]．数学教育学报，2002，11（4）：77-80．

[6] M·克莱因．古今数学思想（第一册）[M]．上海：上海科学技术出版社，1985．

[7] M·克莱因．古今数学思想（第二册）[M]．上海：上海科学技术出版社，1985．

[8] M·克莱因．古今数学思想（第三册）[M]．上海：上海科学技术出版社，1985．

[9] M·克莱因．古今数学思想（第四册）[M]．上海：上海科学技术出版社，1985．

[10] 曹广福．例论非数学专业学生同样需要数学思想[J]．数学教育学报，2009，18（3）：1-3．

[11] 曾小平，吕传汉，汪秉黎．初中生“提出数学问题”的现状与对策[J]．数学教育学报，2006，15（3）：51-53．

[12] 温建红．论数学教学中学生提出问题的意义及培养策略[J]．数学教育学报，2014，23（1）：20-23．