☉上海市虹口区教师进修学院 胡 军

让“学生说题”为数学习题教学增值

☉上海市虹口区教师进修学院 胡 军

在学校听课调研时，常听到教师抱怨，某些习题已经讲解了多次，但学生自己动笔，还是困难重重.笔者认为，问题的关键在于初中数学教学中偏重知识传授，强调接受学习和机械训练，不敢放手由学生探究，学生无法体验数学和经历数学学习过程，学生的创新能力、个性发展、自主意识等受到了较大程度遏制.同时，不少教师以“多练”为基本手段，将“宝”押在大量的习题练习上，这不仅加重了学生的课业负担，而且无止境的练习又带给学生无尽的烦恼，滋生学生厌学情绪.作为数学教研员，经常在评选优质课、教学能手等活动中采用“说课”形式.初中学生已有一定的计算能力和知识储备不成为问题，但缺乏分析、判断、推理和归纳的过程，由此也可以组织学生在课堂上“说题”，充分发挥学生学习的主动性，由学生在“做中学”，在“练中悟”，从而建构自己的认知结构.这也符合《全日制义务教育数学课程标准》所强调的：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”.［1］

一、对说题的认识

1.说题的含义

从建构主义视角看，“说题”是通过师生共同的活动，把外界的物质世界转化为学生的精神世界，即通过学生思维加工，转化为知识、能力和方法等；从系统思想视角看，“说题”主要是揭示习题系统和教材系统的内在联系；从解题角度来看，“说题”主要指解说解题思路、方法及其规律.就数学学科而言，即让学生以说话方式表达出（或相互讨论）对数学习题的认识和理解，包括数学习题的审题与分析、思路与方法、过程与体会及对习题涉及知识点和整个解题过程的评价和创新等.教师则根据“说”中暴露的问题以及交流情况，适时点拨、引领，避免走题、跑题等情况发生.

新课程改革的主要任务之一是改变学生的学习方式，将学生从被动接受、机械记忆、简单重复中解放出来，培养“自主”、“合作”和“探究”的意识.对于“学生说题”而言，就是学生用自己积累的知识去思考，用自己的眼光去观察，用自己的语言去表达，逐步树立创新意识，培养数学思维品质的深刻性、批判性和敏捷性.学生作为说题的主体，将审题、分析、解答和回顾总结的思维过程遵循一定的准则说出来，通过老师引导，同学相互补充，去伪存真，系统地把握解题过程，促进思维能力的发展.可见，“说题”的目的是引起智力、思维的碰撞，激发学习兴趣，开拓思路，提供自主探究和创造机会，张扬学生个性，增强参与意识和社会责任感，从而提升学生的思考、质疑、批判、创新和实践能力.［2］

2.说题的类型

学生“说题”按活动时间，可分为“即时说题”和“解后说题”两种类型.

“即时说题”，是指事前无准备，拿到习题立即说题.此类说题对学生要求较高，也是日常例题、习题教学中经常采用的方法，意在通过学生阐述解题与解题方法的过程，暴露问题与缺陷，能反映学生平时解题的真实状况，有助于训练学生的解题迁移能力.同时，也有助于教师调整上课内容与教学方法.

“解后说题”，是指学生在特定时段做过该题，已有一定思考后的说题，这种类型常用于习题评讲课上.此种说题重在反思，说得（规律）与失（方法不好或未做出来的原因及对策），思考是否有更快捷和完善路径以及能否进行延伸和拓展，教师据此总结与归纳.“解后说题”也可用书面形式，如考试后的反思小结中要求学生写出错题原因，学生纠正错误的过程即是学生再认知的过程，有助于学生找到自己错误的根源并制定相应对策，有助于学生反思与总结.这种方式，较教师直接纠错，写出正确答案，学生的印象会深刻得多.

不过，教师还得根据学生的基础、能力、内容的重要程度及时间要求等情况，决定学生详说还是略说，是面面俱到说还是说其一点.

3.说题的功能

学生解题一般只能表达出解题过程和结果，不能完全暴露其思维过程，以致教者无法对症下药，让学生说题恰能弥补这一不足.因为，学生说题能展现学生的思维过程，有利于教师及时捕捉学生的思维偏差.

因此，学生说题具有以下功能：

（1）学生说题能挖掘学生潜力，培养思维能力与获取知识的能力.

心理学研究表明，思维活动借助于不出声的内部语言进行，而学生的解题过程和结果不能暴露其全部思维过程.学生说题，不仅能说出这道题的结果，更重要的是能说出整个思维过程.学生在相互交流中各抒己见，互献智慧，相互补充，在表达中探索、尝试、验证，以达到集思广益和突破创新的目的，培养学生思维的广阔性、创造性与批判性，进而提高学生的参与度，开发学生的脑力资源和潜在能力，培养学生的语言表达能力.

（2）学生说题能减轻学生负担，提高学生学习兴趣和学习效率.

说题有利于学生由被动学习转变为主动参与，落实学生的主体地位，为每个学生提供展示才华的机会，消除师生之间的心理障碍.学生在良好的教学情境中以最佳心理状态和思维状态学习交流，调动学习积极性，深化对知识的理解，从而减轻学生负担，使师生不同层次的经验和策略能够相互交流，建立了问题解决体验场，为培养学生解决问题的能力搭建了平台.［3］

（3）纠正学生思维偏差，完善解题思路.

教师在教学中使用说题，就是引导学生出声思考，让其数学思维显性化.它不仅能反映出学生清晰认识自己解决问题的依据、步骤和障碍，教师也可以发现学生思维过程中的障碍与偏差，增加数学教学的针对性，切实纠正学生思维过程中的错误习惯.而其余学生，则可以从中对比自己思维活动的各个环节，以便取长补短，达到在运用中不断巩固、深化知识的目的.

二、实施学生说题的策略

学生“说题”教学的实施是有计划地逐步深入、螺旋上升过程，整个过程中学生成为“主角”，教师角色是引导、协助、点拨、维持，学生积极参与教学活动，成为学习的主体，发挥自己智慧，自主开展合作与探究，解决一些力所能及的问题.学生“说题”活动实施开始时，教师应该让学生清楚说题的目的、要求，明确说题在整个学习过程中的作用，引起学生的重视.根据初中数学学科的特点和学生的思维特征，笔者在初三数学教学中对学生说题进行了多年的探索与实践，总结出学生说题一般包括七个主要方面.下面就以上海市九年义务教育课本《九年级数学（第一学期）》中的第38页例7的教学为例来说明.

例题呈现 如图1，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上.已知△ABC的边BC长为60厘米，高为40厘米，求正方形DEFG的边长.

示范说题过程如下：

1.说习题条件、涉及知识点及相互关系

主要是指将习题的条件、所涉及的知识点及其联系说清楚，这是审题分析的重点，也是解决问题之关键.可以组织学生讨论，教师也要适时介入，挖掘隐含条件是展开思维的基础.就上述例题而言，不难看出此题的条件是已知一个正方形和三角形的一边长及该边上高的长，涉及相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及方程的求解等方面知识点.

2.说习题结构

主要是指说习题的条件（已知）和问题（待求）之间的相互关系.由给定的题设条件和所求问题追溯应该具备的条件，做深入细致的分析、判断，从而决定解题方向和解题方法.因此，就上述例题而言，由正方形的性质可知DG∥BC，DG=GF，根据相似三角形的预备定理可知△ADG∽△ABC；由AH⊥DG，可用AH与GF的差来表示△ADG的高，这样，就可以利用“相似三角形对应高的比等于相似比”的性质建立正方形DEFG的边长与已知条件的联系.

3.说解题思路

就数学而言，促进学生思维能力发展，提高学习成绩的关键是掌握科学的思维方法和逻辑推理规律，因为它是获得新知识、解决新问题乃至掌握事物本质规律的主要途径，这也是习题教学目的之所在.就“说题”来说，思路和方法主要是指说解题思路的形成，通观全局，局部入手，整体思维，即在掌握通性通法的同时，形成一个个的解题套路.解题时仔细分析，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的运算难关.

说题时教师要引导学生学会审题，由表及里进行分析，弃伪存真加以改造.抓住已知中所涉及的知识点，或数形结合，或分类讨论，或整体分析，或灵活运用特殊化，或结合经验联想、类比等，尽快找到解题思路.

根据前述分析，本题的解法如下：

简解1：设正方形DEFG的边长为x，则有DG∥BC.

所以正方形DEFG的边长是24厘米.

4.说解题检查

主要是指反思可能存在的问题，从不同的角度迅速检验习题答案的正确与否，比如是否混淆了概念，是否忽视了隐含条件，是否忽视了特殊值，运算是否正确等.

5.说解法优化

主要是指解完习题后，思考是否还有其他解法.对于同一道题从不同角度去分析研究，长此以往，当学生遇到能用多种方法解答时，就会对各种解法的前景、计算繁简程度，做出正确的预测和判断，进而学会选择“优秀”的解法.

本例题也可以引导学生利用“合成法”建立方程求解，具体如下：

所以正方形的边长是24厘米.

本例题还可以引导学生利用“面积法”建立方程求解，具体如下：

简解3：设正方形DEFG的边长为x，则有DG=DE=x，AP=40-x.

因为S△ABC=S△ADG+S梯形BCGD，

所以正方形DEFG的边长是24厘米.

6.说习题变式

主要是指学生在解完习题后，问问自己：“若条件或结论发生变化，还能使用此法解吗？”更重要的是若打破常规，对试题的条件、结论进行一些变化，比如弱化某个条件、结论归纳出类型题，或改变某个条件、结论进行变式编写，或进行横向、纵向拓展引申出一般规律等.这样的点拨与引导会让学生说题活动的质量再上一台阶.同一类型的数学问题在其求解方法上往往有其规律点，解完习题后尝试做一般的推广和引申，那么学生解决的就不是一道题，而是一串题.通过长期的训练，可以培养学生的应变能力.

就上述例题而言，可以引导学生尝试如下变式：

（1）由“一般图形”向“特殊图形”演变.

由于例题中正方形DEFG是特殊图形，因此仅对“△ABC”进行特殊化处理.

变式1：如图2，若把“△ABC”改为“Rt△ABC”，∠C=90°，“高AH为40厘米”改为“AC=40厘米”，其余条件和结论都不变，该题如何解？

本题除了用上述解法1、2、3来解，还可以利用“锐角三角比”来解，具体如下：

所以正方形DEFG的边长是24厘米.

将该例题由“一般图形”向“特殊图形”演变，还可以有如下变式：

变式2：已知△ABC是边长为60厘米的正三角形，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，求正方形DEFG的边长.

变式3：在对角线长分别是60厘米和80厘米的菱形中，给一个四个顶点分别在菱形四条边上的正方形，且该正方形关于菱形的一条对角线对称，求该正方形的边长.

（2）由“特殊图形”向“一般图形”演变.

由于例题中“△ABC”是一般图形，因此仅对“正方形DEFG”一般化处理，将其改为其他多边形.

变式1：如图3，把“正方形DEFG”换成“矩形DEFG”，并增加条件“矩形DEFG的周长为100厘米”，结论改为“求矩形DEFG的长和宽”，该题如何求解呢？

所以矩形DEFG的长和宽分别是30厘米和20厘米.

变式2：如图4，将原题中的“正方形DEFG”换成“直角梯形EFGD，EF∥DG，∠EFG=90°，DE=10，EF=54”，其他条件不变，结论改为“求梯形EFGD的上底DG及高GF”.

简解：设DG=x，GF=y，则可得方程组：

所以梯形EFGD的上底DG=48，高GF=8.

变式3：如图5，把原题中的“正方形DEFG”换成“正六边形DEFGHK，边DE在BC边上，点F、K分别在AC、AB边上”，其他条件不变，结论改为“求正六边形DEFGHK的边长”.

简解：连接FK，交AH于点M，设正六边形DEFGHK的边长为x.

7.说解题体验与灵感

学生无论是通过自主学习还是合作探究对所学知识有不同程度的领悟，在此过程中，学生的数学思维和解题思路得以培养.“善于总结才善于提高”，教师要不断启发学生说出“解题”和“说题”的心得体验，引导学生反思自己的思维过程、方式和方法，体验合作意识以及过程中的酸甜苦辣和收获的喜悦.［5］该环节也是学生辨析是非得失，扬长避短的过程.学生不仅要知其然，还要知其所以然.教师要启发学生，使其善于对思维策略和解题方向及时进行调整.引导学生亲自体会到通过“说题”确实能帮助理解题意，相信“说题”的科学性，激发说题动机.

三、学生说题实践的思考

学生“说题”的最大效能是把学生的思维充分展示出来，把“思维的障碍、短路的节点、所走的弯路”也暴露出来，教师可以有的放矢当场辅导.在课堂上说题，一人说题众人听，大家都能从中吸取教训或开拓思维.若是采用多人复述，比一比看谁说得更有条理，看谁说得更简练，营造一种比赛氛围.毕竟，这是学生真实思维过程的再现，若是正确的，则更容易为学生所接受；若不正确，可以当场纠正，解决一大部分学生的思维障碍.因此说，学生说题是一种高效的习题教学法，它转变了学生的学习方式，建设了新型的、开放的、有活力的课堂，是高度参与的课堂、高认知的课堂、高情意的课堂，更是培养学生学习能力的好途径.

开展学生说题的活动旨在通过面向全体学生的“说”，带动全体学生的“学”，实现全体学生的“会”.为了使全体学生通过说题活动，都能有所心得、有所发展、有所提高，实施时教师应注意以下几点：

1.创设和谐的课堂氛围，调动学生的参与热情

民主、宽松的课堂氛围是提高教学成效的关键.在说题过程中，学生是学习的主人，教师是学习的组织者和引导者，要让学生在课堂教学中敢于表达自己的想法，说出对问题的理解与体验，就必须营造一个和谐的学习氛围，降低学生的心理焦虑，让学生在宽松、融洽的积极参与学习活动，增加安全感，从而激发学生内在的学习要求.［6］教师面对全体学生，要努力为学生创设一个充满情趣且有一定挑战性的学习情境，以调动学生参与的积极性，还要注意激发学生内在的求知欲，指导他们结合自身的学习实际，为自身的学习确定目标，并努力承担学习责任.对学习基础属于不同层次的学生加以区别指导，鼓励他们积极思考，参与课堂讨论及其他合作学习的活动.

2.合理设置“说题”难度和梯度，激发学生的主动性

学生“说题”要基于学生的认知水平、能力以及生活经验，但同时习题也要有挑战性，不要太简单.将问题设置在学生“最近发展区”内，但也要照顾学生的差异和思维特点，因材施教，对于不同学生采用不同的方法和内容，从而激发学生参与课堂学习的积极性和主动性，真正做到我的课堂我做主.因此，这就要求当代教师有较高的综合素质，不仅具有渊博的专业知识，深入诊断学生的心理技能，而且还要具有风趣幽默、抑扬顿挫、富有节奏、形象生动、富有表情的语言表达能力和良好的体态语，教师要注意用鼓励性语言客观地评价学生的表现.对学生取得的成绩予以及时认可，帮助体验成功，树立自信心，不怕失败、锲而不舍、发展并张扬学生的个性.教师加强感情投入，建立良好的学习氛围，做到既教书又育人，促进学生的身心健康发展.［7］

3.注意“例题”的选择与编拟，将说题和书面表达结合起来

学生“说题”教学中应以学生为主，教师引导、点评为辅，通过自身体验活动获得对学习的认知，因此，设计具有针对性和启发性的例题，让学生探讨、逐步解疑、消除混淆、步步深入，在探索中有所发现、有所创新，学生说题是最适合“例题”的教学.“例题”必须具有典型性、代表性、灵活性与挑战性.同时，学生课堂“说题”与书面表达相结合，合理利用好两种方式.学生在说题后安排一定的时间，让学生根据“说题”情况把问题以书面形式记录下来，有助于数学反思，提高学生规范答题的能力.［8］

总之，学生说题活动是教学实践中提炼出来的一种新型双边教学模式，它是学生摆脱题海战术、减负增效的有效手段，对培养学生的综合素质和思维品质大有益处.通过学生说题，能更好地发挥和发展学生学习的积极性、主动性、独立性与创造性，让数学课堂成为学生乐学、教师乐教的舞台.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.汤建国.学生说题教学法，习题教学的新尝试［J］.湖南中学物理，2011（8）.

3.周金中.在“说题”、“谈题”、“品题”中提高学生的问题解决能力［J］.物理通讯，2006（1）.

4.吴国富.“说题”教学：初中数学试卷讲评的实践探索［J］.读与写，2011（12）.

6.李学书.试论和谐师生关系的特点［J］.河北师范大学学报（教育科学版），2011（6）.

7.游忠.例谈“说题”在高三地理复习中的应用［J］.中学地理教学参考，2010（9）.

8.金秀青.“说题”——让数学课堂更精彩［J］.中学数学（下），2009（6）.FH