☉广西柳州高级中学 吴佐慧 林 军

☉湖北大学数学系 刘合国

高考全国卷含参不等式恒成立问题的探究

☉广西柳州高级中学 吴佐慧 林 军

☉湖北大学数学系 刘合国

含参数不等式恒成立问题是历年高考、竞赛中的热点问题，由于这类问题灵活多变，对应试者的能力要求较高，令不少学生束手无策.这类题型在2006年全国高考试题中首次出现以后，几乎每年均有呈现.高考命题组对这类问题提供的标准答案一般是对参数进行分类讨论，逐段筛选出符合条件的参数的范围.这种解法既考查对不等式恒成立条件正面的探究过程，又考查不等式恒成立的否定过程，考试的时候学生不容易想到.

最近几年有下面6道求参数范围的高考题：

题目1：（2006年全国II理20）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）.若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围.

题目2：（2007年全国I理20）设函数f（x）=ex-e-x.（1）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（2）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围.

题目4：（2010新课标全国理21）设函数f（x）=ex-1-xax2.（Ⅰ）若a=0，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.

题目6：（2012年全国II理20）设函数f（x）=ax+cosx，x∈［0，π］.（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.

文［1］、［2］中，作者均给出了相应题目的统一解法.但笔者认为，此类问题用数形结合思想来解决，则更加直观、自然.

在指定的坐标系中用分析的方法勾勒出函数的大致形状，从而可以直观地去研究它的某些性质，这是很有实际意义的，同时它也是数学研究中的重要手段之一.下面我们就分别给出求解过程.

题目1的解：当x≥0时，要使ax≤f（x） 恒成立，则必须使得函数g（x）=ax的图象在函数f（x）=（x+1）ln（x+1）的图象的下方.

当x≥0时，则f′（x）>0且f″（x）>0，故f（x）单调递增且下凸，其图象如图1所示.

当x≥0时，要使得函数g（x）=ax的图象在函数f（x）=（x+1）ln（x+1）的图象的下方，则必有a≤f′（0）=1.综上，a的取值范围为（-∞，1］.

题目2的解：（1）略.

（2）当x≥0时，要使ax≤f（x）恒成立，则必须使得函数g（x）=ax的图象在函数f（x）=ex-e-x的图象的下方.

求f（x）的一阶导数和二阶导数，有f′（x）=ex+e-x， f″（x）=ex-e-x.

当x≥0时，则f′（x）>0且f″（x）≥0，故f（x）单调递增且下凸，其图象如图2所示.

当x≥0时，要使得函数g（x）=ax的图象在函数f（x）=ex-e-x的图象的下方，则必有a≤f′（0）=2.综上，a的取值范围为（-∞，2］.

题目3的解：（1）略.

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.数和形是数学中两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.

数形结合的思想，就是在研究数学问题的过程中，注意把数和形结合起来考查，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案.解决含参不等式恒成立的问题便是如此.

1.刘金.一类高考题的统一解法［J］.数学通讯，2010（11、12）.

2.李平龙.几道高考压卷题的启示［J］.数学通讯，2011（11、12）.