☉江苏省如东高级中学 吴 晔

教材之中有根尺 各自量身各自知
——圆锥曲线弦的中点在解题中的应用

☉江苏省如东高级中学 吴 晔

新课标明确指出：数学教育的基本目标之一是提高学生的数学思维能力.实践表明让学生掌握一类问题的思考模式、解题步骤，特别是在解题后进行多角度“变式训练”，那么学生再遇到相关问题时，就不会感到无从下手.教材是历代教育专家智慧的结晶，其中的例题或习题都极具典型性、代表性，因此教师在讲解教材中的例题或习题时，应注意对相关问题的变式或拓展，将杂乱无章的解题思路归纳成类，进而形成知识体系，使学生会一题通一类，真正跳出题海.本文以课本圆锥曲线习题为例，谈谈这方面的体会.

题目一：（苏教版选修2-1第73页复习题第10题）

解法一：先设出直线方程，考虑到当斜率不存在时直线l：x=1，与双曲线没有两个交点，不符.斜率存在时，可设直线方程为y-1=k（x-1），代入双曲线方程化简得：

小结：本题的求解充分体现了解析几何的本质，即用代数的方法去解决几何问题，而代数方法主要体现在坐标运算.解法一是利用韦达定理解决问题，是通法；解法二是中点问题的特殊解法，计算往往比较简单.应注意在点差之后的等式中所含有的三个重要数据：中点的横、纵坐标，直线的斜率.

题目二：（人教B版选修2-1第70页练习B第1题）（以高考中常见的椭圆作为背景）

高考命题的重要思想之一“源于课本，高于课本”，因此教学中教师要引导学生在做好课本典型例题或习题的基础上尝试让学生改编限定条件，再深入思考.这不仅可以提高学生学习数学的兴趣，而且可以提高学生主动学习、合作学习、探究学习的能力，活跃他们的思维，培养他们的创新能力.

在历年各省市高考命题中涉及弦的中点问题屡见不鲜，相关问题求解中抓住弦的中点，是解决问题的关键所在.下面是几个相关的高考变式.

一、巧用中点的条件，考查思维的灵活性

点评：先利用中点问题的点差法求出直线的斜率，再设出直线的斜截式方程代入椭圆方程使本题计算简单不少.注意将中点在直线上的条件转化成中点坐标的比例关系.

二、由变化条件寻找联系，提升化归转化能力

综上，求得m的取值范围是-1＜m＜2.

点评：本题看似与弦的中点无关，但由条件AM=知△AMN为等腰三角形，等腰三角形“三线合一”的性质是我们所熟知的.进而将所求问题转化为弦MN的点问题，寻找到问题求解的突破口.

三、寻根几何性质，突显解析几何的几何性

（1）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；

（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形.

解：（1）略.

（2）解法一：假设四边形OABC为菱形.

因此点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y=kx+m（k≠0，m≠0）.

点评：解析几何具有几何与代数的双重身份，因此在几何与代数交汇点处命题便成为高考命题的热门问题.问题求解过程中充分把握菱形的几何性质，即菱形的对角线互相垂直平分，进而又转化为弦的中点问题.

总之，在教学的过程中，教师不仅要培养学生的思维方式，懂得举一反三，触类旁通，而且要培养他们的知识迁移能力，帮助他们提升数学学科的素养，激发他们学习数学的兴趣.历年各地高考题都是命题专家集体智慧的结晶，这些考题都蕴含着丰富的信息，恰当地融入了新课程改革的理念，对平时的数学学习与高考复习都有很好的导向性、启发性.每年各地的高考题如果经过细心分析、集体研究、有效整合，一定能找到它的课本根源所在，这将是一笔丰厚的教学资源和宝贵的财富.笔者在这里只是抛砖引玉，希望教师和同学通过不断地思考和钻研高考试题的课本源题，尝试在课本源题的基础上改变限制条件再去改编、创新，使学生的综合能力和数学素养真正得到提高.