于晓默，薛加海，秦爱玲，周文景，叶俊科

（广西大学 机械工程学院，广西 南宁 530004）

0 引言

波纹管广泛应用于日常生活和工业生产过程中，其结构设计是一项复杂的工艺过程，由于需要经受循环载荷作用，既要保证部件具备一定的柔性提供足够的位移补偿来满足工程应用中位移补偿的功能需要；同时需要兼顾强度、疲劳寿命、稳定性、刚度及生产工艺性等性能约束，因此，波纹管的结构设计是典型的带有多约束条件的多目标优化设计问题。

而在以往的生产过程中，由于结构设计周期长,以分析设计为准则的校核式设计往往需要凭借人为经验反复运算，才能得到一个较经济而又安全的设计结果，工作量大,且容易受到人为因素的影响。如何提高设计效率，减少实验设计次数，寻找一种方便可靠高效的设计方案是学术界一直在试图解决的问题。文献中[1]和[2]分别采用有限元软件分析方法和线性加权法，将波纹管结构设计中的多个目标优化问题转化为单目标优化问题，取得了一定的成果。人为定出权重，使得目标影响所占的比重固定，或者将单位重量波纹管的补偿量作为目标函数，都等同于承认了不同目标函数之间存在的线性关系，显然，这样的假设是存在缺陷的。而在实际应用中，对于多目标优化问题，人们更希望得到满足重量（成本）和总体刚度之间的一组最优解，在两者之间做出平衡，然后选择自身最希望得到的结构参数，所以本文引入了多目标粒子群优化算法对其进行优化。

1 多目标优化模型

在实际生产过程中，波距通常由厂家直接给出，故可选取相互独立的结构参数波高（h）、单层波壳名义壁厚（t）、层数（m）、波数（n）为设计变量；以波纹管最小整体刚度和最小质量为优化目标，建立多目标优化设计模型如下：

计算总体刚度的经验公式：

计算U形无加强波纹管质量的经验公式如下：

其中：Eb—设计温度下材料的弹性模量；Cf—波纹管的计算修正系数；t—波纹管成型后一层材料的厚度；Db—波纹管直边段内径；ρ—材料密度；Dm—波形管的平均直径，其中Dm=Db+h+mt。

2 多目标粒子群优化算法

2.1 标准型粒子群优化算法（SPSO）

粒子群优化算法（PSO）[3]是一种群智能进化算法，在标准粒子群优化算法中，将任意粒子抽象为潜在的一个解，并以迭代方式使粒子向自身记忆的最好位置和群体迄今为止找到的最好位置靠近，从而达到优化的目的。而在D维的目标搜索空间中，每个粒子又可以看成是空间内的一个点，每个粒子在第t次迭代时的状态属性由两个向量来决定：位置向量和速度向量：

Pbesti（t）和 Gbest（t）分别为第 t次迭代后得到的粒子个体最优位置和当前的全体最好位置。迭代的更新公式如下：

其中：ω—惯性权重；r1和r2为均匀分布在 [0,1]区间的随机数，c1和c2—加速系数，分别调节粒子飞向自身个体最好位置方向和最好邻居方向的步长。

2.2 改进型多目标粒子群优化算法

与单目标优化问题比较MOP的解是一组非优劣解组成的解集，将PSO改进为MOPSO时应明确的几个问题：采用Pareto支配关系[5]来选择个体极值Pbest；采用外部种群策略[4]来保持解的收敛性和多样性，群体进化中产生的最优解保存到外部档案中；采用pareto占优策略[5]来更新外部存储器中的非优劣解集，保证存储器中的粒子数量不超过上限值。

由于多目标粒子群优化算法全局搜索能力强、控制参数少、算法简单、收敛速度快等特点，在多目标优化领域得到了广泛的应用。

如何提高种群多样性，避免陷入局部最优，是目前对多目标粒子群进化算法进行改进的主要内容。本文为了提高搜索精度，引入主从分群的多子群协同搜索策略[6]，将粒子种群划分为N个相互独立的子种群，分别在D维的目标搜索空间中进行搜索，每个子群体代表求解问题的一个子目标，所有子群体在独立进化的同时，又能利用周期性地信息迁移维持种群多样性，抑制算法早熟现象的发生。改进型多目标粒子群优化算法流程如下：

Step1:初始化粒子群的每个子种群,在决策向量决定的可行解空间初始化群体（xi1,xi2,…,xim）和随机的初始每个粒子的速度 Vi0（vi1,vi2,…,vim）。

Step2:根据目标函数关系计算各子目标的函数值，确定出各子种群进化的全局最优解gbest。

Step3:根据式（3）、（4）更新粒子的位置和速度， 形成新的种群，根据Pareto占优排序机制更新外部存储器。

Step4：重复步骤2、3直至各粒子的迭代步数达到最大步数为止。

Step5:达到规定的最大迭代步数，输出非优劣解集，算法终止。

3 波纹管结构优化设计实例

查找文献[7]和[8]，制定如下U型无加强波纹管设计条件：材料采用316L，设计温度为300℃，设计温度下材料的弹性模量Eb=18.9E4 MPa；压力P=0.4MPa；波距q=41mm；波纹管平均直径Dm=350mm；波纹管直边外径D0=230mm；单波伸缩量e=9mm；修正系数Cf=1.4；疲劳寿命10500周次，采用液压成型，材料密度ρ=7.93g/cm3。约束条件如表1所示。

表1 约束条件Tab.1 Constraints

改进的多目标粒子群优化算法参数设置：种群大小nPop=50，外部存储器的大小为nRep=200， c1=c2=1.5，ω=0.5。根据设计变量的取值范围，初始化100个样本点，设置迭代次数为200次，表2中列出了优化后随机取出的5组优化工艺参数组和实际在用波纹管参数组。

表2 优化结果对比Tab.2 Optimization results contrast

优化结果显示，算法搜索到的最优解支配了在用波纹管性能结构设计变量组，这说明算法找到了至少三组设计变量（2组、3组、4组）参数，使得两个目标值均优于实际在用参数组，实际测量值同实验值有出入，这与文中使用的经验公式有关，结果证明了算法优化的有效性。

图1显示了多目标粒子群优化算法优化得到的Pareto前沿，为用户提供了更多的优化结果选择，通过图中Pareto前沿的显示结果，用户可以依据实际情况自行选择平衡两个目标，并选取相应的工艺参数组。

4 结论

本文将改进型多目标粒子群优化方法应用到波纹管结构优化设计中,通过建立结构参数多目标数学模型，实现了波纹管的结构优化设计，获得了较为理想的优化结果，同以往的优化方法相比，可以为用户提供更多的优化解进行选择，体现出了经济性和高效性，本文可以为波纹管的制造信息化提供借鉴。

[1]孙爱芳.基于CAE的U形波纹管膨胀节的工程优化设计[J].压力容器，2005，2.

[2]于颖.基于PSO的波纹管结构完整性设计[J].机械设计与制造，2008，5.

[3]Kennedy,J.,&Eberhart,R.C.(1995).Particle swarm optimization.Proceedingsofthe IEEE internationalconference on neural networks.

[4]Ray T.,Liew K.M.A swarm metaphor for multiobjective design optimization[J].Engineering Optimization，2002，2.

[5]Coello C.,A.C.,Pulido G.,et al.Handling multiple objectives with particle swarm optimization[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation 3，2004.

[6]Yong Zhang,Dun-wei Gong.Handling multi-objective optimization problems with a multi-swarm cooperative particle swarm optimizer[J].Expert Systems with Applications，38，2011.

[7]GB-T12777-1999，金属波纹管膨胀节通用技术[S].

[8]赵正修.压力容器设计[M].济南:石油大学出版社，1996.