☉重庆市梁平实验中学 蒋明建

关注知识交汇 解析高考难题

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高考试题常在“知识网络的交汇点、思想方法的交织线和能力层次的交叉区”内命题，2013年重庆高考数学理科卷选择题中的压轴题第10题便是经典一例.该题新颖别致，独具匠心，注重能力立意，区分度好，是整个试卷中的一道难题、更是一道创新型试题，很有研究价值，本文将从多个角度作出解析，供读者参考.

一、试题呈现

评注：这是一道向量（字母表示形式）条件下，求线段长度（向量模）取值范围的试题，不但考查平面向量垂直、加法的几何意义、两点间的距离、不等式的性质等基础知识，还交汇融合了代数、三角、几何等多方面知识，同时考查了转化思想、数形结合思想，及逻辑思维能力、综合运用知识分析问题和解决问题的能力.

二、解法探究

向量综合性问题与其他知识的联系、融合交汇，往往通过向量的几种不同表示形式来体现，换句话说，向量的不同表示形式关联着不同数学内容、运算形式及思维策略，因此，对本题向量条件进行有效的分析及合理转换，把内容与形式结合起来思考、把方法与概念转化配合起来推进，能获得广阔的解题思路，多途径求解本题.

1.向量运算法则下的解析

解析1：向量字母作伴，几何法则运算：通常，题设中给出的向量表示法，就是我们解题的首选方法.本题给出的是字母表示法，因此，字母表示法就成了解题的首选.

2.与代数融合——向量坐标形式下的解答

评注：这是最近一些真题卷上最为多见的一种解答.这种解法中，求x2+y2的上界是运用基本不等式进行放缩变换，分别求得x2与y2的范围后相加而得，将向量坐标运算与基本不等式有机融合一体.这里，运用基本不等式进行放缩变换对能力有较高的要求，一般不容易想到，会造成学生对运用这种解法的困难，笔者觉得这种解答并没有真正体现出坐标法的优势，有必要优化.

评注：挖掘发现点B1、B2在圆O：（x-x0）2+（y-y0）2=1上，从而利用圆方程的解析式确定点O（x0，y0）坐标的范围，比解析2来得自然、容易些，使得解答得到一定程度的简化，能有效考查学生观察、联想、转化问题的能力.其实，解析2、解析3都囿于考虑动点O的坐标取值范围，而范围涉及到不等关系，对于不等关系的建立往往是学生感到困难的事情.能否不求范围呢？还可以进一步优化.

评注：“增加思考量，减少运算量”是高考能力型试题对考生的要求，要寻找简捷而高效的解决问题的方法，就要求考生能抓住问题的实质，能对试题提供的信息进行分捡、组合、加工.通观各个代数式，整体代换得到2-，直接利用关系式求解，避免了解析2、解析3中求点O坐标范围的繁难步骤，大大简化了解题过程，充分显现了向量代数运算简便快捷的优势，也培养了我们处理问题的整体意识和全局观念.

3.与几何交汇——几何背景下的研究

苏联著名数学家柯尔莫戈罗夫说过：“只要有可能，数学家总是尽力把他们研究的问题从几何上视角化.”平面向量“数”的特征，赋予向量具有数的良好运算性质，“形”则能体现向量的直观位置特征.本题几何背景明显，可以从几何角度解答.

解析5：回归平面几何 复杂问题简单化：本题实质是在向量背景下的平面几何问题，若将整个问题从向量背景中剥离出来，就是一个典型的平面几何求线段长度取值范围的问题，于是，可以直接运用平面几何知识解决.

评注：将问题从向量背景中剥离出来，转化为平面几何问题，回归到问题的本源，是一种以退求进的解题策略.它将一个上位问题转化成了下位问题，把复杂问题化为了简单问题，由处于上位水平的认知，居高临下去认知一个下位的问题，使得我们对问题的认识更全面、更深刻、更本质，也使得我们对问题的解决变得更加自然容易，游刃有余.“把简单的事做复杂是浪费，把复杂的事做简单是贡献”，我们要学会把复杂变成简单，用智慧创造“简单”，让思维在探索变迁中不断的优化和升华.

三、提炼升华

上面从多个角度，运用多方面知识与多种方法，对试题进行了探究解析，其中解析1、4、5中三次重现我们发现运用这一关系式所得到的解答显得要更为简洁.那么，这一关系式是本题特有结论还是蕴藏着某种一般规律？进一步探索发现，这竟是一个平面几何中的一般结论：

定理：平面上一点到矩形一条对角线两端点的距离平方和等于到这个矩形另一条对角线两端点的距离平方和（证明略）.

（可类比推广到三维空间得结论：空间中一点到矩形一条对角线两端点的距离平方和等于到这个矩形另一条对角线两端点的距离平方和）（证明略）.

由此，我们便揭开了本试题的神秘面纱，识得“庐山真面目”，它实际背景来源于平面几何这个定理，只不过将这个定理“穿上了”平面向量这件美丽迷人的“外衣”.由于平面向量具有“形”“数”的双重身份，它是联系多个知识点的媒介，更是中学数学知识的一个交汇点，素有“与代数融合、与几何交汇、与三角联姻”的美称，因而，经典几何问题与富有“亲和力”的向量有机融合，幻化而成了这道充满无限活力与魅力的试题.表面上看，考查的知识点仅限于平面向量垂直、加法的几何意义、两点间的距离、不等式的性质等，实质上试题的综合性很强，要得到正确解答，需要较强的能力支撑、思想积淀与智慧付出.对于功力深厚不乏灵感的考生，若能深入思考分析、挖掘出问题中隐藏的“定理”本质，捕捉到问题的“灵魂”，直接运用定理求解，则是件易如反掌的事情，因而，优生差生立可区分.如此看来，这道高考试题的确是命题老师的“用心良苦”之作，智慧之作，不失为高考试题中的上佳之品.

四、解题反思

数学高考命题注重学科的内在联系和知识的综合性，注重从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，旨在加强对能力和素质的考查功能，突出能力立意的导向作用，它要求考生对课程内容能够融会贯通，把重点放在系统地掌握课程内容的内在联系上，放在运用分析问题的方法和解决问题的能力上.因此，在平常的教学中，特别是在复习应考中，要重视基本能力与综合能力的培养，切实做好“两个抓住”，一要抓住知识的交汇：综合能力的提高在于知识交汇处进行训练，复习中应该特别关注知识内容的“交汇点”，重视其形成，理清其脉络，分析其内涵、外延和交汇特点，将各部分知识纵向联系起来认识问题、分析问题、处理问题，重视对综合问题的强化训练，在训练中学会综合，在综合中提高能力，从而进一步增强我们综合解决问题的能力；二要抓住问题的反思：对一些数学题目，特别是像本文中这样典型的高考题目，要在解决问题的过程上下功夫，在“精”字上下功夫.解题后一定要做好对本题的回顾、反思、提炼和总结，回顾解题所用到的知识点，反思解题方法的迁移与推广，总结问题内在联系与区别，深挖细究，揭示问题的深刻本质，力求回归到问题的本源认识问题等等.只有这样，我们才能对问题透彻把握，才能做到举一反三，才能让我们的思维在灵活性、广阔性、深刻性、创新性等方面得到充分锻炼，培养综合能力，实现“通过解有限道题来获取解无限道题的那种数学机智”，增强对高考创新型试题的适应能力.

1.蒋明建.破解向量难题，挖掘潜在信息［J］.中学数学（上），2013（5）.

2.蒋明建.一道高三调研考题解答策略的探讨与优化［J］.数学通讯，2012（11）.

3.吴祥成.2012年上海高考立体几何填空题的解法探究［J］.数学通讯，2013（4）.