☉四川省四川大学附属中学 刘成龙 张勤玲 杨巧华

推陈出新 适度暗示 能力突出解法多样 教学引领
——2013年中考成都卷第25题亮点分析

一、试题回放

☉四川省四川大学附属中学 刘成龙 张勤玲 杨巧华

试题 （2013年中考成都卷第25题）如图1，A、B、C为⊙O上相邻的三个n等分点，AB=BC，点E在弧BC上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A′重合，连接EB′、EC、EA′.设EB′=b，EC=c，EA′=p.现探究b、c、p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c.请继续探究b、c、p三者的数量关系：当n=4时，p=_______________；当n=12时，p=____________.

二、亮点分析

亮点1：推陈出新

命题者将正多边形（正三角形、正方形、正12边形乃至正n边形）这一熟悉情景以圆周上的等分点形式展示给学生一个全新、公平的问题.直接以圆周上的等分点为背景的试题在中考试卷、模拟试卷和复习资料中几乎没有涉及，学生缺少应对的经验，这使得试题情景新颖，具有一定的创新性，起到了推陈出新的效果.平常的“模式化引领”和“模式化训练”使大多数考生面对试题时，因“始料不及”而“茫然”，这无疑是对“记题型，背套路，重解题方法，轻数学本质”的应试教育观念的一次严峻挑战.

亮点2：适度暗示

命题者在试题命制中，适度设置暗示，既不失压轴题应有的区分度，又体现了对考生的关怀.

暗示1：命题者通过直径EF引出了圆周上A、B、C的对称点A′、B′、C′，以及EB′=b、EC=c、EA′=p，使得试题叙述冗长，不简洁（事实上，试题可以简洁叙述为：“A、B、C为⊙O上相邻的三个n等分点，AB=BC，点E在弧BC上，连接EB、EC、EA.设EB=b，EC=c，EA=p”）.笔者猜测这是命题者故意而为之，目的是适度暗示：①暗示考生解答时可以从直径所对的圆周角为90°考虑；②暗示考生解答时可以从对称点的角度寻找解答思路.

暗示2：“现探究b、c、p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c”这一句话可以从两个角度解读：①解答问题的起点是n=3，要先探究n=3时的情形；②p=b+c展示的是一条线段等于两条线段的和，于是在方法上暗示考生考虑用截长、补短法.

暗示3：命题者在参考数据中给出了15°角的正、余弦值，考生可以这样思考：15°角刚好是n=12时相邻两个点间弧所对的圆周角，给出其三角函数值，表明p、b、c与其三角函数值有一定关联，自然暗示n=3、n=4时相邻两个点间弧分别所对的圆周角60°、45°的三角函数值与p、b、c相关.

亮点3：突出能力

“能力立意”是近年成都中考B卷压轴题的命题原则.该试题展示了一个全新的问题，具有较大的思维空间，体现了主动探究的精神，呈现出研究性学习的特点，突出了对多种能力的考查，有效地甄别了学生的潜质.

（1）猜想的能力.

猜想是发现、获取知识的重要方法，也是探索问题解决方法的重要手段.正如牛顿所说：“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现”.该试题给我们的第一感觉是一道找规律题，整个试题充满着猜想的味道，而破解该题的关键源于大胆的猜想.

（2）探究的能力.

“标准”指出数学探究指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程.华罗庚教授说：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，退到最原始而不失重要性的地方.”该试题呈现探究性学习的特点，解答时先退回到问题解决的逻辑起点：n=3时，p=b+c.怎样得到p=b+c的呢？怎样用n=3的解决方案解决n=4、n=12呢？这涉及数学探究，基本的手段是“特殊到一般”，具体方法有以下几种.

方法1：最直接的办法——度量.

度量往往是探究的最直接手段.标准作图，用刻度尺量线段的长度，然后猜测p、b、c间的关系，具体是：n=3时，取E为弧BC的中点，于是A与F重合，此时容易得出p= b+c.有了此经验后，对于n=4，取E为弧BC的中点，EF⊥BC，度量线段长度，在误差忽略的情形下结合45°角，可以大致猜出p=b+c.至于n=12，此法失效.

方法2：在度量的基础上改进一下——计算.

基于方法1中的图形，可知：当n=3时，b=c=r，EF=p=2r，可得p=b+c；当n=4时，b=c，通过计算得p=b+b，联想到n=3时p、b、c的形式，可猜测p=b+c，当然这仅仅是一种猜测，有冒险的成分，需要验证，但从某种意义上讲为证明提供了方向.

方法3：在计算的基础上提升——证明.

证明中运用的方法是截长、补短法.怎么截、怎么补是探究过程中首先要搞清的问题，这需要逐步试探调整（先探究n=3时的情形）.

截长法：

探究1 在EA上截取EM=c，再证明AM=EB=b.

探究2（探究1的变体）在A′E上截取EM=b，再证明A′M=EB=b.

探究3（探究1、2的升华）过C作CN∥EB，与AE相交于M，与⊙O交于点N，易得EM=c，再证明AM=EB=b.

探究4（探究3的变体）在弧BA上截取B（N=E（C，易得CN∥EB，回到探究3.

补短法：

探究5 在CE的延长线上取点M，使得EM=b，再证明EM=EB.

探究6 在EB的延长线上取点M，使得BM=c，再证明EC=BM.

（3）类比的能力.

“类比是一个伟大的引路人”（数学家G.波利亚语）.该题充分考查学生的类比能力：①解题思路的类比：截长、补短法类比、迁移到试题中；②操作方法（数学学习中积累的经验）的类比、迁移：直接截长、平行线截长、直接补短等类比、迁移到该题；③类比n=3的解答方法解决n=4、n=12的情形.

亮点4：解法多样

该试题情景看似陌生，但解法上具有很强的灵活性和多样性，学生们可以从不同的角度审视，可以运用不同的数学知识和方法加以解答，真可谓异彩纷呈，这无疑为考生提供了展示才华和能力的机会.本题解答的常见方法有近10种，本质上都是截长、补短，下面列举两种解法与大家共享.

亮点5：教学引领

本题情景新颖，解答方法不偏不怪，是成都卷中的一道亮题.然而让人惊讶的是，据阅卷信息透露，成都市中心城区近4万名考生，得满分（4分）的考生仅100人左右，问题究竟出在哪里呢？

从初三数学复习教学来看，课堂教学的主要任务是范例的讲解与大量题目的演练，教师比较重视学生对数学基础知识的记忆，忽略学生对数学本质的理解；重视学生对题型、套路与解题方法的训练，忽略学生对思想、方法的总结提炼；重视学生对具体问题的解决，忽略学生对开放性问题的处理，尤其缺乏对创新意识的培养.

从学生的学习方式来看，初三数学课堂复习的基本模式是“教师讲—学生听—学生记”、“教师示范例题—学生模仿练习—学生记忆基本题型”，这是一种“单向”信息传递的教学模式，学生处于被动接受的状态，属于“简单模仿—低能操作”式学习，只能在数量上增加学生数学认知结构中的某些信息，不利于知识和方法的主动构建.

三、教学启示

1.改进教学方式

“标准（2011年版）”倡导“积极思考、合作交流、动手实践、自主探索的学习方式”.因此，初三复习中，教师应让单向信息传递的教学模式“动”起来.首先是行动起来.教师应精心设计教学内容、呈现形式、讲解方式，激发学生持续学习的热情和欲望，引发他们的行为参与、认知参与与情感参与，使学生能够全身心投入到初三复习中来.其次是互动起来.教师要重视师生之间的相互合作、相互沟通，充分发挥学生的主体地位，还课堂于学生、还时间于学生、还话语权于学生，引导学生之间充分交流，从而在师生对话、生生对话的过程中，达成“互识”和“共识”.再次是思维灵动起来.数学是思维的体操.数学的学习过程是学习者情感、态度、信念、价值的赋予过程，更是思维的萌芽、成长和成熟的过程.在经历问题的提出、分析、解答过程中，培养学生思维的多样性、批判性和灵动性.

2.加强创新意识的培养

本题具有形式新、背景新等特点，属于创新型试题.此类试题不是问题的简单呈现，“刺激—反应”的解题套路无法奏效，一般来说解答需要经历以下过程：阅读新信息—加工新信息—得到问题的本质—获得问题的解.这一过程需要学生具备阅读能力、信息捕捉能力、自主学习能力、探究能力、创新意识等.从阅卷信息来看，学生缺乏应对新问题、新情景的能力.因此，教学中应加强培养学生的创新意识.

1.赵思林，潘超.一道以群的定义为背景的高考试题赏析［J］.中学数学（上），2008（4）.

2.刘成龙.由一个物理问题引起的探究性学习［J］.中学数学教学参考（中），2013（7）.

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