陈静云 孙依人 刘佳音 徐辉

(大连理工大学交通运输学院，大连 116024)

沥青混合料是一种典型的黏弹性材料，其泊松比是一个与加载时间(或频率)相关的函数，而非弹性材料通常采用的常数0.35［1］.若要客观反映沥青路面的实际行为特性，应采用黏弹性泊松比对其进行分析.伴随着计算机计算能力的提高，以有限元法为基础的力学研究方法为沥青路面的黏弹性分析提供了有效途径.然而，大多数通用有限元程序(如ABAQUS，ANSYS等)仅提供了瞬态泊松比的常数参数输入，并未提供黏弹性泊松比随时间(或频率)变化的参数输入.黏弹性泊松比随时间变化的规律需要通过输入体积松弛模量K(t)和剪切松弛模量G(t)的Prony级数来体现.由于体积松弛模量K(t)随时间变化很小且难以测量，故通常对其进行适当的近似处理，并相应衍生出3种常见的黏弹性泊松比近似方法.目前，关于这3种近似方法各自的特点、相互关系、适用条件以及对沥青路面动态响应模拟的可靠性的研究较少.为此，本文推导了这3种黏弹性泊松比的数值关系，进而建立了一种三维沥青路面黏弹性有限元模型，比较分析了在不同温度(10，25，50℃)、不同加载时间(0.1，0.01，0.001 s)下，3 种黏弹性泊松比近似方法对沥青路面横向正应力响应的影响.

1 本构关系

沥青混合料是典型的黏弹性热流变简单材料.根据Boltzmann线性叠加原理，可以得到沥青混合料的积分型本构关系为［2］

式中，τ为积分变量；E(t)为松弛模量；σ为应力；ε为应变；tr为参考温度为T0时的缩减时间，其与物理时间t的关系为

式中，αT为时间-温度移位因子.松弛模量E(t)通常可由Prony级数表示，即［3］

式中，Eg为玻璃态(瞬态)模量；Ei为松弛强度；ρi为松弛时间；Ee为平衡模量.

黏弹性泊松比也可表示为相似的形式［3］，即

式中，μg为玻璃态(瞬态)泊松比；μi为与 θi对应的横向收缩比；θi为推迟时间；μe为平衡泊松比.

对各黏弹性材料函数进行Carson变换，将其从时间域变换到复数域，变换前后函数的对应关系为

式中，s为变换参数；G(t)为剪切松弛模量；K(t)为体积松弛模量；~E(s)，~μ(s)，~G(s)，~K(s)分别为E(t)，μ(t)，G(t)，K(t)经 Carson 变换后的函数形式.

由弹性-黏弹性对应原理可知，在复数平面内各材料函数间存在与弹性材料类似的关系，即

利用移位因子αT，可以将温度T和加载角频率ω合并成一个在参考温度下的缩减角频率ωr=ωαT.通过 Carson 变换和变量替换 s→ωri，可将松弛模量E(t)转换成频域下的复数模量E*(ωr).在高温、低频加载条件和低温、高频加载条件下，ωr分别趋于0和∞，复数模量E*(ωr)相应达到接近平衡模量Ee和瞬态模量Eg的状态，均称为准弹性状态.

2 3种黏弹性泊松比近似方法

体积松弛模量K(t)随时间变化很小且难以测量，故通常对其进行适当的近似处理，并相应衍生出如下3种黏弹性泊松比近似方法:

1)将体积松弛模量K(t)近似为弹性常数Kc时，式(6)经逆变换可得

此时，泊松比可以表示为随时间变化的泊松比μ(t)［4-6］.

2)将沥青混合料视为不可压缩材料时，K(t)趋于无穷大，式(6)经逆变换可得

此时，泊松比可以表示为不可压缩泊松比μ(t)=0.5［7］.

3)假设体积松弛模量K(t)、剪切松弛模量G(t)和松弛模量E(t)均具有相同的松弛时间分布，由式(6)可知，这3个材料函数之间仍存在弹性状态下的数值关系，即

此时，泊松比即为常数泊松比 μ(t)= μc［8-9］.

沥青混合料黏弹性泊松比随温度或加载频率变化，其范围约为 0.1 ～0.5［10-11］.本文令瞬态泊松比μg=0.1，平衡泊松比μe=0.5.由式(7)～(9)可知，本质上方法2)是假设泊松比始终为平衡泊松比μe，方法3)是假设泊松比始终为瞬态泊松比μg，而方法1则是介于上述两者之间的状态，即泊松比为0.1～0.5之间随时间(或频率)变化的函数.

3 有限元模型

为比较不同黏弹性泊松比近似方法对沥青路面动态响应的影响，利用ANSYS程序建立了沥青路面三维黏弹性有限元模型(见图1).路面结构由沥青面层、基层和路基组成.沥青上面层材料型号为SMA13，厚度为0.04 m；中面层材料为改性沥青Superpave20，厚度为0.06 m；下面层材料为普通沥青Superpave25，厚度为0.08 m.沥青面层的3种材料松弛模量E(t)的Prony级数参数详见文献［12］；时间-温度移位因子的试验过程及结果详见文献［13］.基层材料为级配碎石，厚度为0.4 m，弹性模量为250 MPa，阻尼比为0.05；路基的弹性模量为60 MPa，阻尼比为0.05.路面几何尺寸为6 m×6 m×6 m，采用双轮均布荷载，将加载区域简化为2个正方形(尺寸为20 cm×20 cm)，双轮中心距为30 cm.模型与荷载均具有对称性，故采用1/4模型.施加对称边界条件，并假设模型底面无z方向位移，行车方向前后面无y方向位移，左右面无x方向位移.采用SOLID185单元对几何模型进行网格划分.采用半正弦荷载模拟动态轮载，即［7］

式中，q=0.7 MPa为荷载幅值；d为加载时间，此处 d=0.1，0.01，0.001 s.

图1 路面模型示意图

4 横向正应力响应分析

在竖向车轮荷载作用下泊松比效应对路面的横向响应影响最为显著，故本文对应用不同黏弹性泊松比近似方法获得的横向正应力响应进行比较分析.首先，确定计算点.在温度为25℃、加载时间为0.01 s的条件下，荷载达到峰值时距轮隙中心不同距离、不同深度处横向正应力σx的分布情况见图2.由图可见，在距离轮隙中心5～25 cm的位置(即单侧轮载)处，横向正应力的绝对值随着路面深度的增加逐渐减小，最终从压应力变为拉应力，而在轮隙中心除0.02 m深处横向正应力绝对值低于单侧轮底压应力外，其他深度处横向正应力绝对值均达到最大值，即轮隙中心处为最能体现泊松比对横向正应力影响的位置.通过对轮隙中心处不同深度横向正应力的比较发现，最大压应力出现在改性沥青SMA13层和改性沥青Superpave20层的结合处，因此选择轮隙中心改性沥青SMA13层和改性沥青Superpave20层的结合处作为计算点.

图2 荷载达到峰值时不同深度的横向正应力分布

图3 d=0.01 s时横向正应力的时程曲线

图3给出了d=0.01 s时不同温度(10，25，50℃)下横向正应力σx的时程曲线.由图3(b)可知，温度为25℃时采用不同黏弹性泊松比近似方法计算出的横向正应力有很大差别.由方法2计算得到的最大横向正应力(0.412 MPa)为方法3计算结果(0.223 MPa)的1.81倍，而方法1得到的横向正应力曲线处于上述2条曲线之间.由图3(c)可知，在高温(50℃)条件下，基于方法2和方法3的曲线差别更大，而基于方法1和方法2的曲线几乎重合.另一方面，由图3(a)可知，10℃时基于方法1的曲线更为接近基于方法3的曲线；由3种泊松比之间的数值关系可以推测，若温度继续降低，这2条曲线也将变得更加接近甚至重合.这种现象可以用时间-温度等效原理来解释，即高温条件等效于低频加载条件，而低温条件等效于高频加载条件.高温时沥青混合料更容易产生应力松弛现象，从而导致泊松比从0.1迅速变化到接近0.5的状态，因此50℃时基于方法1与方法2的曲线十分接近.相反地，在低温条件下，由于沥青混合料松弛时间延长，沥青面层处于准弹性状态，其泊松比接近于瞬态泊松比0.1，故基于方法1的曲线更靠近基于方法3的曲线.

考虑到黏弹性材料除具有温度依赖性外，还具有时间(或频率)依赖性，故对相同温度、不同加载时间(不同车速)下的横向正应力进行了比较分析.图4给出T=25℃，d=0.001，0.1 s时横向正应力的时程曲线.与图3(b)相比，d=0.001 s时，基于方法1的曲线更接近基于方法3的曲线；而d=0.1 s时，基于方法1的曲线几乎与基于方法2的曲线重合.由3种泊松比之间的数值关系可以推测，若加载时间足够短(频率足够高)，基于方法1的曲线将十分接近基于方法3的曲线，甚至与之重合.这仍然可由时间-温度等效原理解释.由图3和图4可知，当温度增加时，基于方法2和方法3的曲线差异增大，但当加载时间增加时这2条曲线间的差异逐渐缩小.这是因为除了黏弹性泊松比，沥青层的弯曲刚度也对曲线变化趋势造成了一定的影响，而沥青路面的横向正应力是各黏弹性材料函数共同作用产生的综合响应.

图4 T=25℃时横向正应力的时程曲线

黏弹性泊松比作为反映沥青混合料横向变形的重要物理参数，与流动性车辙的产生存在密切关系［14］.沥青路面横向正应力造成的侧向推移是流动性车辙产生的主要原因之一.通过上述分析可以发现，黏弹性泊松比对沥青路面在竖向荷载作用下产生的侧向推移有直接影响.因此，依据道路材料工作温度区域和荷载频率的不同，采用正确的黏弹性泊松比近似方法，对于模拟横向流动性车辙及进一步研究其产生机理有重要意义.

5 结论

1)高温、低频加载条件下，采用随时间变化泊松比方法得到的横向正应力与采用不可压缩泊松比方法得到的结果接近；低温、高频加载条件下，采用随时间变化泊松比方法得到的横向正应力与采用常数泊松比方法得到的结果接近.这种规律符合热流变简单材料的时间-温度等效原理.

2)不同黏弹性泊松比近似方法对横向正应力计算结果影响显著.不可压缩泊松比始终保持为0.5，适用于高温、低频加载条件；常数泊松比始终保持为初始瞬态泊松比0.1，适用于低温、高频加载条件；随时间变化泊松比则由温度和加载时间(或频率)决定，其值在0.1～0.5之间变化，应用不受温度与加载模式的限制.

3)沥青路面的侧向推移是流动性车辙产生的主要原因之一，而黏弹性泊松比对沥青路面在竖向荷载作用下产生的侧向推移有直接影响.因此，依据道路材料工作温度区域和荷载频率的不同，采用正确的黏弹性泊松比近似方法对于模拟横向流动性车辙及分析其产生机理有重要意义.

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