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“成果扩大”:解题教学的一种追求——由一次习题讲评课说起

2014-02-01广东省博罗县福田中学刘伯勋

中学数学杂志 2014年2期
关键词:外角平分线一题

☉广东省博罗县福田中学 刘伯勋

“成果扩大”:解题教学的一种追求
——由一次习题讲评课说起

☉广东省博罗县福田中学 刘伯勋

解题教学在初中数学教学中占有十分重要的位置,追求解题教学的效益最大化,一直是广大教师心中向往的目标.本文从一次习题课的教学片断说起,阐释在解题教学中对“成果扩大”的追求和思考.

一、一次习题课的教学片断

以下是七年级学习三角形内角和及推论后一次习题课上的教学片断.

例1 如图1,在△ABC中,CP平分∠ACB,BP是△ABC的外角∠ABE的平分线,

试分析∠P与∠A的大小关系.

不少同学都感到很惊讶.

师:你是怎么发现的?

这样一说,部分同学表示能听懂,但还是有些学生感觉云里雾里,表示不是很清楚,于是在笔者帮助下,把生1表达的过程重新板书如下.

由△BCP外角的性质,得到∠P=∠PBE-∠PCB.

由△ABC外角的性质,得到∠A=∠ABE-∠ACB.

这样一来,更多的同学懂了.

师:同学们,现在老师再把问题变式如下.

变式1:如图2,在△ABC中,∠B、∠C的平分线交于O点,探究∠BOC与∠A的关系.

师:你怎么这么熟练?

生2:我以前练习过这样一类问题:如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AE、BD是∠A、∠B的平分线,求∠APB的度数.

师:很好,你刚才的解题经验中,说出了一种重要的求解策略,即从特殊到一般的发现、归纳法,而且积累了一种特殊图形及其性质.现在让我们再“从内到外”,探究一下三角形两个外角平分线的夹角有怎样的性质.

变式2:如图4,在△ABC中,BP、CP分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的平分线,试求∠BPC与∠A的大小关系.

学生经过2分钟的独立思考.

师:正确!原来三角形的两个角平分线的夹角与“第三个角”都存在一种规律!我们在前面曾说三角形的三条内角平分线会交于一点,属于一种数学上的奇异美现象,我想,上面三种“两角平分线”夹角的规律也是一种奇异美吧!

二、解题教学应该追求“成果扩大”

解题教学中追求“成果扩大”能帮助学生“举一反三”、“做一题,会一类,通一片”,就“眼前利益”来看,能帮助学生提高解题能力、应试能力.此外,追求并传递“成果扩大”,正是践行下述观点的体现,波利亚在名著《怎样解题》中说“一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法:没有任何问题是可以解决得十全十美的,总剩下些工作要做.经过充分的探讨与钻研,我们能够改进这个解答,而且在任何情况下,我们总能提高自己对这个解答的理解水平”.以下即围绕解题教学中追求“成果扩大”阐释相关思考.

1.“成果扩大”的前提是教学预设

凡事预则立,不预则废.追求“成果扩大”的解题教学,首先要做的是充分的教学预设.若教者对待教数学问题还未有充分思考、预设,那么在解题教学时过分期待“成果扩大”的精彩生成往往会落空.上述案例中,教师能在学生获得一种发现后,及时给出不同变式,促成“成果扩大”,显然这些变式的即时出现,其实在于教师在上课之前对这类问题(三角形“两角平分线”夹角问题)已了然于胸,预设之功显现于此.此外,由于“成果扩大”内涵和外延非常丰富,教学预设就显得更为重要.以下即展开说明对解题教学中追求“成果扩大”的更多认识.

2.“成果扩大”的本质是变式教学

我们知道,变式教学是有中国特点的“双基”特色.本文倡导在解题教学中追求“成果扩大”,本质上就是倡导变式教学.而变式教学的目的在于帮助和促进学生发现、积累模式,并善于对模式进行变式理解.在上述教学片断中,当学生经历变式与探究后,积累了三角形“两个角平分线”夹角的规律问题,这其实是陕西师大罗增儒教授倡导的“模式识别”策略,上述的探究和小结其实就是发现和积累模式图形与性质(也有资料上称“基本图形及性质”),这样在此后的作业或考试中,面对这类模式图形就可以快速打开思路,实现问题的快速突破.实际上,在平时的学习中,这样的变式探究及一般性规律的发现是十分重要的,只有多进行这样的一题多变的训练和反思,才能走出题海,更本质地学习知识,提高数学解题能力!

3.“成果扩大”的追求是回顾反思

我们知道,数学解题并不仅仅是追求答案的获取,还需要在“求出解答后继续前进”(舍费尔德语).在这里,简单提及新加坡著名数学家、数学教育家李秉彝先生关于“答案、过程、表达”三者关系的论述:“首先,为什么答案是重要的?假如你在造一栋住宅,竣工后,房子塌了,你愿意因为仅仅是过程正确而向建筑商支付报酬吗?其次,为什么过程是重要的?你可以在过程做错的情况下,得到正确的答案,但我不肯定你下次还会那么幸运.第三,为什么表达是重要的?如果你说得很好,你可以通过一扇门,我是说,你可以把所要表达的意思传递给门后的那个人,如果你写得很好,你至少可以通过三扇门,我是说,你可以把所要表达的意思传递给你老板的老板的老板.只有完美的表达才可以传递得更远.”这样来看,如上述案例所见,在学生获得例1的解答后,并没有结束该题的学习,而是连续变式两次,在师生的对话中丰富了这一类问题.进一步,还在点评环节,引导学生对比不同例、习题的求解,发现并感受结论的“奇异美”,这一系列的跟进措施都是“成果扩大”.

4.“成果扩大”需要处理与“必要优化”的关系

如上述案例展示所见,解题教学中的“成果扩大”追求了一题多变.此外,“一题多解”也是“成果扩大”的一种常见形式.无论是解题教学中的“一题多变”或“一题多解”,都要注意一个“度”.

首先,一题多变往哪个方向变?指向何方?这里不妨再链接笔者近期从教材上一道习题出发,预设的一道“五角星”(人教版八年级上册教材第82页第3题改编)的开放式问题.

例2 如图5,五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形.

(1)填空∠AMB=_______°;

(2)连接AB,求∠MAB的度数;

(3)请过点M画出五角星的一条对称轴(尺规作图,保留作图痕迹);

(4)请在(3)的图形上,再设计一个求角度的问题.

教学故事讲述:前两问是封闭式设问,后面增加的两问,就是让同学们看看,经典如五角星,还有怎样的设问方式.第三问在作对称轴时,虽然要求是尺规作图,不同的学生有不同的方法,有些认识很深刻的学生,直接连接两个点(点M和相对的“五角星”一个顶点)即可.而第四问学生设计的问题也丰富多样,其中一个学生设计一问:设∠A与∠B的平分线交于O,求∠AOB的度数.值得一说的是,这个问题的求解方法有很多,比如利用三角形内外角性质,或者走外接圆、圆心角的路径.可见一道精心预设的开放式问题,经过师生的共同努力,精彩生成,就有了很有价值的“成果扩大”.

其次,关于一题多解与解法优化的思考.如郑毓信教授所说,积极倡导解题方法的多样化与“思维的必要优化”,不应当看成是直接相冲突的.相反,很好的处理解法多样与思维的必要优化之间的辩证关系,正是教学艺术性的体现.这方面的一个有意义的思考,可以参见刘东升老师在《“通性通法”与“技巧解法”之思》一文中对解法多样的如下观点:恰当的解法多样化是应该坚持的问题解决取向、恰当的思辨有助于“通性通法”与“技巧解法”的理解、恰当的理解“技巧解法”与“特殊解题技巧”的关系.事实上,这也正是广大教师同行作为专业人士需要修炼的基本功之一——“善于优化”.

三、写在最后

解题教学在数学教学中占有十分重要的位置.长久以来,“讲题、变式、练习、讲评、再练习”似乎成了不少同行“教死书”的一种模式,但这并不代表就该如此.怎样改进?怎样把一些熟悉的问题经过我们的重组、预设,促成学生自然而然的“成果扩大”?希望我们一线教师都能在这些方面做出努力.

1.马立平,著.小学数学的掌握和教学[M].李士锜,吴颖康,等,译.上海:华东师范大学出版社,2011.

2.潘荣菲.展望新加坡2013年中学数学课程[J].数学教学,2012(8).

3.章建跃.发挥数学的内在力量,为学生谋取长期利益[J].数学通报,2013(2).

4.刘东升.“通性通法”与“技巧解法”之思——由一次研讨课的课堂生成说起[J].中学数学(下),2012(10).

5.张奠宙.熟能生巧:是精熟,不是烂熟[J].数学教学,2013(5).

6.郑毓信.由“熟能生巧”到自觉学习:搞好数学教学的一个关键问题[J].数学教育学报,1999(2).WG

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