☉江苏省连云港市新海实验中学东校区 姜晓刚

揭示本质 挖掘思想 注重思维 提升素养
——例谈苏科版数学七下《平面图形的认识（二）》复习设计

☉江苏省连云港市新海实验中学东校区 姜晓刚

数学复习是一种特殊的教学形式，在整个学习活动中是一个十分重要的环节，其基本任务是：在教师的引导下，帮助学生系统地复习、梳理已经学过的基础知识，整合知识要点，构建知识网络，总结解题规律，熟练基本技能，掌握思想方法，提升数学素养，使认知结构得到完善，思维能力得到发展.怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学呢？本文拟以苏科版数学七下《平面图形的认识（二）》进行例说.

日前，学校组织教学检查，听了七年级的几节数学课，课题都是第七章《平面图形的认识（二）》复习，几乎都是按照以下的程序进行：

（1）提前下发复习学案，学生提前预习和试做（一份复习学案8K纸正反面，大致分为平行线的性质、平行线的判定、平移、三角形的概念、三角形的内外角和等几个部分，每个部分又大致分为知识重现（填空）、经典例题（一道解答题）、针对性训练（填空、选择、解答）等栏目）；（2）上课时，分小组派代表陈述答案或展示某题的解题过程，生与师共同评点；（3）遇到集体性的问题或经典性问题，往往由教师主讲；（4）最后由学生畅谈本节课的收获来结束复习课（有两节课没有完成预定的教学任务，没有进入到此环节）.

这样进行数学复习的优点是极大地发挥了学生学习数学的主体性作用，较好地体现了学习小组的互帮互助的价值，较好地让学生展示自我，提升数学学习的自信.但是这样的复习课缺乏“数学味”，如同之前的新授课的教学，没有体现数学复习课的内涵和特色.

笔者认为：复习不是知识的简单再现或分类，不是例习题的再现和重温，而是要对数学知识进行梳理，帮助学生对旧知识进行回顾、深化，引导学生深入挖掘知识的内在联系，进行系统整理要牵线成网，要充分发挥以题带知识的作用，进而实现知识的迁移、综合运用，以期实现数学复习课“揭示本质、挖掘思想、注重思维、提升素养”的主旨.

笔者结合自己的教学认识来谈谈本节课的教学设计.

一、进行知识梳理

数学知识之间彼此都是相互联系的，在平时数学中，每课的知识点几乎是孤立的，故在单元复习时应注意引导学生从单元的整体出发，按各知识点的内在逻辑关系进行比较、归类、概括、抽象，将分散零碎的知识系统起来，形成清晰、完整的知识结构，由点连成线，由线织成网，能让学生形成良好的认识结构，巩固所学知识.

预习任务：

1.本章学习了哪些重要的知识和内容，你能用自己喜欢的方式梳理一下吗？试试看！

2.在本章学习的过程中，你学会了哪些数学思想方法？能通过具体的实例说明吗？与同伴交流吧！

设计意图：布鲁纳指出：“知识结构的理解，能使学生从中提高他直觉处理问题的效果”.提前布置预习任务，让学生用自己喜欢的方式梳理知识结构.上课伊始，可选择部分学生的作品加以展示，并有目的地组织交流、组建结构，教师再给予及时的评价指导，这样既有利于对知识的理解，又可让学生体验成功、增强自信.当然在教学过程中教师也可对单元的知识进行归纳整理，作为示范，潜移默化地影响学生学会组建知识结构.

如果学生暂时不具备单独进行梳理的能力，也可提供如下的知识结构图，让学生学习理解和模仿.

二、着重变式训练

变式训练就是对数学中的命题、例题、习题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，从而暴露问题的本质特征，揭示不同知识点之间的内在联系的一种教学方法.通过变式例题、习题教学，可达到一题多用、一题多解、一法多用、多题归一的效果，从而提高学生学习的积极性，拓宽学生的思维空间.

变式训练是数学复习课揭示本质、挖掘思想、注重思维、提升素养的一种有效的方式和途径.

进行完知识梳理后，可出示以下例题并作系列变式.

例题 如图1，在△ABC中，∠A=60°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，求∠P的度数.

如果将条件“∠A=60°”改为“∠A=α”，则∠P的度数如何表示？

设计意图：通过∠A求∠P，主要涉及三角形内角和定理，起点较低，难度不大，由数字到字母，体现了解法的一般性和结论的一般性.该题为学困生准备，也是下面系列变式和拓展的起点.

变式一：如图2，在△ABC中，∠A=60°，BP、CP分别平分∠DBC和∠ECB，求∠P的度数.

至此，问题得以顺利解决，从中也体会到由“例题”一路进行变式（从内角平分线到外角平分线、从角平分线到角的三等分线、从三角形到四边形）的价值，洞悉了图形变化的本质，凸显了解题的规律和思想.所以在复习教学中，例题的讲解不能就题论题，要增加变式和解题反思环节，引导学生发现问题的本质，学会触类旁通、举一反三，内化其解题思想和方法，提高解决问题的能力和灵活应变的能力，提升学生的数学素养，从而实现有效复习和高效复习.

著名数学家波利亚说过：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”这其实与我们常用的变式教学是一脉相承的.

数学复习课担负着“知识结构的组织”和“数学知识的应用、数学思想方法的提炼”的双重任务.前者是为了建构知识之间的关系，后者是为了巩固知识，培养应用知识和解决问题的能力，发展数学思维.因此，在建构知识和查漏补缺之后，应该强化数学知识的应用和数学思想方法的提炼，选择具有典型性、层次性和综合性的问题，以题目代知识，以知识点归类题型，以题型挖掘解题规律和数学思想方法，真正引导学生学会学习.

三、巧设数学活动

荷兰教育家弗赖登塔尔曾说：“学习数学唯一正确的方法是实行再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生.”

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》明确提出：“数学要让学生在参与特定的数学活动和具体情境中，初步认识对象的特征，获得一些体验.因此在数学复习中，如果能设置一些数学活动，让学生在活动中发现问题、思考问题，尝试运用已有的知识解决问题，既能提高学生学习的兴趣，又能起到复习巩固和提高的作用，何乐而不为呢！

在《平面图形的认识（二）》复习时，可设置如下的数学活动.

数学活动1：给你一张长方形纸片，任意折出一条折痕，请再折出一条折痕，使它与前一条折痕平行，并解释其中的数学道理.

设计意图：学生可能会给出这样三种折法：

第一种：连续对折两次后展开（如图15），三条折痕均平行，理由是同位角（都是90°）相等或同旁内角（都是90°）互补，两直线平行；第二种：将两条短边分别翻折到长边上（如图16），所得折痕平行，理由是同位角（都是45°）相等，两直线平行；第三种：通过折任一条折痕的两条垂线（七上知识，如图17），从而这两条垂线（折痕）平行.

这三种折法，学生能够想到，也能说出理由.老师可以出示如图18所示的折法（如有学生想到则更好），让学生判断并说理（其中涉及平行线的性质和判定）.通过折纸活动，既积累学生的基本活动经验，又培养学生运用已有的知识解决问题的能力.

数学活动2：（1）给你一张三角形纸片，能否通过折纸的方法将它分成面积相等的四个部分？若能，请说明其中的数学道理.

（2）给你一张四边形纸片，能否通过折纸的方法将它分成面积相等的四个部分？若能，请说明其中的数学道理.

设计意图：活动2（1）主要是让学生从解决问题的各种结果（如图19）中感悟到三角形的中线具有平分三角形面积的性质.如果活动到此为止，那数学价值就大打折扣了，所以紧接着活动2（2），类似提出一个分四边形面积为四个相等部分的问题，试图让学生通过转化的数学思想，将四等分四边形面积的问题转化为四等分三角形面积的问题（如图20），可凸显数学思想的价值和作用，也为学生日后解决类似的问题提供了思考的策略和方法.

数学活动3：（1）给你一张三角形纸片（事先设定好三个内角分别为50°、60°和70°），请你任选一个角，按照图21所示的方式折叠（使被折角的顶点落在三角形的内部），产生了∠1和∠2，再度量这两个角和所折角的度数，并计算∠1+∠2.操作后与同伴交流结果，你有什么发现？能用所学的数学知识解释吗？

（2）如果将上述的三角形纸片按照图22所示的方式折叠，产生六个角，这六个角的和是多少？你是如何得到这个结果的？

（3）取一张四边形纸片，按照如图23所示的方式折叠，产生八个角，这八个角的和是多少？你是如何得到这个结果的？

思考：如果是一张一百边形的纸片，进行类似地折叠，将会产生200个角，那么这200个角的和会是多少？说说你的想法.

设计意图：活动3（1）通过学生的操作和交流，发现∠1+∠2等于被折角的2倍，进而引发数学思考，尝试运用已有的知识（途径一：由邻补角、三角形的内角和直接计算；途径二：连接被折角的前后位置的两个顶点，运用外角等于两个不相邻的内角和计算）解决，实现由合情推理到演绎推理的过渡.活动3（2）、活动3（3）既可以直接度量操作可得结果，也可运用活动3（1）的结论计算得到结果.当然选择的不同，彰显了思维层次上的差异.活动3（3）的思考，则是将提升了思维的深度和力度，因为寻求测量操作已行不通，只能通过数学缜密的说理和计算来获得结果，从而揭示这类题组的本质.故数学活动是载体，经历操作、发现和思考，渗透的是数学思想，提升的是思维品质.

如有可能，还可以出示图24，让学生继续探究∠1+∠2与被折的两个角存在着某种数量关系吗？甚至继续探究图20中的顶点折至三角形的外部时，∠1、∠2与被折角存在着某种数量关系吗？

综上，如果数学复习课能恰当地进行知识梳理、着重变式训练、巧设数学活动，可凸显数学复习内涵和特色，以期揭示本质、挖掘思想、注重思维、提升素养.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.姜晓刚.基于数学实验的几何复习课的设计［J］.中学数学（下），2013（9）.

3.姜晓刚.初中数学实验教学设计的研究与实践［J］.中学数学杂志（初中版），2013（10）.FH