☉湖 北 省 仙 桃 中 学 汪庆红

☉湖北省仙桃市教育科学研究院 曹时武

直线倾斜角与斜率的概念教学设计

☉湖 北 省 仙 桃 中 学 汪庆红

☉湖北省仙桃市教育科学研究院 曹时武

人教A版普通高中课程标准实验教科书数学2（必修）第三章“3.1直线的倾斜角与斜率”第一课时——直线倾斜角与斜率的概念.

本节课是一节典型的概念课.笔者通过创设江汉大桥这一背景，以桥为线索展开教学，让学生感到知识就在我们的生活中；在倾斜角与斜率这两个概念的建构过程中，为帮助学生克服思维障碍，有效地实现教学目标，教学中采用几何画板来现场演示倾斜角的变化范围，利用实物投影展示学生所画的函数k=tanα的图象，突破难点的同时，既渗透了数形结合的思想和函数观点，又为学生直观有效地抓住图形进行分析，进一步理解斜率与倾斜角的对应关系提供了便利.

一、教学过程设计

【环节1：情景创设——江汉大桥话解几】

动态画面展示汉江大桥同时，借助笛卡儿建立坐标系灵感的小故事，简单介绍坐标法的产生.

师：同学们：相信黄梅戏中的名段《天仙配》，大家应该是再熟悉不过了，图1中的桥——仙桃汉江大桥也是一个天仙配.她连接着江汉平原中的天门市和仙桃市，这个桥给天、仙两地人民的交通带来了极大的便利.其实数学中也有一座桥梁，这就是直角坐标系，它沟通了几何和代数的联系，有了它就可以用代数方法来研究几何图形，使得几何研究跨入了一个新的领域，这就是我们今天将要学习的一门新的学科——解析几何.

师：知道直角坐标系是谁发明的吗？我们来听听：

（画外音）17世纪中叶法国数学家笛卡儿在研究能否用代数中的计算来代替几何中的证明时，他想了很多办法，但总是百思不得其解.笛卡儿被这个问题困扰了很长时间，有一天他想着、想着就趴在桌上睡着了，在梦境中他看见窗户上有一只蜘蛛正忙着结网，蜘蛛顺着吐出的丝在空中来回移动，忽然，一个念头闪过脑际，如果将蜘蛛看作一个点，那么这个点到相邻两个窗框的距离是可以确定的，蜘蛛上、下、左、右移动的每一个位置——点，不就可以用一对有序实数来表示吗？所有的平面曲线不就是由这些点运动而成的吗？既然点可以用数来表示，那么曲线也能用数表示！

从梦的灵感中醒来后，笛卡儿又进行了深入的思考和研究，发明了直角坐标系，并直接促成了解析几何的诞生.

师：我们来看看画面中的桥，画面中有直角坐标系吗？

生：没有.

师：我们可以建立一个直角坐标系，如何建立最方便呢？

生：用桥面上一侧的水平线为x轴，用x轴同一平面内的铅垂线为y轴建立直角坐标系.

师：恩，不错，在这个直角坐标系下，这些斜拉索可以看成什么呢？

生：直线！

师：对，本节课就是要以这座桥为背景，在直角坐标系中来研究这些直线的倾斜角和斜率.（板书课题）

直线倾斜角与斜率的概念

【设计意图】让学生从身边事例入手，用数学眼光观察世界，指明课题，激发学生的学习兴趣.

【环节2：问题探究——铁索引出倾斜角】

在桥的画面中引导学生建立合适的直角坐标系，将铁索看成直线放在直角坐标系中进行研究.

问题1：在直角坐标系中，这些直线都过了定点P，它们的不同区别在哪里呢？

生：倾斜程度不同.

师：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对的倾斜度，用哪些量来刻画这种倾斜程度呢？

生1：角度.

生2：比值，在直角坐标系中可以是对边比邻边.

生3：还可以是对边比斜边以及邻边比斜边.

师：还可以有哪些量，比如两点可以吗？

生：可以.

师：下面我们将从这几个方面来研究，首先来研究用角度刻画直线的倾斜程度.

师：当一条直线与x轴相交会形成四个角，选用哪个角要方便些呢？

生：直线与x轴的正方向所成的角.

师：说说你的理由.

生：因为前面我们学习三角函数中的在直角坐标系中表示任意角时是以x轴的非负半轴为始边，旋转到和终边重合.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.

师：所以选这个方向的角比较合理.但是，这个角唯一吗？如果不唯一怎么办？

生：如果按照任意角的旋转方法，那么这个角不唯一，但是我们可以只取正角中的最小角，也就是将x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的最小角.

师：这个主意不错，既保证了存在性，又保证了唯一性.既然这个角可以表示直线的倾斜程度，我们就该给它取个名字，下个定义，叫什么好呢？

生：倾斜角！

师：好！那么怎样定义倾斜角呢？

生：当一条直线与x轴相交时，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角叫做直线的倾斜角.

师：也可以按照课本上的定义给出.定义中我们要注意哪几点呢？

生：一定要按逆时针方向旋转，同时还要注意必须是最小的角.

【设计意图】由于学生已经学习了三角函数，通过旋转得到角应该是学生现在最熟悉的，但是旋转得到的角不唯一，因此一定要强调角的唯一性和合理性.

问题2：倾斜角的范围是多少呢？

【设计意图】通过学生自己动手画图和几何画板演示让学生得到倾斜角的范围是［0，π）.

【环节3：开放探究——引桥坡度出斜率】

师：我们继续观察大桥，看看它的引桥，大桥为什么会建引桥呢？

生：为了使坡度平缓，便于车辆通行.

师：讲的好，这里描述倾斜程度时用了“坡度”，“坡度”是什么呢？

师：坡度中有两个关键的量，升高量与前进量，这两个量在实际中容易测量，这个比值是好度量的.再看看这个比值与坡角的关系，它就是坡角θ的正切函数.从变化的角度看坡角的范围是多少呢？

师：那么我们能否直接用“坡度tanθ”刻画所有直线的倾斜程度呢?

生1：可以，因为坡度反映了坡的倾斜程度，它同时也应该可以反映直线的倾斜程度.

问题3：如果将坡角θ换成倾斜角α，这时tanα能刻画所有直线的倾斜程度吗？同学们分组讨论一下.

（学生通过分组讨论，发言.）

生5：我们组认为余弦函数cosα在［0，π）上单调递减，它具有唯一性应该可以表示所有直线的倾斜程度.

倾斜角α的范围 0，π π α=0 tanα的2（ ） α=π 2 π 2，（）符号 tanα＞0 tanα不存在 tanα＜0 tanα=0直线的状态 上升 l垂直于x轴 下降 l垂直于y轴

师：刚才同学们的发言太精彩了，通过你们的思考，讨论，交流发现可以用cosα和tanα来表示直线的倾斜程度，因为它们都具有唯一性.究竟用哪一个表示就要看谁更合理了.想一想再讨论一下.

生7：我觉得用tanα更合理，因为我们在表示坡度时用的就是正切，为了保持倾斜角为锐角时与坡度的一致性，应该用tanα.

生8：我也觉得用tanα更合理，除了他说的这个原因以外，关键是用α的正切值度量比余弦要简洁方便，因为这里的升高量与前进量在平面直角坐标系中用坐标表示更方便.

师：大家同意他的观点吗？

生：同意.

师：好！我也同意，那么我们该给这个tanα取一个什么名称要好呢？

生：斜率.

师：好，斜即倾斜，率即比值，这个名称很形象！在大家的共同努力下我们得到了斜率的定义（板书）我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.即k= tanα.

【设计意图】倾斜角只是从形上说明了直线的倾斜程度，还需要我们从数的角度来说明倾斜程度，让学生借助图形讨论比值的各种不同形式的理解倾斜角与斜率之间的联系，从而得到斜率的定义.

【环节4：认知升华——正切性质探斜率】

问题4：请同学们再仔细观察一下斜率定义式的结构，看一看有哪些特点？

【设计意图】除了加深对斜率定义理解外，还可以引导学生运用函数的观点看斜率，拓展了学生学习的视角.

【环节5：课堂演练——师生合作用新知】

例1 下列说法正确的是（）.

A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率

B.直线的倾斜角越大，斜率也越大

C.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等

D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等

答案：D

例2 将下列表格填写完整：

倾斜角α π 6斜率k0 3■π 2 -1

【设计意图】加深学生对定义的理解，巩固倾斜角和斜率之间的联系，学会融会贯通，最后又回到大桥，首尾呼应.

【环节6：知识归纳——课堂小结说新知】

（1）直线的倾斜角定义及其范围：［0，π）；

【设计意图】对本节课所学知识进行归纳、整理，明确本节课所学知识.

课后思考：如何用两点来刻画直线的倾斜程度？

【设计意图】将探索进行到底.

二、课后反思

本节课涉及两个概念——倾斜角和斜率.倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用.由于我省按照必修数学1、4、5、2、3的顺序，所以学生已经具备了较为系统的三角函数知识，所以对倾斜角和斜率的关系探究相对接受起来比较容易一些.

可取之处：在本节课教学中，一是问题的引入较好，达到内容和情境的和谐统一，吸引了学生注意力；二是六个环节设计环环相扣，引人入胜，特别是利用坡度引发冲突来体现倾斜角与斜率的关系，对学生的认知起到了较好的引导作用；三是因为有了三角函数的基础，所以在倾斜角的教学中能够避开课本上的分类定义而采用大纲版定义，这样不仅简洁，方便更是体现了数学的和谐美；有了三角函数的基础，所以才有在斜率概念的意义建构中的这些探究内容，所以才能展示这些生动的探究活动；有了三角函数的基础，所以斜率与倾斜角的关系才能够从图象上观察，教学才有这样的高度.

改进之处：教学容量偏大，时间不太够，学生思考和做题时间比较仓促.建议将过两点的斜率的坐标公式和应用放到下一节课时中去，将教学的重心放在核心概念的建构上，并增加利用几何画板，强化动态效果.

困惑之处：如果按照人民教育出版社的顺序没有三角函数的基础，这一节课怎么上？还会有这样的效果吗？

三、教学点评

本课探索了将有效创设情景线、学生探究活动线、概念定义建构线、思想方法蕴含线贯通融合成为“四线交织”，将知识、方法和能力串通融合为“三位一体”的概念课教学的具体作法，通过自然流畅的六个教学环节，让学生经历了倾斜角和斜率的建构过程，真正体现了以知识理解为主要目标的概念课的教学特点，突出表现在如下三个方面：

一是凸现了对直线斜率的开放探究过程.当讨论tanα能否刻画所有直线的倾斜程度时，同学们的意见出现了分歧.教师因势利导、恰时恰点组织课堂辩论，充分利用学生提出的sinα、cosα，作为比较性学习材料，利用三角函数知识，对sinα与tanα相比较而择优，对cosα和tanα，相区别而共存.将本课例的核心内容直线的斜率定义的唯一性与合理性及其形成的过程展现得淋漓尽致.对cosα不急于否定，而是鼓励同学们将探索进行到底，下一课时会有分晓.

二是展现出寓数学概念和理性思维于情境之中的融合之美.选用仙桃汉江大桥为素材，贯穿全课程，独具匠心.高悬的铁索，长长的引桥，承载了本课例所需的主要元素.教师引导学生用数学眼光观察这座桥，抽象出直角坐标系、直线、倾斜角、坡度让学生感到自然、亲近，学生积极性倍增.这座大桥在本课例中起到引入、奠基、示例、反馈等作用.课后淡出，余香缭绕，耐人寻味.本课例散出教学设计的精细之美.

三是教师娴熟地应用了各种教学方法和技巧.如问题引导，分组讨论，课堂交流，课堂辩论.教学过程如行云流水、朴实、自然.学生广泛参与，效果十分显著.利用必要的电子视频，配上和蔼可亲、富有激情的语言，使本课成为展现教学艺术的一个范例.