李伟平，谢 锋，马腾飞，张宝珍

(湖南大学，汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082)

前言

车架是汽车上重要的承载部件，车辆所受到的载荷最终都会传递给车架，因此车架的结构直接影响到整车的性能。车架结构设计的主要目的是在确保车架强度、刚度和动态性能的前提下，减轻车架的质量，以达到轻量化设计的目的。在车架的设计中，由于材料在加工制造过程中，不可避免地存在着与材料性质、边界条件、初始条件、测量偏差等有关的误差或不确定性。这些误差或不确定性虽然在多数情况下数值较小，但耦合在一起可能使系统响应产生较大的偏差[1]。因此考虑车架参数的不确定性影响对车架的设计有重要的理论和实际意义。

不确定性优化问题的研究一直是工程领域中研究的热点。传统的方法大多采用概率方法来描述参数的不确定性，即把不确定变量作为随机变量。然而由于概率方法对于实际工程问题有其本身的局限性，比如有时很难提供充分的概率分布信息来描述这些随机变量，从而限制了基于概率的优化方法在工程中的应用[2-4]。而基于区间方法的不确定性优化方法把不确定参数看作区间数，只须知道不确定参数的上下界信息，这些信息在工程实际中较易获得。因此基于区间数的不确定优化在工程应用中具有明显的优势[5-10]。

本文中首先建立了车架的有限元模型，并构建了设计变量和不确定变量与目标函数之间的Kriging代理模型。选取车架各梁的厚度作为优化变量，材料的弹性模量和密度作为不确定变量。以车架强度和车架质量最小作为优化目标进行不确定性多目标优化。

1 区间数不确定优化和算法

1.1 区间多目标优化模型的描述

在工程实际中，要得到随机变量的精确概率分布是很困难的，因为需要在大量统计数据的基础上，运用数理统计的相关理论来近似获得。但是获得不确定量的界限则相对容易。在描述不确定性量的方法中，区间法只须知道不确定参数的变动范围即可，故采用区间数来描述不确定量的不确定性。

利用区间数来描述不确定量，则不确定多目标优化问题可以描述为

(1)

1.2 不确定性优化问题的确定性优化

本文中将不确定性优化转化为确定性优化的主要内容是将不确定性目标函数转化为确定性目标函数。利用目标函数中点值来判断不同设计向量之间的优劣,则

(2)

(3)

(4)

通过上面的处理，式(1)可转化为如下的确定性多目标优化问题：

(5)

1.3 不确定性多目标优化算法

不确定性问题的求解都是典型的双层嵌套问题。其中外层优化用于设计向量的寻优，而内层优化用于计算不确定目标函数的区间。由于嵌套优化的存在，转化后的优化问题通常是非连续和不可导的，所以传统的基于梯度的优化方法难以对之有效求解。本文中对于外层和内层优化都选用随机搜索的遗传算法。内层采用隔代遗传算法(IP-GA)在不确定域求解目标函数区间，外层采用加入精英保持策略和去除重复个体的非支配排序遗传算法(NSGA-II)对车架应力响应和质量响应两个目标进行不确定性优化。

目前多目标优化遗传算法分为基于Pareto概念与不基于Pareto概念的遗传算法。基于Pareto概念的遗传算法是求解多目标问题非劣最优解的有效途径，也是目前研究的热点[11]。在基于Pareto的方法中NSGA-II是最有效的。NSGA-II算法由非支配排序遗传算法(NSGA)发展而来，其基本思想是[12]：采用非支配排序算法对种群进行非支配排序分层，为每个个体赋予虚拟适应度值，然后进行选择、交叉、变异等操作；为了保持Pareto最优解集的均匀分布，使用共享函数和小生境技术，为处于同一非支配层上的个体指定虚拟的适应度。该算法采用了拥挤度和拥挤度比较算子，使种群中的个体能均匀地扩展到整个Pareto域，保持种群的多样性，避免局部收敛；采用精英保持策略，将父代种群和子代种群一起排序竞争而得到下一代，从而保证下一代的个体更加优良；求解Pareto解集准确性和分散性较好。

(6)

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2 车架有限元模型

某半挂牵引车车架为边梁式结构。主要由2根主纵梁、2根副纵梁和4根横梁组成。主副纵梁之间通过铆钉连接。本文中以车架最为典型的弯曲工况进行不确定性多目标优化，利用Hypermesh软件对车架进行几何清理、网格划分以及约束和载荷的加载。加载时车架质量和载荷乘以动载系数，本文中动载系数取2.5，方向竖直向下，以模拟牵引车在平坦路面上以较高速度行驶时产生的对称垂直动载荷。

在分析计算时，为消除车架的刚体位移，须对车架的自由度进行约束，约束前板簧的3个平动自由度UX、UY、UZ；释放前板簧的3个转动自由度ROTX、ROTY、ROTZ；约束后板簧竖直方向的平动自由度UZ；释放其它方向的所有自由度。车架结构有限元模型如图1所示。P1为驾驶室作用在车架上的载荷，P2为发动机总成及其它附件的载荷，P3为油箱等附件的载荷，P4为备胎等附件的载荷，P5为满载时货物作用在牵引车车架上的垂向载荷，P6为满载时货物作用在牵引车车架上的水平载荷。

3 不确定性多目标优化

3.1 设计变量和不确定变量的选取

选取车架横梁和纵梁共5种不同的厚度作为设计变量。由于制造和测量等误差，材料的密度ρ和弹性模量E为不确定量，根据文献[10]和文献[15]，取弹性模量和密度的不确定水平均为5%。设计变量和不确定量取值范围分别如表1和表2所示。

表1 各优化变量取值范围

表2 各不确定变量取值范围

3.2 目标函数的建立

本文中通过合理优化车架各梁的厚度以达到加强车架强度和减轻车架质量的目的。因此以车架强度最大(即应力最小)和车架质量最小建立多目标优化问题，考虑车架材料密度ρ和弹性模量E的不确定性，车架的不确定性多目标优化模型可以描述为

(9)

式中：σ为车架的应力值；m为车架的质量值，σC(X,U)和mC(X,U)可通过式(3)求得。

3.3 近似模型的构建

本文中使用Kriging模型来代替直接的有限元模型计算，以节省计算时间。

Kriging模型是一种估计方差最小的无偏估计模型，它能够提供一种精确的插值。它由全局模型和局部偏差迭加而成，可表示为

Y(X)=f(X)+Z(X)

(10)

式中：Y(X)为未知的近似模型；f(X)为已知的多项式函数；Z(X)为均值为零、方差σ2和协方差不为零的随机过程。选取Kriging模型函数类型为高斯函数。本文中构建了设计变量和不确定变量与目标函数之间的近似模型。具体步骤如下：

(1)采用拉丁超立方实验设计，对5个设计变量和2个不确定变量进行50次采样；

(2)将采样值赋予车架有限元模型进行计算，得出车架应力和车架质量的响应值；

(3)通过Matlab-DACE工具箱分别建立设计变量和不确定变量与车架应力响应的近似模型以及设计变量和不确定变量与车架质量响应的近似模型；

(4)精度判断：设计变量和不确定变量空间，采用拉丁超立方实验设计，选择3个采样点，分别对真实模型和近似模型进行求解，并计算两者的相对误差，如果相对误差满足给定精度要求(设定为5%)，则构建近似模型成功，获得Kriging近似模型的具体参数；否则将这些采样点加入步骤(1)的采样点集，转步骤(3)重新构建近似模型。

通过以上步骤构建的近似模型，其精度如表3和表4所示。从表中可以看出，模型的相对误差都小于5%，满足预先设定的要求。

表3 近似模型应力响应精度判断

表4 近似模型质量响应精度判断

3.4 优化过程与结果分析

本文中将加入精英保持策略和去除重复个体的非支配排序遗传算法(NSGA-II)和隔代遗传算法(IP-GA)结合起来，在近似模型的基础上，求解车架双层嵌套优化问题。

首先，外层NSGA-II在车架各梁组成的设计空间内寻优，对于每个所取的设计向量进入内层IP-GA，在不确定弹性模量E和密度ρ组成的不确定参数空间内搜索，通过计算近似模型确定目标函数响应的上下界，进而得到目标函数响应的平均值。把内层优化结果反馈给外层优化算法，以帮助外层算法继续寻优，直到满足停止准则输出最后的Pareto最优解集。优化流程如图2所示。

经过200次迭代，得到Pareto解集如图3所示；其中比较有代表性的10组解如表5所示。车架优化前后的数据见表6。

对比表5和表6的数据可以看出，通过不确定性多目标优化，车架的质量和应力值可以得到明显改善。设计者可根据自己对目标的期望和工程经验来选择合适的设计变量，如果设计者对整车质量关注较大，可以选择9、10这两组数据；如果对车架受力比较关注，可以选择4、5这两组数据；如果需要综合考虑车架的应力和质量，则可选择6～8这3组数据。

表5 不确定性优化的Pareto最优解

表6 车架优化前数据

利用NSGA-II算法对车架进行确定性多目标优化，将优化得出的值和不确定性多目标优化得出的值进行对比，如图4所示。

由图可见，不确定性优化的结果值绝大部分略高于确定性优化结果的值，这是由于在不确定性优化过程中考虑了材料参数不确定性的影响，采用目标函数区间中间值来判断设计变量的优劣。在图中应力大于190MPa的区域出现几组不确定性优化解小于确定性优化解。这说明在没有对不确定性参数对目标函数的影响大小进行优化时，只考虑目标函数平均值得出的解也有可能比确定性得出的结果要小。通过结果的对比，尽管不确定性优化值偏大，但它考虑了材料参数波动对车架性能的影响。因此不确定性优化比确定性优化具有更好的可靠性，也更能反映真实的情况，具有更好的工程实际意义。

4 结论

本文中在车架有限元模型的基础上构建了设计变量和不确定变量与目标函数之间的近似模型，以代替计算时调用真实的有限元模型。在满足精度的前提下，大大减少了计算时间。考虑车架材料参数不确定因素，提出将NSGA-II和IP-GA结合起来求解车架双层嵌套优化问题。由于内层采用效率很高的IP-GA算法，因此节约了计算时间。该法能兼顾设计目标性能和可靠稳定性，使设计对不确定扰动不敏感，具有一定的理论和工程实际意义。

最后将确定性优化值和不确定性优化值进行对比，得出不确定性优化的优越性，同时也说明不确定性优化能更好地反映实际模型。

虽然文中考虑了不确定性参数的影响，但没有分析不确定性参数对目标函数的影响。下一步的工作将会在提高计算效率和不确定性参数对目标函数的影响方面做进一步的研究。

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