朱 岩，宋卫东

(安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖241000)

设CQn+p是具有Kaehler度量的复n+p(n≥2)维Riemann复流形，若其曲率张量取为如下形式:

则称CQn+p为拟复射影空间［1］.其中:g为CQn+p上的Riemann度量;J为CQn+p的复结构;a，b是CQn+p上的光滑函数;{λA}是CQn+p上的单位向量函数.

设Mn是CQn+p的实n维子流形，如果Mn上每点的切空间被CQn+p的复结构J映射到该点的Mn法空间中，则称Mn是全实子流形［2］;若Mn的平均曲率向量恒消失，则Mn称为全实极小子流形.文献［3-5］研究了复射影空间中的全实极小子流形，得到一些相关结果.本文讨论拟复射影空间CQn+p中的全实极小子流形，主要结果如下:

定理1 设Mn是拟复射影空间CQn+p中的紧致全实极小子流形，则

其中S为Mn的第二基本形式模长平方.

注1 当a=c/4，b=0时，拟复射影空间CQn+p即为具有全纯截面曲率为c的复射影空间CPn+p.

注2 当p=0时，推论1中的Pinching常数优于文献［1］的结果.

1 预备知识

本文对各类指标取值范围约定如下:A，B，C，…=1，…，n+p，1*，…，(n+p)*;i，j，k，…=1，…，n;α，β，γ，…=n+1，…，n+p，1*，…，(n+p)*;λ，μ，…=n+1，…，n+p.

设Mn是CQn+p中的实n维全实子流形，J为CQn+p的复结构.在CQn+p上选取局部规范正交标架场:

使得限制于Mn，{e1，…，en}与Mn相切.以{ωA}表示{eA}的对偶标架场，则CQn+p的结构方程为:

其中:

这里(JAB)为复结构，视为线性变换J关于{eA}的变换矩阵，即

其中In+p为n+p阶单位矩阵.

将上述形式限制在Mn上，则有［6］:

其中Rijkl，Rαβij分别是Mn的Reimann曲率张量场和法曲率张量场关于{eA}的分量.进一步，Mn的平均曲率向量场ξ、平均曲率H和第二基本形式模长平方S可表示为

此外，由文献［7］有:

引理1 设Mn是CQn+p中全实子流形，则有:

2 定理1的证明

首先计算 Mn第二基本形式分量 hij的 Laplacian.的 Laplacian定义为则由式(14)，(15)可得

其中:

下面估计 A，先定义［8］

ω的散度

由式(14)，(19)，有

由式(4)及n≥2，有

利用式(4)，得

再利用式(4)得

从而式(27)，(28)可统一表示为

由引理1，得

综合式(21)，(23)，(29)，(30)，有

又由Mn的紧致性，对式(30)两边积分，得

［1］XU Mao，SONG Wei-dong.Totally Real Minimal Submanifolds in Quasi-constant Holomorphic Sectional Curvature Space［J］.Journal of Jilin University:Science Edition，2011，49(2):169-172.(徐茂，宋卫东.拟常全纯截面曲率空间中的全实极小子流形［J］.吉林大学学报:理学版，2011，49(2):169-172.)

［2］CHEN Bang-yen，Ogiue K.On Totally Real Submanifolds［J］.Trans American Mathematical Society，1974，193:257-266.

［3］SHEN Yi-bing.Totally Real Minimal Submanifolds in a Complex Projective Space［J］.Advances in Mathematics，1984，13(1):65-70.(沈一兵.复n维射影空间的全实n维极小子流形［J］.数学进展，1984，13(1):65-70.)

［4］WANG Hong.Pinching Theorems of Minimal Submanifolds in a Comples Projective Space［J］.Chin Ann Math:Ser A，1991，12(3):325-331.(王红.复射影空间中极小子流形的几个整体Pinching定理［J］.数学年刊:A辑，1991，12(3):325-331.)

［5］BAI Zheng-guo.Minimal Submanifolds in a Riemannian Manifold of Quasi Constant Curvature［J］.Chin Ann of Math:Ser B，1988，9(1):32-37.

［6］ZHANG Liang，SONG Wei-dong.Totally Real Pseudo-umbilical Submanifolds with Flat Normal Bundle of Complex Projective Space［J］.Acta Mathematica Scientia，2007，27A(4):688-695.(张量，宋卫东.复射影空间中法丛平坦的全实伪脐子流形［J］.数学物理学报，2007，27A(4):688-695.)

［7］纪永强.子流形几何［M］.北京:科学出版社，2004.

［8］ZHU Ye-cheng，SONG Wei-dong.2-Harmonic Submanifolds in a Complex Space Form ［J］.Journal of Mathematical Research＆ Exposition，2008，28(3):727-732.