☉浙江省义乌市第二中学 龚辉斌

遵循“两个尊重” 提高数学作业讲评有效性

☉浙江省义乌市第二中学 龚辉斌

作为数学日常教学的重要组成部分，作业讲评在促进学生对于数学知识的理解、数学技能和方法的掌握、加速数学思想的领悟等方面具有重要的意义.然而，我们发现，作业讲评教学普遍存在以下问题：缺乏以学生作业的实际解答情况为讲评出发点的意识，导致讲评的针对性不强；目标局限于单纯的“纠错”和“解惑”，导致讲评的育人功能缺失……“数学是思维的科学.”［1］数学作业讲评是思维活动的讲评.上述问题的存在，不利于激发和维持学生数学学习的热情，不利于学生思维能力的和谐健康发展.为实现数学作业讲评的有效性，笔者以为遵循“两个尊重”至关重要.

一、“两个尊重”的涵义

1.尊重学生的思维

尊重学生的思维，包括两个方面：一是尊重由作业反映的学生的思维特点和思维规律.这就是说，既要积极评价学生作业中有效的、高品质的数学思维活动，又要认真分析可能存在的思维缺陷、不足和错误，这是作业讲评不可或缺的环节；二是尊重学生伴随讲评教学的思维发展权.作业讲评的根本目的是发展学生的思维能力.讲评教学并非单向的思维灌输过程，而是在教师引领下学生对作业题再思考、对原解答再审视的过程，因而学生的思维活动占据了讲评活动的重要成分，教师的“教”是为改进学生的解答、提升学生的思维品质服务的.总的来说，尊重学生的思维，要求我们既重视学生“作业中的思维”，又重视学生“课堂上的思维”，两者互为联系，并行不悖.

2.尊重数学的思维

尊重数学的思维，就是以具有普遍意义的、宏观的数学思维方式作为作业讲评的主旋律，以此引领学生纠正思维错误、弥补思维缺陷、开拓思维空间，帮助学生养成科学有效的思考习惯，形成对数学完整和深刻的认识.

尊重数学的思维，是追求作业讲评的高品位、强化思想性教学的必然要求.囿于就题论题的作业讲评有可能导致学生思维的低层次徘徊.尊重数学的思维，就是以数学中思考问题、分析问题的一般方法引导学生的思维再起步，以高影响力的策略性知识促使学生思维的升华，克服常见的“只见步骤，不见思想”的倾向，从根本上提升作业讲评的境界，为学生谋取长远的发展利益.

二、“两个尊重”的落实

“两个尊重”落实于具体的课堂教学，需要我们切实处理好数学方面和教育方面的关系，数学方面做到“内容深刻、到位”，教育方面做到“形式科学、高效”.

1.作业批改环节了解学生思维中的突出问题，讲评伊始展示有典型意义的作业解答

作业讲评，与其说讲教师所知道的，倒不如说讲学生正需要的.学生的作业解答为教师了解学生的数学学习状况提供了最全面、最深刻的材料.在作业批改环节，从尊重学生的思维出发，把了解学生的思维状况放在突出的位置是讲评教学有的放矢、实现高效优质的前提.为此，教师需要有“透过现象看本质”的意识和能力.这就是说，我们不仅要看到学生作业中的显性表现，更要窥探其背后的思维过程，并对其思维品质作出恰当的评价.讲评课上常见的“满堂灌”、“无病呻吟”和“启而不发”等不良现象，本质上与教师课前了解作业反映的学生思维现状不够密切相关.

尊重学生的思维，需要让学生个体感受到老师对其思维活动的关注.具体地说，作业批改时，发现了学生作业中的思维闪光点，教师应该及时用文字或符号给予热情的评价，同时做好摘录，以便在后来的课堂讲评时与全班同学共享，并“发扬光大”；而对于学生思维中存在的问题，教师不应该简单地以“错”、“坏”评价之，而应该作出具体的分析.比如，作业中的一些错误表面上看与学生对知识的理解、技能的掌握有关，可能根本的原因还是不良的思维品质和习惯，为此，教师作出简短的点评和提示是必要的.

2.把数学概念的内涵、数学方法的作用和数学思想的本质等作为讲评的核心内容，以此占据讲评教学的制高点

“有些题目的难度是由题目本身和所用的数学方法决定的，倘若不从数学方法上下功夫，仅仅从教学方法的角度出发，学生学习起来仍然很辛苦.”［2］尊重数学的思维，要求教师围绕学生的作业表现，以数学概念、方法和思想为载体，不仅把其中的思维讲清楚，更要讲深刻.史宁中先生指出，“一个学者或发明家得到的最后结论可能是非常完美，但头脑中思考的是非常简洁的东西.”［3］高层次的作业讲评就是要让学生学会像学者和发明家那样简洁地思维.

3.平衡“学”和“教”两个方面的作用，追求作业讲评效益最大化

遵循“两个尊重”，要求我们紧紧围绕“纠错和解惑”这一短期目标和“发展学生的认识力和思维力”这一长期目标，积极处理好学生的主体性和教师的主导性关系.

具体地说，一方面，作业讲评要自始至终强调学生思维的实质性参与，强化学生的思维体验.实践证明，学生纠正作业中的错误、克服作业中的困难并不能单纯依靠他人的讲授，而主要是一个思维引领和行为操作相结合的自我否定、自我发展的过程.事实上，不经过思考的不是数学，作业讲评给予了学生再学习再创造的机会.

另一方面，作业讲评要充分发挥教师对数学理解深刻的优势，强化示范和引领作用.数学问题的复杂性、数学思维的抽象性和学生智力的局限性决定了单纯依靠学生自己的努力往往很难取得根本性的纠错和问题关键处的突破.教师必须抓住时机，理直气壮、毫不含糊地以自己的理解力培养学生的理解力，以自己的思维力发展学生的思维力，体现教师的实质性作用.例如，学生作业中的错误和困难常常源于数学的形式化特征.形式化的表达具有简洁、深刻的特点，是一种文化继承行为.然而，数学的形式化远离了学生的原有经验和生活实际，自然会给学生的理解和运用带来困惑，造成学生作业中这样那样的错误和困难.如果教师不采取针对性的主导措施，学生可能永远也明白不了问题的本质，走不出迷雾.

三、案例：一道“解含参不等式”作业的讲评

学完了人教A版必修5第三章“不等式”，笔者在一次综合练习中布置了下面的作业题

通过批改，发现了2种有代表性的（不正确）解答.讲评伊始，利用投影仪，这2种解答展示如下：

课堂活动片段之一：用数学概念引领思维活动

师：解答1存在什么问题吗？

教室很安静，看来学生处于困惑之中.

师：请大家看一看它的推理过程.推理有问题吗？

学生一致认为推理没有错误.

师：既然推理没有错误，看来问题出在解题目标的实现上.谁来说一说，“解不等式”的含义是什么？

课堂上请了一位采用解答1的学生A来回答.

生A：就是把满足该不等式的x的值找出来.

师：是部分找出来，还是全部找出来？

生A：当然是全部找出来.

师：解答1最终把满足不等式的x值都找出来了吗？

生A：哦，我明白了！我是分“x>2”和“x<2”这两段来找的，我还应该把这两段内的x值“并”起来.

师：你讲得很对！先来看“x>2”这一段吧！那么，你把“x>2”这一段内的x值找出来了吗？

生A：好像还没有.

师：“x>2”这一段内的x要满足什么条件？为此，你需要做点什么？

反思 批改作业时，笔者发现不少学生的解答类似于上面的解答1.表面上看是学生的能力问题，其实，根本的原因还是学生对于“什么是解不等式”“解不等式的要求是什么”等常识性知识缺乏清晰的认知.我们说数学是自然的，首要表现在数学的思维是自然的，思维活动引领下的数学方法也是自然的.要让学生的思维自然起来，需要教师借助实例使学生感受到“从概念出发，就是按概念确定的规则办事”和“数学概念是数学方法的源泉”，从而培养学生重视数学概念的学习和理解的好习惯.上面的教学中，学生一旦明白了“解不等式就是把满足不等式的x值无一遗漏地找出来”，后续的“为什么要讨论”、“何时讨论”和“怎样讨论”等分类讨论难题便迎刃而解.解题就像是一次远行，常常是数学概念决定了“要走怎样的路”，以及“怎样才算到达了目的地”.作业讲评就是要让学生的数学思维回归自然，毕竟自然的思维是数学最本质的东西.

课堂活动片段之二：阐释操作方法背后的数学思考

师：现在，我们来看解答2.采用这个解答的同学是怎么想的呢？

学生B不是一位采用解答2的学生，但他要求发言.

生B：我想，他是希望把这个不等式不断地化简.

师：是的.在解不等式时，我们经常会发现不等式中多个位置出现x的情形，x隐藏得很深，而解不等式的最终要求是写出x的取值范围，从这个角度来说，解不等式的过程其实是一个不断化简的过程.为此，解答2采取了“分离常数”、“求倒数”和“两边同乘以一个数”等一系列步骤，不断朝着“确定x的取值范围”的目标前进，这种方法是很合理的.

师：现在，请同学们仔细检查一下这些步骤，操作过程有什么问题吗？为什么？……

反思 数学方法常常表现为操作性步骤，数学方法的背后是数学思考.上面的讲评，教师引导学生透过显性的方法操作，阐释其隐性的数学思考，并评析其合理性（或不合理性），这是保证学生思维参与并不断深入、促使学生个体的思维向学生集体的思维转化的教学形式，是大面积提高学生思维能力的有效举措.从内容上看，不同于解答1的讲评，教师一针见血地指出“解不等式的过程是一个逐步化简的过程”，这就点出了“分离常数”、“求倒数”和“两边同乘以一个数”等一系列步骤的思维出发点，是尊重数学思维的集中体现.同时，也让学生感受到了数学观的教育，即“数学就是追求简单”.

课堂活动片段之三：用数学思想开启新思维

师：本章，我们学习了一元二次不等式的解法.把陌生的、较难的问题转化为熟悉的、较易的问题，是数学中常用的思维策略.请同学们想一想，可以把这个分式不等式转化为一元二次不等式来解吗？

反思 抓住时机不断推进学生的思维发展，是发挥作业蕴含的育人功能、体现教师主导性的重要方面.本题中，为帮助学生学会用联系的观点看待数学知识和数学方法，提升思维水平，教师及时提出了数学思想方面（转化思想）的“学”的要求，提高了课堂讲评的思想性.不仅如此，教师还对不等式转化过程中的具体思维形式（抽象概括）给予了总结和强调，从而把发展学生的抽象思维意识落到了实处.

1.单墫.数学是思维的科学［J］.数学通报，2001（6）.

2.张景中，彭翕成.一线串通的初等数学［J］.数学通报，2010（2）.

3.史宁中.《数学课程标准》的若干思考［J］.数学通报，2007（5）.

4.李邦河.数的概念的发展［J］.数学通报，2009（8）.