韩东颖，李 庚，时培明

(1.燕山大学 车辆与能源学院，秦皇岛 066004;2.燕山大学 河北省测试计量技术及仪器重点实验室，秦皇岛 066004)

旋转机械转子系统中转轴裂纹、动静碰摩和支撑部件松动为常见故障，是导致机械系统失效甚至造成严重事故的主要原因。目前国内外学者［1－3］对裂纹、碰摩、松动故障单独存在的系统研究较多，提出了许多有效的诊断方法。

但在实际转子中，常常出现两种甚至三种故障同时存在的情况。这种耦合故障转子的动力学行为较单一故障转子更加复杂，而且相互影响，不容易诊断。文献［4］采用有限元方法分析了裂纹碰摩耦合故障转子系统的响应，在严重碰摩故障信号中诊断出了裂纹故障。文献［5］建立了带有裂纹－支承松动耦合故障的双跨弹性转子系统动力学模型，利用数值仿真对故障非线性响应进行研究。文献［6］通过分岔图、Poincaré映射图和幅值谱图，分析了碰摩－松动故障机组轴系随转频比和转子质量偏心变化的非线性动态响应。

EMD是近年来发展起来的处理非平稳、非线性信号的时频分析方法［7］。该方法克服了传统时频分析方法中的不足，具有很强的自适应性，并在机械故障诊断领域得到了广泛应用［8－10］。分形的本意为不规则的、分数的、支离破碎的物体，可以理解为局部和整体在某个方面有相似性［11］。分形维数是度量分形的重要指标，有许多种分形维数可用来刻画信号的复杂度［12］，如Hausdorff维、盒子维、容量维、信息维、关联维数等，其中盒维数由于其计算简单、高效而应用最为广泛［13－15］。

针对耦合故障信号复杂，具有强非线性的特点，本文提出一种基于EMD和分形盒维数的耦合故障诊断方法。该方法先利用EMD将故障信号分解，然后对有效IMF进行盒维数计算，得到耦合故障信号的故障特征向量，判断故障状态，达到故障诊断的目的。

1 系统动力学模型和运动微分方程

如图1所示，建立含有裂纹－碰摩－松动耦合故障的刚性支承转子－轴承系统模型，转子圆盘与轴承之间为无质量的弹性轴。模型左端发生松动，轴承座与基础之间的松动最大间隙为ξ1。转子圆盘左侧有一弓形横向裂纹，其深度为a，并且圆盘受到碰摩故障影响，其碰摩函数为P。图中O1为轴瓦几何中心，O2为转子几何中心，O3为转子质心，kc为定子刚度，k为弹性轴刚度，m1为两端轴承处的转子集中质量，m2为转子圆盘的等效集中质量，m3为轴承支座的等效集中质量。模型还考虑了左端滑动轴承作用在转轴上的非线性油膜力，为别为 Fx、Fy。

图1 含裂纹碰摩松动故障的转子－轴承系统模型Fig.1 Rotor-bearing system consider in crack rub-impact and pedestal looseness

设转子右端的径向位移为x1，y1;转子圆盘的径向位移为x2，y2;松动端轴心位移为x3，y3;轴承支座在竖直方向位移为y4，则具有裂纹碰摩松动耦合故障的转子－轴承系统运动微分方程为:

图2 裂纹截面模型Fig.2 Crack section model

式中:u为转子的偏心量，c1为转子在轴承处的阻尼系数，c2为转子圆盘的阻尼系数，cs为支座松动阻尼系数，ks为支承刚度。ω为转子转速，g为重力加速度，ε、δ为仅与裂纹深度a有关的相对刚度参数，由式(3)、(4)所得。如图2所示，F(Ψ)为裂纹开闭函数，本文采用余弦波模型来表示裂纹开闭过程，粗略地考虑裂纹半开半闭的过渡过程，忽略了裂纹的全闭和全开是一个持续过程。

余弦波模型的数学表达式为:

式中:φ0为初相位，β为裂纹方向与偏心之间的夹角，x，y为转子初始位置。

式(1)中的转定子碰摩函数P为:

式中:Pn为法向碰摩力，Pτ为切向摩擦力，ξ为静止时转子与定子之间的间隙，e为转子轴心位移，由图 3所示，当位移e大于等于间隙 ξ时系统发生碰摩。

碰撞发生时(e≥ξ)，其正向碰摩力与切向摩擦力分解在x－y坐标系可以表示为:

图3 碰摩力模型Fig.3 Rub － impact model

式中:kc为定子径向刚度，f为不考虑速度影响时的摩擦系数，b为速度影响系数为转子静件间的相对滑动速度为转子的径向位移，其中x和y分别对应式(1)中的x2和y2。

松动故障等效成刚度和阻尼的变化，支承间隙系统在位移条件下ks、cs为分段性，其表达式为:

式(1)中油膜力沿x和y两个方向的分量为:

式中:μ为润滑油粘度，c为轴承径向间隙，R为轴承半径，L为轴承长度。

2 经验模式分解

经验模式分解EMD是一种自适应分解方法，可以把复杂的信号分解为有限个IMF分量。IMF信号一般满足两个条件:① 从全局特性上看，极值点数必须和过零点数一致或者至多相差一个;② 在某个局部点，极大值包络和极小值包络在该点的算术平均值是零，即两条包络线关于时间轴对称。

可以把任何信号x(t)按下面步骤分解:

(1)用三次样条线将所有的局部极大值点连接起来形成上包络线。

(2)用三次样条线将所有的局部极小值点连接起来形成下包络线。

(3)上下包络线的平均值记为m1，求出:

理想情况，如果h1是一个IMF，则h1就是x(t)的第一分量。

(4)如果h1不满足IMF的条件，把h1作为原始据，重复(1)、(2)、(3)，得到上下包络线的平均值m1再判断h11=h1－m11是否满足IMF的条件，如不满足，重复循环 k次，得到 h1k=h1(k－1)－m1k，使得 h1k满足IMF条件。记c1=h1k，则c1为信号x(t)的第一个满足IMF条件的分量。

(5)将c1从x(t)中分离出来，得到:

将r1作为原始数据重复以上过程，得到x(t)的第二个满足IMF条件的分量c2，重复循环n次，得到n个满足IMF条件的分量。这样就有:

当rn成为一个单调函数不能再从中提取满足IMF条件的分量时，循环结束。这样由式(10)和(11)得到:

3 分形盒维数及其计算

3.1 分形盒维数

设X是Rn的非空有界子集，记N表示最大直径为ε且能覆盖X集合的最少个数，则X的盒维数定义为:

3.2 盒维数计算方法

设离散信号y(i)⊂Y，Y是n维欧氏空间Rn上的闭集。用尽可能细的ε网格划分Rn，Nε是集合Y的网格计数。由于式(13)中的极限无法按定义求出，所以在计算时需要采用近似的方法。以ε网格作为基准，逐步放大到kε网络，其中 k∈Z+。这样，令 Nkε为离散空间上的集合Y的网格计数，则由式(14)和式(15)可以计算得到。

式中:j=1，2，…，N/k;N 为采样点数。k=1，2，…，M，M＜N。

网络计数Nkε为:

式中:Nkε＞1。

在lgkε－lgNkε图中确定线性较好的一段为无标度区，设无标度区的起点和终点分别为k1、k2，则:

最后，用最小二乘法确定该直线的斜率:

盒维数dB为:

4 数值仿真和故障诊断

由方程(1)可以看出，含有裂纹碰摩松动耦合故障的转子系统是一个有复杂外激励的非线性系统。目前分析这种系统最有效的方法就是数值仿真，本文采用变步长四阶龙格－库塔法对方程(1)进行数值求解，系统参数选取如下:m1=4 kg，m2=32.5 kg，m3=50 kg，R=0.025 m，L=0.012 m，c=0.11 mm，a=0.015 m，μ=0.018 Pa·s，c1=1 050 N·s/m，c2=2 100 N·s/m，cs1=350 N·s/m，cs2=500 N·s/m ，f=0.1，b=0.01，k=2.5 ×107N/m，u=0.05 mm，kc=4.5 ×107N/m，ks1=2.5 ×107N/m，ks2=2.5 ×109N/m，ω =789.3 rad/s，ξ=0.5 mm，ξ1=1 mm，φ0=0，β =0。

考虑到三种耦合故障模型结构特点，转子左端的Y方向位移最能体现耦合故障特性。图4为数值解得到的转子左端径向位移y3的时域图。由图4可以看出由于机械故障的影响，y3的振动有很强的非线性。

图4 y3时域图Fig.4 Time domain chart of y3

EMD方法用于处理非线性、非平稳信号有良好的效果。如图5所示，把由龙格－库塔法解出的y3振动信号经过EMD方法分解，得到含有故障特征的IMF。由于EMD方法本身原因产生虚假模态，故只给出IMF1～IMF4。

图5 y3的EMD处理结果Fig.5 Empirical mode decomposition(EMD)results of y3

由分解得到的IMF可以看出信号每隔一段时间就会有频率和幅值上的明显变化，且这种变化具有周期性。根据已知的单一故障特征可以判断这是由于松动或者碰摩故障引起的。要对故障进一步诊断，传统方法是对每个IMF进行希尔伯特变换，求出边界谱，通过边界谱的倍频关系进行故障诊断。

图6是转子左端的Y方向位移y3的边界谱图。由图可以看出振动主要是由1/2倍频组成的，其次是1倍频，2倍频等高频成分则不是主要振动频率。为了更好地进行故障诊断，需要把裂纹、松动、碰摩两两耦合情况下振动信号的边界谱与三种故障同时存在的情况作比较。

把三种耦合故障模型进行简化并分析，可以得到两种耦合故障的边界谱(如图7～9)，由于篇幅有限不做详细说明。图7为碰摩松动故障信号的边界谱，由图可知信号振动主要由1/2倍频构成，和三种耦合故障情况相似，但1倍频成分不如图6明显，说明1/2倍频振动主要是由于碰摩或松动引起的。图8为裂纹松动故障信号的边界谱。通过与图6对比可以明显看出裂纹松动故障信号不仅含有1/2倍频、1倍频成分，也含有3/2倍频、2倍频等高频成分，由此可以诊断出裂纹故障是引起高频振动的主要原因。图9为裂纹碰摩故障信号的边界谱，从图中可以清晰地看出振动信号同时具有高频和低频振动。通过上面的分析可知高频是有裂纹故障引起的，低频是有碰摩故障引起的。

通过对四幅边界谱图的分析，可以得出裂纹松动碰摩三种故障同时存在时与其两两存在时故障特征的区别。但由于图像抽象、频率繁杂，不能直观的把这四种情况区分开，所以本文在EMD处理的基础上结合分形盒维数的方法，求出每种情况下IMF1～IMF4的盒维数，准确、清楚地反映出四种耦合故障特征。

图6 y3边界谱Fig.6 Boundary spectrum of y3

图7 碰摩松动故障信号的边界谱Fig.7 Boundary spectrum ofrub-impact and pedestal looseness signal

图8 裂纹松动故障信号的边界谱Fig.8 Boundary spectrum of crack and pedestal looseness signal

图9 裂纹碰摩故障信号的边界谱Fig.9 Boundary spectrum of crack and rub－impact signal

由表1可知，EMD处理后的故障信号分形盒维数有明显的差异，其中IMF1到IMF4的盒维数相差最大的为裂纹碰摩故障，最小的为裂纹松动故障。三种故障耦合的信号盒维数值与碰摩松动故障和裂纹碰摩故障差异较大，虽与裂纹松动故障差异相对较小，但也能够清晰分辨，所以分形盒维数可以作为故障的特征向量，对耦合故障进行诊断。

表1 四种故障信号经EMD处理后的盒维数Tab.1 Processed box dimension by EMD of four kinds of fault signal

5 结论

(1)提出一种基于EMD和分形盒维数的旋转机械耦合故障诊断方法。该方法先用EMD对故障信号进行分解，得到IMF，再根据分形计算方法求出IMF的盒维数，通过对盒维数的分析比较进行故障诊断。

(2)建立含有裂纹－碰摩－松动故障耦合的转子－轴承系统动力学模型。在考虑单个故障特性的基础上得出模型运动微分方程，并用龙格－库塔法解出含有耦合故障特征的振动信号。

(3)把新方法应用到所建故障模型的诊断中，得到裂纹、碰摩、松动三种故障耦合故障特征向量。通过与传统诊断方法比较，证明该方法能够有效、准确地对耦合故障进行诊断。

［1］Hu N Q，Wen X S.The application of Duffing oscillator in characteristic signal detection of early fault［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，268:917 －931.

［2］Sekhar A S，Mohanty A R，Prabhakar R.Vibrations of cracked rotor system:transverse crack versus slant crack［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，279:1203－1217.

［3］马 辉，孙 伟，任朝晖，等.多盘悬臂转子系统支座松动故障研究［J］.航空动力学报，2009，24(7):1512－1517.MA Hui，SUN Wei， REN Zhao-hui et al. Research on pedestal looseness fault of multi-disc over-hung rotor system［J］.Journal of Aerospace Power，2009，24(7):1512－1517.

［4］姚红良，李 鹤，李小彭，等.裂纹碰摩耦合故障转子系统诊断分析［J］.振动工程学报，2006，19(3):307－212.YAO Hong-liang，LI He，LI Xiao-peng et al.Diagnoses of coupling fault of crack and rub-impact in rotor systems［J］.Journal of Vibration Engineering.2006，19(3):307 －212.

［5］罗跃纲，闻邦椿.双跨转子系统裂纹－松动耦合故障的非线性响应［J］.航空动力学报，2007，22(6):996－1001.LUO Yue-gang，WEN Bang-chun.Nonlinear responses of two-span rotor-bearing system with coupling faults of crack and pedestal looseness［J］.Journal of Aerospace Power，2007，22(6):996－1001.

［6］黄志伟，周建中，张孝远，等.水轮发电机组轴系松动－碰摩耦合故障的动态响应［J］.西南交通大学学报，2011，46(1):121－126.HUANG Zhi-wei，ZHOU Jian-zhong，ZHANG Xiao-yuan，et al.Dynamic responses of shaft system of hydraulic generator set with coupling faults of bearing looseness and rotor rubimpact［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2011，46(1):121－126.

［7］Huang N E，Shen Z，Long S R，et al.The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis［J］.Proceedings of the Royal Society London A，1998，454(1971):903－995.

［8］Yang Y，He Y G，Chen J S，et al.A gear fault diagnosis using Hilbert spectrum based on MODWPT and a comparison with EMD approach［J］.Measurement，2009，42:542－511.

［9］唐宏宾，吴运新，滑广军，等.基于EMD包络谱分析的液压泵故障诊断方法［J］.振动与冲击，2012，31(9):44－48.TANG Hong-bin，WU Yun-xin，HUA Guang-jun，et al.Fault diagnosis of pump using EMD and envelope spectrum analysis［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(9):44－48.

［10］邵忍平，曹精明，李永龙.基于EMD小波阈值去噪和时频分析的齿轮故障模式识别与诊断［J］，振动与冲击，2012，31(8):96 －101，106.SHAO Ren-ping，CAO Jing-ming，LI Yong-long.Gear fault pattern identification and diagnosis using time-requency analysis and wavelet threshold de-noising based on EMD［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(8):96 －101，106.

［11］Mandelbrot B B.The Fractal Geometry of Nature［M］.San Francisco:Freeman，1982.

［12］陈 奇，赵 韩，黄 康.齿轮结合面切向接触刚度分形计算模型研究［J］.农业机械学报，2011，42(2):203－206.CHEN Qi，ZHAO Han，HUANG Kang.Fractal model of tangential contact stiffness between Gears’s Joint Surfaces［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2011，42(2):203－206.

［13］钟明寿，龙 源，谢全民，等.基于分形盒维数和多重分形的爆破地震波信号分析［J］.振动与冲击，2010，29(1):7－11.ZHONG Ming-shou，LONG Yuan，XIE Quan-min，et al.Signal analysis for blasting seismic wave based on fractal boxdimension and fractal［J］.Journal of Vibration and Shock，2010，29(1):7－11.

［14］郝 研，王太勇，万 剑，等.分形盒维数抗噪研究及其在故障诊断中的应用［J］.仪器仪表学报，2011，32(3):540－545.HAO Yan，WANG Tai-yong，WAN Jian，et al.Research on fractalbox dimension anti-noise performance and its application in faultdiagnosis［J］. Chinese Journalof Scientific Instrument，2011，32(3):540 －545.

［15］赵春晖，马 爽，杨伟超.基于分形盒维数的频谱感知技术研究［J］.电子与信息学报，2011，33(2):475－478.ZHAO Chun-hui，MA Shuang，YANG Wei-chao.Spectrum sensing in cognitive radios based on fractal box dimension［J］.Journal of Electronics＆ Information Technology，2011，33(2):475－478.