关于提高概率论课程教学效果的一些思考

2014-02-10叶飞

教育观察 2014年19期

叶飞

(铜陵学院数学与计算机学院，安徽铜陵，244061)

概率论是从数量上研究随机现象的规律性的学科，它在自然科学、技术科学、社会科学和管理科学中有着广泛的应用[1]。概率论是高等数学一个重要的组成部分，在学生后续的专业课程学习中起着非常重要的作用。近年来，一些教育工作者对有关概率论课程教学方面的问题进行了一些有益的探索[2-4]。笔者结合多年的教学实践和经验，从以下四个方面对概率论课程教学进行分析，以提高教学效果。

一、加强基本概念的辨析与理解

数学概念是数学的基石，没有它便无法构筑理论体系[5-6]。概念表达形式是词或词组，但这只是表象，关键是要弄清楚概念的内涵和外延。在概率论的教学中会涉及很多抽象的数学概念，学生对这些概念的辨析是否准确、理解是否透彻，直接关系到概率论课程教学效果的好坏。在教学中，教师应该注意加强学生对这些基本概念的辨析与理解。下面举一些实例。

(一)频率与概率

在非数学专业所使用的概率论教材中，一般使用频率来定义概率，从统计的角度给出概率的定义，这样便于学生直观地理解。概率是概率论中最基本的概念，正确理解频率与概率的异同，对于学习概率论非常重要。根据有关文献，频率和概率的定义分别如下[7]：

定义1 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的频数nA与试验总次数n的比值nA/n称为事件A发生的频率。

定义2 在相同的条件下，重复进行了n次试验，当试验次数n很大时，事件A发生的频率稳定地在一个常数p附近摆动，通常，n越大，摆动的幅度越小，称常数p为事件A的概率。

由定义1和定义2可以看出，事件A的频率是多次试验的统计结果，是随机的，受试验次数n的影响，但不完全由n决定。一般随着试验次数n的逐渐增大，频率波动的幅度逐渐减小并趋于稳定。事件A的概率是客观存在的，是确定的，与试验次数n无关。概率是对事件A发生可能性的一种度量，反映了事物的某种客观属性。当试验次数n足够大时，频率充分接近概率，此时可以使用频率来近似估计概率。频率和概率是具有一些相同性质的，如非负性、正则性和可加性等。下面通过例1帮助学生深入理解频率与概率之间的关系。

例1 对上海市某公共汽车站的客流量进行调查，统计了某天上午10∶30至11∶47每隔20s到来的乘客批数(每批可能有数人同时来到)，共得到230个记录。我们分别计算了到来0批、1批、2批、3批、4批及4批以上乘客的时间区间的频数，结果列于表1中。经过比较，可以看出其相应的频率与λ=0.87的泊松分布符合得很好。表中λ的计算如下：

表1 公共汽车客流量统计

分析：这是《概率论与数理统计》[7]中第二章第二节中的一个例题。在教学过程中，教师常常发现学生对上述λ的求法感到困惑。究其原因，可能是学生没有充分理解频率与概率之间的关系。在题目的已知条件中，尽管只给出了一些关于客流量的统计数据，但由于n较大，所以可以使用频率来近似估计概率，然后根据“泊松分布的数学期望等于泊松分布的参数”这个事实，可求得λ的值。

(二)离散型随机变量和连续型随机变量

随机变量是概率论中一个非常重要的概念，通过界定这一概念实现了使用分析学研究概率论。下面根据有关文献给出随机变量的一般定义[7]：

定义3 设E是随机试验，它的样本空间是Ω。如果对于每一个样本点ω∈Ω都唯一地有一个实数X(ω)与它对应，则称单值实值变量X(ω)为一个随机变量。

在概率论的教学中，教师一般只介绍离散型随机变量和连续型随机变量。于是，学生常常认为随机变量只有离散型和连续型这两类。事实上，随机变量还有第三种类型，即奇异型随机变量。尽管对于非数学专业的学生来说，完全理解奇异型随机变量有一定的困难，但需要说明这个问题，以免学生产生误解。

此外，非数学专业的学生常常难以理解离散型随机变量中关于可列无限的描述。因此，为了促进学生对离散型随机变量的学习和理解，有必要补充一些关于集合势的基本概念与结论，让学生了解数学上塑造“无限”的基本方式[8]。并且，这对于学生理解概率的可列可加性也是非常必要的。

(三)回置式抽样和非回置式抽样

在概率论中经常涉及抽样问题。根据抽取样本方式的不同，抽样可分为回置式抽样和非回置式抽样。回置式抽样是指从总体中抽取一个个体进行观察、记录后再放回总体，使之重新参与下一次的抽样。在回置式抽样中，一个个体可以被反复抽取多次。非回置式抽样是指已被抽取的个体经观察、记录后不再放回总体，不再参与抽样。在非回置式抽样中，一个个体至多被抽取一次。显然，在抽样问题中，事件的概率受到抽样方式的影响。不难推断，当总体足够大且样本较小时，抽样方式对概率影响较小，在某种程度上可以忽略不计。在这种情况下，非回置式抽样可以被近似看作是回置式抽样，这样便于一些问题的求解和计算。

例2 设某种灯泡的使用寿命超过5000小时的为一等品。已知某一大批产品中，一等品的概率为0.2，现随机地抽取15只灯泡。试求这15只中含有的一等品数X的分布律。

分析：这是《概率论与数理统计》第二章第二节中的一个例题[7]，是一个典型的非回置式抽样问题。在教学的过程中，发现学生一般都会首先想到使用超几何分布来求解。当使用超几何分布来求解时，需要知道这批灯泡的总数，假设灯泡的总数为N，则一等品数X的分布律为：

由于这批灯泡的总数是未知的，所以使用超几何分布来解决问题是无法得到结果的，尽管这个方法在逻辑分析上完全正确。值得注意的是，在这个题目的条件中提到“某一大批产品”，这意味着“总体是足够大的”，同时只“抽取15只灯泡”，说明样本较小。在这样的情况下，回置式抽样可以被近似地看作非回置式抽样。基于这样的假定，“抽取15只灯泡”可以被看作一个15重的独立实验序列概型，则一等品数X的分布律近似为：

(四)伽马函数

伽马函数(Gamma Function)是阶乘函数在实数上的延拓，在连续型随机变量的学习中起着非常重要的作用。然而，在教学过程中常常发现学生对伽马函数感到困惑和不解，所以有必要加强伽马函数的辨析与理解。下面根据有关文献给出伽马函数的一般定义[9]：

定义4 伽马函数是一个含参变量t的广义积分，即

例3 设X∶N(μ,σ2)，求E(X),D(X).

类似地，利用伽马函数的性质可以方便地求出D(X)=σ2.

同时，在概率论中还有一些连续型分布与伽马函数有关，如伽马分布和β分布，可见正确理解和掌握伽马函数是非常必要的。

二、注重反例在概率论教学中的运用

在概率论课程教学中，例子是教学内容中的重要组成部分。每当给出一个定义和定理时，总是需要举出相应的例子。一方面，通过例子来说明定义和定理是言之有物的，从而诠释定义和定理的数学合理性；另一方面，通过例子可以加深学生对定义和定理的理解，使学生获得更加直观的认识。例子一般有说明性的例子和反例两种类型。反例在概率论的教学中有着重要的作用。合理地使用反例可以促进学生对知识点的理解与掌握。正如盖尔鲍姆和奥姆斯特德[10]所说，一个数学问题用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧。例如，通过反例可以很好地说明“概率为0的事件不一定是不可能事件、概率为1的事件不一定是必然事件”等事实。由于这些反例已有较多的文献进行说明，这里不再赘述。下面就其他的一些反例在概率论课程教学中的应用进行分析。

例4 设有两个随机事件A,B，若P(A)≤P(B)，则未必有A⊂B。

分析：在概率的基本性质中有“对于事件A,B，若A⊂B，则有P(A)≤P(B)”，这个性质一般被称为概率的单调性。单调性也是微积分中的一个基本概念，且一般有“设f(x)是集合D上的单调增函数，f(x)≤f(y)，则有x≤y”。基于这个事实，学生会自然地认为“对于两个随机事件A,B，若P(A)≤P(B)，则必有A⊂B”。当然，这个结论是错误的。为了使学生获得直观具体的认识，可以通过下列反例予以说明：

掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数。在这个随机试验中，用A表示“出现点数为2”这个随机事件，用B表示“出现点数为奇数”这个随机事件。显然，P(A)=1/6,(B)=1/2，满足条件P(A)≤P(B)，但没有A⊂B。

类似地，可以通过反例说明“设有两个随机事件A,B，若P(A)=P(B)，则未必有A=B”。相应的反例如下：

掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数。在这个随机试验中，用A表示“出现点数为偶数”这个随机事件，用B表示“出现点数为奇数”这个随机事件。显然，P(A)=1/2,(B)=1/2，满足条件P(A)=P(B)，但没有A=B。

例5 若P(A)>0,P(B)>0，证明“事件A与事件B互不相容”与“事件A与事件B相互独立”不能同时成立。

这是《概率论与数理统计》习题一中的一道题目[7]，一般采用反证法，具体如下：

假设“事件A与事件B互不相容”与“事件A与事件B相互独立”同时成立。则有：

0=P(Φ)=P(AB)=P(A)P(B)>0.

显然，上述结论是不可能成立的。所以，假设不成立，而原命题成立。

在概率论的教学中，经常发现学生对“互不相容”和“相互独立”两个概念产生理解上的偏差，容易将之混为一谈。究其原因，是因为学生没有透彻理解这两个概念。在《概率论与数理统计》[7]中关于“互不相容”和“相互独立”的定义分别如下：

定义5 若事件A与事件B不可能同时发生，则称事件A与事件B互不相容。

定义6 若两事件A,B满足等式P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。

由定义5和定义6不难看出，相容性描述的是事件间本身的关系，独立性描述的是事件间概率的关系。例5中，若将条件P(A)>0,P(B)>0去掉，则其结论错误。这可以通过一个反例证明：

掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数。在这个随机试验中，用A表示“出现点数为7”这个随机事件，用B表示“出现点数为奇数”这个随机事件。显然，A是不可能事件，即A=Φ，于是AB=Φ，也即“事件A与事件B互不相容”。同时P(A)=0,(B)=1/2，满足条件P(AB)=P(A)P(B)=0，即“事件A与事件B相互独立”。此时，“事件A与事件B互不相容”与“事件A与事件B相互独立”同时成立。

在概率论课程教学中还有很多反例，恰当地运用反例可以加深学生对概念的理解和掌握，从而提高概率论课程的教学效果。

三、加强应用实例的讲解与训练

对于非数学专业的学生来说，学习数学的最终目的是把数学作为工具，用这一工具发现实际现象背后的规律，并解释和说明实际现象，从而最终解决实际问题。运用数学解决问题，一般经历从实际现象到概念模型，再到数学模型，最后模型求解这四个阶段，如图1所示。应用实例的讲解和训练是培养学生运用数学知识解决实际问题的一个重要途径。概率论是一门应用性很强的学科，在概率论教学中加强应用实例的讲解和训练是非常必要的。这一方面可以增加学生应用数学的意识，另一方面可以增加学生学习数学的兴趣，从而提高课堂教学效果。

图1 运用数学解决问题的四个阶段

《概率论与数理统计》[7]在应用实例方面做了许多有益的探索，在每一章的后面都给出了一些应用实例。笔者在讲授概率论课程的时候，一般把应用实例融入相应的知识点中进行讲解，每次都能激发学生的学习兴趣，并能让学生积极参与问题的讨论。

例如，在讲解古典概率这一部分内容时，如果只讲解定义、定理和常规性的例题，学生会觉得抽象、枯燥。当引入“至少两人的生日在同一天”“祸不单行”和“双喜临门”等应用实例时，通过使用概率论解释日常生活中的现象，可以让学生认识到概率论原来如此有趣且有用，可进一步激发学生的学习兴趣。

教师还可以引入一些应用实例增加学生的安全意识。例如，在讲解小概率事件时，可以引入“过马路需小心”这个应用实例。对于每个人来讲，每次过马路出现事故的概率，即p值是很小的，但每个人在一生中过马路的次数，即n是很大的。每次过马路都可以被看作一个随机试验，在一生中过马路的情形可以被看作一个n重的贝努里概型，于是一生中出现事故的期望值为np。为了减少出现事故的期望值np，一方面可以通过减少过马路的次数来实现，另一方面可以通过减小过马路出现事故的概率来实现。显然，减少过马路的次数似乎不太现实，所以我们能做的是增加自己的安全意识，从而减少过马路出现事故的概率。另外，还可以举类似的应用实例说明“多行不义必自毙”的概率内涵。