钟艳莉

摘要：变式训练，其意义在于通过数学教学中教师对于原命题的合理转化，以达到提高学生对于数学对象本质属性的掌握能力。作为一门抽象理论与心智技巧高度融合的学科，数学的学习对于提高学生的逻辑抽象能力，提高学生严密的思维能力有着关键性的作用。在数学学习过程中，教师应注重对于学生数学思维的拓展，通过发散性思维去开拓学生解题思维，通过变式训练来提高学生对于数学概念的应变与应用能力。对于变式训练而言，是通过恰当合理的变式让学生达到举一反三、触类旁通的学习效果，即通过变式训练，学生可以对课本知识进行全面而深刻的理解与应用。

关键词：中学数学；教学；变式训练

中图分类号：G632.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）05-0095-02

在中学数学课堂中，教师应先让学生掌握好基本的概念，对数学概念有一个基本的正确认识后，再通过变式训练，改变数学概念的某些条件，带领学生来建筑该数学概念的等价变式，并通过等价变式的推理与应用，反过来提升对于原数学概念的理解与应用能力。在这一过程中，考虑到数学概念自身的抽象逻辑性，教学中，教师应保证学生对其有着基本认识后，再进行挖掘概念的内涵。变式训练是通过把概念放进一定关系与条件下来进行学习，从而达到数学知识的迁移与灵活应用的目标。

一、变式训练对于培养学生数学概括能力的案例

对于数学教学来说，学生对于数学概念的概括能力，决定了其思维逻辑性的基础。在此前提下，学生只有拥有了正确的概括能力，才能对数学概念形成正确的认识，进而去挖掘数学概念的内涵与拓展数学概念的外延。基于此，通过变式训练提升学生的思维概括能力，就可以有效地提高学生的学习效率，提高学生的探究性学习的积极性。

例1：对一元一次方程ax=c解的讨论。在此案例中，可以通过解方程来切入：

解方程：2x=4，则x=2.在此原题中，可以插入变式训练，如：变式①2x=0，x=0；②0x=4，方程无解；③0x=0，x为任意实数。

可以看到，通过这三种变式的讨论，只要改变一元一次方程中a、c的解，则方程解也会产生相应变化，学生在对方程ax=c进行讨论时，也就会对其概念产生更深入的理解。即：当a≠0时，x=■；当a=0，c≠0时，方程无解；当a=0，c=0时，x为任意实数。

二、变式训练对于培养学生数学理解能力的案例

中学数学学习中，学生要先理解数学定理，才能进一步去应用与发挥。所谓数学定理，是指由定义、公理和其他已知的正确命题经过逻辑推理证明确认其真实性的命题。数学定理包括学生学到的各种数学定律、数学公式与性质、数学法则等。而在这一过程中，变式训练可以通过对公式定理的各种推导与演练，来加强学生对于定理各条件因素的理解。在不同条件的变化中，学生可以借由自身的观察、思考与分析能力，对数学定理进行类比、运算与归纳。这样的过程强调了学生的思路延展性，强调了不同变式对数学定理的各种证明，通过对定理进行条件与结论的变式训练，可以让学生对定理的使用区域，定理的应用方法有更透彻的理解。最终达到学生对于数学定理的内存关系把握，促使学生形成一个数学定理系统化的学习模式。

例2：在学习等腰三角形的判定时，见下图：

已知：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，CD垂直于AB，BE垂直于AC，垂足分别为D、E，∠l=∠2.

求证：△ABC是等腰三角形。

对于这类问题而言，学生会先想到等腰三角形的定义，也就会想到利用两个三角形全等来证明整个三角形是等腰三角形。其中只要证明了AB=AC，那么就可以得出△ABC为等腰三角形。这种思维属于常规性解题思维。教学中，为了引导学生对数学定理进行更深入的理解，笔者引导学生再来想想还有没有其他方法可以来证明△ABC为等腰三角形。任何出题的条件都是有用的，通过观察图形，学生集思广益，想到三角形中一个等角对等边的知识。于是顺利把问题从证明AB=AC过渡到了如何来证明∠ABC=∠ACB。为了提高学生解决问题的能力，笔者引导学生继续思考如何才能证明这两角相等。首先，学生先想到的是三角形内角和为180°，其次想到了等角的余角相等这一定理。在这样的解题过程中，一题多解，一式多变，变式训练有效地达到了提高学生数学知识系统性，即举一反三，综合应用所学的数学定理与公式的能力，同时也提高了学生的多向思维能力与灵活的思考能力。

三、变式训练对于提高学生数学解题能力的案例

在中学数学教学课堂中，题海战术是常见的教学手段。立足于以多胜少、记典型题等角度，学生在大量的解题训练中身心俱疲，容易陷入低效、低质的怪圈。而且长期这样的题海训练会让学生看见陌生题目，就先想自己有没有做过，长期以往，也就丧失了独立思考与创新思维的能力，只会找熟悉条件，按书本与训练中所教的方法来做题。而变式教学从变式设问中开始思考，通过对同一题的条件转换，帮助学生分析数学规律，找出解题方法，减少学生遇到新题型就盲目用解过的方法去套的现象，达到改变学生数学思维僵化状态的目标。

例3：已知y与x成反比例，当x=3时，y=2，求x=1.5时，y的值。

变式①：已知y是x的反比例函数，则可以得出下表：

（1）请以上表数据，写出该反比例函数的表达式；（2）根据写出的反函数表达式完成上表。

变式②：已知y与-2成反比例，当x=4时，y=3，求当x=5时，y的值。

从以上两个变式中可以看出，变式①是通过对原题进行条件变换，把原来的文字描述，变成表格形式。通过这种方法让学生研究数据的变化求解反比例函数中的比例系数k值。而变式②则是直接把x-2看成一个整体，进而培养学生的数学整体性解题思维能力。endprint

摘要：变式训练，其意义在于通过数学教学中教师对于原命题的合理转化，以达到提高学生对于数学对象本质属性的掌握能力。作为一门抽象理论与心智技巧高度融合的学科，数学的学习对于提高学生的逻辑抽象能力，提高学生严密的思维能力有着关键性的作用。在数学学习过程中，教师应注重对于学生数学思维的拓展，通过发散性思维去开拓学生解题思维，通过变式训练来提高学生对于数学概念的应变与应用能力。对于变式训练而言，是通过恰当合理的变式让学生达到举一反三、触类旁通的学习效果，即通过变式训练，学生可以对课本知识进行全面而深刻的理解与应用。

关键词：中学数学；教学；变式训练

中图分类号：G632.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）05-0095-02

在中学数学课堂中，教师应先让学生掌握好基本的概念，对数学概念有一个基本的正确认识后，再通过变式训练，改变数学概念的某些条件，带领学生来建筑该数学概念的等价变式，并通过等价变式的推理与应用，反过来提升对于原数学概念的理解与应用能力。在这一过程中，考虑到数学概念自身的抽象逻辑性，教学中，教师应保证学生对其有着基本认识后，再进行挖掘概念的内涵。变式训练是通过把概念放进一定关系与条件下来进行学习，从而达到数学知识的迁移与灵活应用的目标。

一、变式训练对于培养学生数学概括能力的案例

对于数学教学来说，学生对于数学概念的概括能力，决定了其思维逻辑性的基础。在此前提下，学生只有拥有了正确的概括能力，才能对数学概念形成正确的认识，进而去挖掘数学概念的内涵与拓展数学概念的外延。基于此，通过变式训练提升学生的思维概括能力，就可以有效地提高学生的学习效率，提高学生的探究性学习的积极性。

例1：对一元一次方程ax=c解的讨论。在此案例中，可以通过解方程来切入：

解方程：2x=4，则x=2.在此原题中，可以插入变式训练，如：变式①2x=0，x=0；②0x=4，方程无解；③0x=0，x为任意实数。

可以看到，通过这三种变式的讨论，只要改变一元一次方程中a、c的解，则方程解也会产生相应变化，学生在对方程ax=c进行讨论时，也就会对其概念产生更深入的理解。即：当a≠0时，x=■；当a=0，c≠0时，方程无解；当a=0，c=0时，x为任意实数。

二、变式训练对于培养学生数学理解能力的案例

中学数学学习中，学生要先理解数学定理，才能进一步去应用与发挥。所谓数学定理，是指由定义、公理和其他已知的正确命题经过逻辑推理证明确认其真实性的命题。数学定理包括学生学到的各种数学定律、数学公式与性质、数学法则等。而在这一过程中，变式训练可以通过对公式定理的各种推导与演练，来加强学生对于定理各条件因素的理解。在不同条件的变化中，学生可以借由自身的观察、思考与分析能力，对数学定理进行类比、运算与归纳。这样的过程强调了学生的思路延展性，强调了不同变式对数学定理的各种证明，通过对定理进行条件与结论的变式训练，可以让学生对定理的使用区域，定理的应用方法有更透彻的理解。最终达到学生对于数学定理的内存关系把握，促使学生形成一个数学定理系统化的学习模式。

例2：在学习等腰三角形的判定时，见下图：

已知：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，CD垂直于AB，BE垂直于AC，垂足分别为D、E，∠l=∠2.

求证：△ABC是等腰三角形。

对于这类问题而言，学生会先想到等腰三角形的定义，也就会想到利用两个三角形全等来证明整个三角形是等腰三角形。其中只要证明了AB=AC，那么就可以得出△ABC为等腰三角形。这种思维属于常规性解题思维。教学中，为了引导学生对数学定理进行更深入的理解，笔者引导学生再来想想还有没有其他方法可以来证明△ABC为等腰三角形。任何出题的条件都是有用的，通过观察图形，学生集思广益，想到三角形中一个等角对等边的知识。于是顺利把问题从证明AB=AC过渡到了如何来证明∠ABC=∠ACB。为了提高学生解决问题的能力，笔者引导学生继续思考如何才能证明这两角相等。首先，学生先想到的是三角形内角和为180°，其次想到了等角的余角相等这一定理。在这样的解题过程中，一题多解，一式多变，变式训练有效地达到了提高学生数学知识系统性，即举一反三，综合应用所学的数学定理与公式的能力，同时也提高了学生的多向思维能力与灵活的思考能力。

三、变式训练对于提高学生数学解题能力的案例

在中学数学教学课堂中，题海战术是常见的教学手段。立足于以多胜少、记典型题等角度，学生在大量的解题训练中身心俱疲，容易陷入低效、低质的怪圈。而且长期这样的题海训练会让学生看见陌生题目，就先想自己有没有做过，长期以往，也就丧失了独立思考与创新思维的能力，只会找熟悉条件，按书本与训练中所教的方法来做题。而变式教学从变式设问中开始思考，通过对同一题的条件转换，帮助学生分析数学规律，找出解题方法，减少学生遇到新题型就盲目用解过的方法去套的现象，达到改变学生数学思维僵化状态的目标。

例3：已知y与x成反比例，当x=3时，y=2，求x=1.5时，y的值。

变式①：已知y是x的反比例函数，则可以得出下表：

（1）请以上表数据，写出该反比例函数的表达式；（2）根据写出的反函数表达式完成上表。

变式②：已知y与-2成反比例，当x=4时，y=3，求当x=5时，y的值。

从以上两个变式中可以看出，变式①是通过对原题进行条件变换，把原来的文字描述，变成表格形式。通过这种方法让学生研究数据的变化求解反比例函数中的比例系数k值。而变式②则是直接把x-2看成一个整体，进而培养学生的数学整体性解题思维能力。endprint

摘要：变式训练，其意义在于通过数学教学中教师对于原命题的合理转化，以达到提高学生对于数学对象本质属性的掌握能力。作为一门抽象理论与心智技巧高度融合的学科，数学的学习对于提高学生的逻辑抽象能力，提高学生严密的思维能力有着关键性的作用。在数学学习过程中，教师应注重对于学生数学思维的拓展，通过发散性思维去开拓学生解题思维，通过变式训练来提高学生对于数学概念的应变与应用能力。对于变式训练而言，是通过恰当合理的变式让学生达到举一反三、触类旁通的学习效果，即通过变式训练，学生可以对课本知识进行全面而深刻的理解与应用。

关键词：中学数学；教学；变式训练

中图分类号：G632.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）05-0095-02

在中学数学课堂中，教师应先让学生掌握好基本的概念，对数学概念有一个基本的正确认识后，再通过变式训练，改变数学概念的某些条件，带领学生来建筑该数学概念的等价变式，并通过等价变式的推理与应用，反过来提升对于原数学概念的理解与应用能力。在这一过程中，考虑到数学概念自身的抽象逻辑性，教学中，教师应保证学生对其有着基本认识后，再进行挖掘概念的内涵。变式训练是通过把概念放进一定关系与条件下来进行学习，从而达到数学知识的迁移与灵活应用的目标。

一、变式训练对于培养学生数学概括能力的案例

对于数学教学来说，学生对于数学概念的概括能力，决定了其思维逻辑性的基础。在此前提下，学生只有拥有了正确的概括能力，才能对数学概念形成正确的认识，进而去挖掘数学概念的内涵与拓展数学概念的外延。基于此，通过变式训练提升学生的思维概括能力，就可以有效地提高学生的学习效率，提高学生的探究性学习的积极性。

例1：对一元一次方程ax=c解的讨论。在此案例中，可以通过解方程来切入：

解方程：2x=4，则x=2.在此原题中，可以插入变式训练，如：变式①2x=0，x=0；②0x=4，方程无解；③0x=0，x为任意实数。

可以看到，通过这三种变式的讨论，只要改变一元一次方程中a、c的解，则方程解也会产生相应变化，学生在对方程ax=c进行讨论时，也就会对其概念产生更深入的理解。即：当a≠0时，x=■；当a=0，c≠0时，方程无解；当a=0，c=0时，x为任意实数。

二、变式训练对于培养学生数学理解能力的案例

中学数学学习中，学生要先理解数学定理，才能进一步去应用与发挥。所谓数学定理，是指由定义、公理和其他已知的正确命题经过逻辑推理证明确认其真实性的命题。数学定理包括学生学到的各种数学定律、数学公式与性质、数学法则等。而在这一过程中，变式训练可以通过对公式定理的各种推导与演练，来加强学生对于定理各条件因素的理解。在不同条件的变化中，学生可以借由自身的观察、思考与分析能力，对数学定理进行类比、运算与归纳。这样的过程强调了学生的思路延展性，强调了不同变式对数学定理的各种证明，通过对定理进行条件与结论的变式训练，可以让学生对定理的使用区域，定理的应用方法有更透彻的理解。最终达到学生对于数学定理的内存关系把握，促使学生形成一个数学定理系统化的学习模式。

例2：在学习等腰三角形的判定时，见下图：

已知：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，CD垂直于AB，BE垂直于AC，垂足分别为D、E，∠l=∠2.

求证：△ABC是等腰三角形。

对于这类问题而言，学生会先想到等腰三角形的定义，也就会想到利用两个三角形全等来证明整个三角形是等腰三角形。其中只要证明了AB=AC，那么就可以得出△ABC为等腰三角形。这种思维属于常规性解题思维。教学中，为了引导学生对数学定理进行更深入的理解，笔者引导学生再来想想还有没有其他方法可以来证明△ABC为等腰三角形。任何出题的条件都是有用的，通过观察图形，学生集思广益，想到三角形中一个等角对等边的知识。于是顺利把问题从证明AB=AC过渡到了如何来证明∠ABC=∠ACB。为了提高学生解决问题的能力，笔者引导学生继续思考如何才能证明这两角相等。首先，学生先想到的是三角形内角和为180°，其次想到了等角的余角相等这一定理。在这样的解题过程中，一题多解，一式多变，变式训练有效地达到了提高学生数学知识系统性，即举一反三，综合应用所学的数学定理与公式的能力，同时也提高了学生的多向思维能力与灵活的思考能力。

三、变式训练对于提高学生数学解题能力的案例

在中学数学教学课堂中，题海战术是常见的教学手段。立足于以多胜少、记典型题等角度，学生在大量的解题训练中身心俱疲，容易陷入低效、低质的怪圈。而且长期这样的题海训练会让学生看见陌生题目，就先想自己有没有做过，长期以往，也就丧失了独立思考与创新思维的能力，只会找熟悉条件，按书本与训练中所教的方法来做题。而变式教学从变式设问中开始思考，通过对同一题的条件转换，帮助学生分析数学规律，找出解题方法，减少学生遇到新题型就盲目用解过的方法去套的现象，达到改变学生数学思维僵化状态的目标。

例3：已知y与x成反比例，当x=3时，y=2，求x=1.5时，y的值。

变式①：已知y是x的反比例函数，则可以得出下表：

（1）请以上表数据，写出该反比例函数的表达式；（2）根据写出的反函数表达式完成上表。

变式②：已知y与-2成反比例，当x=4时，y=3，求当x=5时，y的值。

从以上两个变式中可以看出，变式①是通过对原题进行条件变换，把原来的文字描述，变成表格形式。通过这种方法让学生研究数据的变化求解反比例函数中的比例系数k值。而变式②则是直接把x-2看成一个整体，进而培养学生的数学整体性解题思维能力。endprint