☉江苏省海安县曲塘中学附属初级中学 刘凤兰

在解题中体验成功 在解题中提升思维

☉江苏省海安县曲塘中学附属初级中学 刘凤兰

题目 （2013年江西卷）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程.

（1）操作发现.

（2）数学思考.

在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程.

（3）类比探索.

在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状.

解析：（1）①②③④.

（2）MD=ME，MD⊥ME，

（Ⅰ）MD=ME.

如图4，分别取AB，AC的中点为F，G，连接DF，MF，MG，EG.

所以MF=EG.

同理可证DF=MG.

因为MF∥AC，

所以∠MFA＋∠BAC=180°.

同理可得∠MGA+∠BAC=180°

所以∠MFA=∠MGA.

又因为EG⊥AC，所以∠EGA=90°.

同理可得∠DFA=90°，所以∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，即∠DFM=∠MEG.

又MF=EG，DF=MG，

所以△DFM≌△MGE（SAS），所以MD=ME.

（Ⅱ）MD⊥ME.

证法一：因为MG∥AB，所以∠MFA+∠FMG=180°.

又因为△DFM≌△MGE，所以∠MEG=∠MDF.

所以∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°，其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°，所以∠DME=90°.即MD⊥ME.

证法二：如图5，MD与AB交于点H.

因为AB∥MG，所以∠DHA=∠DMG.又因为∠DHA=∠FDM+∠DFH，即∠DHA=∠FDM+90°.

因为∠DMG=∠DME+∠GME，所以∠DME=90°，即MD⊥ME.

（3）等腰直角三解形.

评注：此题以课题学习为蓝本，循序渐进、层层深入，形成问题串，考查学生合理猜想的数学感觉与构建数学模型，以及数学归纳、抽象、概括等能力.（1）由图形的对称性易知①、②、③都正确，④∠DAB=∠DMB=45°也正确；（2）直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图1中△DFM≌△MGE的启发，应想到取中点构造全等来证MD=ME，证MD⊥ME就是要证∠DME=90°，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF，△DFM中三个角相加为180°，∠FMG可看成三个角的和，通过变形计算可得∠DME=90°.（3）只要结论，不要过程，由（2）合情推理知为等腰直角三解形.解决问题的关键是取中点，利用“三角形中位线”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”创造条件，构造全等三角形，对能力要求很高.

解完此题，笔者不仅联想到数学大师波利亚在《怎样解题》一书中所写：“没有任何一个题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做.在经过充分的研究和洞察以后，我们可以将任何解题方法加以改进，而且无论如何，我们总可以深化我们对答案的理解.”你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？反思此题的图形特征与解法，果有所获，愿与大家分享.

1.拓展

再以BC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，会有什么结果？

例1 如图6，分别以锐角△ABC的边AB、BC和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰Rt△ADB、等腰Rt△EBC和等腰Rt△FAC，求证：AE=DF，AE⊥DF.

证明：取AC的中点P，连接DP、EP.

仿上例可证PD=PE，PD⊥PE.

因为△AFC是等腰直角三角形，所以PF=PA.

因为∠DPF=∠APD+∠APF，∠APE=∠APD+∠DPE，又因为∠APF=∠DPE=90°，所以∠DPF=∠APE.

所以△DPF≌△EPA（SAS），所以AE=DF.

由△DPF≌△EPA，得∠DFP=∠EAP.

因为∠DFP+∠AFD+∠FAP=90°，

所以∠EAP+∠AFD+∠FAP=90°.

所以∠AHF=90°，即AE⊥DF.

2.推广

将等腰直角三角形改为有一对角相等的直角三角形，会有什么结果？

例2 如图7，以△ABC的边AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作Rt△ABD和Rt△ACE，且使∠ABD=∠ACE=α，M是BC的中点，求证：DM=ME，∠DME=2α.

证明：分别取AB，AC的中点P，Q，连接DP，MP，MQ，EQ.

所以∠DME=∠DMP+∠PMQ+∠QME=∠MEQ+∠MQC+∠QME=180°-∠CQE.

而∠CQE=180°-∠QCE-∠QEC=180°-2α，所以∠DME=2α.

3.变式

将例2的图形结构作些变化，又会有什么结果？

例3 如图8，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF=30°，BE、CF交于点O.过点O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足.

求证：△DPQ为等边三角形.

此题是例2的变式，仅仅是题目的表述作了些变化，证明方法相同，本文不再赘述，有兴趣的读者可参照图8中的辅助线加以证明.

4.结语

本文的四道题既有一定的难度又有密切的关系，带来的教学、解题启示是：学习几何一定要善于积累，解完题后对所做的题尽可能全方位、多角度反思，从变化中抓住不变因素，从复杂的背景中识别图形特征，从纷繁的干扰中弄清问题的本质，进行归纳、分类，找出规律做好“积垫”，才能胸有成竹、遇题不慌，游刃有余地破解几何难题，在解题中体验成功，在解题中提升思维.FH