谷坤明，谢伟苗，王 宇，高继华

深圳大学材料学院，深圳市特种功能材料重点实验室，深圳518060

混沌控制［1］与混沌同步［2］的先驱性工作始于20 世纪90 年代. 由于混沌运动的特性，混沌控制和混沌同步在激光、网络安全等领域都有潜在的应用价值，是复杂性研究的重要方向之一［3-11］. 目前，对混沌的研究存在从低维系统向高维系统发展的趋势，时空混沌是混沌理论研究的热点之一［12-21］. 与低维离散系统相比，时空系统模型更接近真实体系，对时空系统的研究可更有效针对实际系统中出现的复杂性问题，有利于理论向实际应用转化. Hu 等［15］利用低维周期反馈信号成功控制了时空混沌系统，并建立了局域线性变量反馈(钉扎)方法的解析理论. Gao 等［16］提出广义反馈方法的概念，并通过局域广义反馈方法实现了控制时空混沌的数值实验. 混沌控制的重点之一是如何在降低控制信号维数的同时提高可控时空系统维数.Peng 等［17］提出用一组标度信号控制超混沌;Xiao等［18］提出用单个控制器通过边界控制一维偏流时空系统;Gao 等［19］提出随机巡游 (random itinerant)方法，通过单个控制器来控制二维时空系统，提高可控时空混沌系统的维数;Gao 等［20］在此基础上提出校正反馈巡游(rectificative feedback itinerant)方法，进一步提高巡游控制方法的效率，大幅降低了控制器所需的反馈强度. 但是，校正反馈控制方法需实时跟踪和测量全空间系统变量，不适于某些实际应用情形. 本研究采用二维复金兹堡-朗道方程(complex Ginzburg-Landau equation，CGLE)作为时空混沌模型，提出一种混合巡游方法，增加校正概率作为新的控制参数，既突出了上述两种巡游方法的优点，又增加了巡游反馈方法的适用性.

1 模型与控制方法

设二维CGLE 系统为

其中，ε 是反馈控制强度;δ(x，y)是二元Dirac 函数，仅当x = y = 0 时函数δ(x，y)≠0，且满足全空间积分∬δ(x，y)dxdy = 1;A^是周期目标态，由式(2)确定;xc和yc是反馈控制器所处的空间位置.在随机反馈巡游方法中，xc和yc每隔时间τ 在系统空间内重新随机选取1 次;在校正反馈巡游方法中，xc和yc每隔时间τ 选取1 次，使它们位于该时刻系统状态与目标态差别最大的位置. 这里，τ 为巡游时间. 随机巡游反馈方法能有效利用低维信号控制高维时空混沌系统，但因随机选择控制位置，所需控制强度较大，所以控制效率不高;而校正巡游反馈方法虽降低了所需的控制强度，但要及时跟踪和测量全空间系统变量，并据此判断得到系统与目标态差别最大的位置坐标，所以不适于某些情形. 本研究提出新的时空混沌控制方案，在式(3)中，每个巡游时间τ 以概率q 选择校正巡游反馈方法，用概率1 - q 选择随机巡游反馈方法来控制系统. 通过引入新的控制参数q，在不同场合最大限度地发挥随机巡游和校正巡游反馈方法的优势，增加控制方法的灵活性. 这种时空混沌控制方法被称为混合巡游方法(hybrid itinerant method).

2 数值模拟

通过数值仿真实验可验证混合巡游方法的有效性，并讨论校正概率在混沌控制过程中的作用. 控制方程(3)中设定参数c1= 2.1、c2= -1.5，则系统处于缺陷湍流态. 系统尺寸为L = 32，目标态在式(2)中取mx= 1、my= 2. 为定量刻画系统与周期目标态之间的差值，引式(4)的P 函数来判断两者之间的同步程度.

由式(4)可知，当系统未与目标态同步时，P 函数的值较大，而当系统与目标态达到完全同步时，P 函数的值接近零，则可用P 函数的值作为标准来判断系统变量与目标态的同步.

首先讨论随机巡游反馈和校正巡游反馈方法控制时空混沌的特点. 图1 (a)和图1 (b)分别为系统在两种巡游方法控制下的时空图，混沌系统均可被完全控制到周期目标态. 图1 (c)和图1 (d)中分别画出它们对应的P 函数随时间的变化情况. 由图1可见，加入控制后，P 函数迅速降至接近零的程度，时空混沌在短时内被控制到周期态.

图1 控制器在t=20 时刻加入系统时，两种巡游反馈方法控制时空混沌系统的实验结果Fig.1 Experimental results of spatiotemporal chaos controlled by two itinerant feedback methods after introducing the controller to the system at t=20

在相同反馈强度ε 和巡游时间τ 条件下，随机巡游反馈和校正巡游反馈方法的可控性不同. 在图2 中，选取ε = 400 及τ = 0.002，并对系统变量的时空图进行观察. 从图2 (a)可见，此时系统未被控制到周期态，加入随机巡游控制器后系统依然处于混沌态，而在相同的控制参数条件下，校正反馈巡游方法能把时空混沌引导至目标周期态，如图2(b). 若以P ＜0.1 作为可控条件，进一步扫描控制参数空间，在ε-τ 平面内搜索可控区域，则可发现校正巡游方法的可控区间比随机巡游方法的可控区间大许多，如图2 (c)和图2 (d). 采用混合巡游反馈方法并引入校正概率q，可通过调整q 达到最优控制效果. 在某些时空混沌系统中，系统变量随时间的变化速度较快，此时对系统变量的实时跟踪和测量变得较困难，每个巡游时间都要考察变量与目标态的差值，且确定控制器坐标的成本较高，直接采用校正巡游反馈方法控制混沌并不容易;而在另外一些时空混沌系统中，系统变量随时间的变化速度较慢，可对系统变量和目标态进行充分地测量和比较，此时可通过提高q 值来发挥校正巡游反馈方法的优势. 校正概率q 的引入，并非将随机巡游和校正巡游两种方法简单组合，而是要考虑引入不同系统中变量随时间的变化情况不同，提出一种新的局域反馈控制方法，通过调整q 值来获得最优化的巡游反馈控制结果.

图2 ε=400，τ=0.002 时，两种巡游反馈方法的控制结果Fig.2 Results of spatiotemporal chaos controlled by two itinerant feedback methods for ε=400 and τ=0.002

采用混合巡游反馈的方法给时空混沌系统注入周期信号，来观察系统变量随时间的变化情况. 在q = 0.5、ε = 350 及τ = 0.002 的条件下，系统被成功地控制到目标态，如图3(a). 采用随机巡游反馈方法，在相同ε 和τ 值下控制时空混沌则是无效的.

图3 q=0.5，ε=350，τ=0.002 时，混合巡游反馈方法控制结果Fig.3 Results of the spatiotemporal chaos controlled by hybriditinerant feedback method for q=0.5，ε=350，and τ=0.002

在混合巡游方法中，q 是重要的控制参数，以下将讨论它对控制结果的影响. 图4 显示了P 函数随控制参数的变化情况. 当选取较小的校正概率如q = 0.2 时，系统变量与目标态要达到完全同步，需巡游时间少且反馈强度大，如图4 (a)和图4(b). 这说明校正概率较小的条件下，较快的巡游操作和较强的反馈控制更有利于实现混沌控制. 当选取较大的校正概率如q = 0.7 时，较慢的巡游操作和较弱的反馈控制也能达到相同的控制效果，如图4 (c)和图4 (d). 由图4 可知，利用巡游方法实现时空混沌控制，存在临界最大巡游时间τmax和临界最小反馈强度εmin这两个关键值. 当其他控制参数固定时，满足τ ＜τmax或ε ＞εmin才能实现系统状态与目标态之间的完全同步.

图4 P 函数随控制参数的变化Fig.4 The dependence of P on controlling parameters

分析校正概率q 与临界最大巡游时间τmax和临界最小反馈强度εmin之间的关系，结果如图5. 由混合巡游方法的定义可知，当q = 0 时该方法对应于随机巡游反馈方法，而当q = 1 时该方法即校正巡游反馈方法. 在实现有效控制时空混沌的前提下，随机巡游反馈方法所需的反馈强度较大. 从图5 (a)可见，εmin随q 的增大呈下降趋势. 当其余控制参数不变时，成功控制时空混沌所需的巡游时间越大越好，这样就可在相同的系统演化时间内减少控制器进行巡游操作的次数，降低控制成本. 为此，我们进一步分析实现有效控制时空混沌所需的τmax值. 由图5 (b)可见，τmax随q 的增大呈上升趋势.

图5 校正概率对εmin和τmax的影响Fig.5 The dependence of εmin and τmax on q

结 语

本研究以二维CGLE 为模型，根据时空系统的不同特点提出一种混合巡游控制时空混沌的方法，引入校正概率q 并将其作为新的控制参数. 数值模拟验证了该方法的有效性，同时分析了校正概率与反馈强度和巡游时间之间的关系. 在某些时空混沌系统中系统变量随时间的变化速度比较快，对系统变量的即时跟踪和测量往往比较困难，直接采用校正巡游反馈方法控制混沌的成本比较高;而在系统变量随时间的变化速度比较慢的场合，对系统变量和目标态进行测量和比较的成本较低，则可提高校正概率来发挥校正巡游反馈方法的优势. 通过调整校正概率q，针对不同的时空系统进行控制器的巡游操作也有不同的要求. 混合巡游方法考虑不同系统中变量随时间的变化特点，可更灵活地面向时空混沌的实际应用.

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