许 飞，李 勇，李路雷，蔡忠清，徐培民

(安徽工业大学 机械工程学院，安徽 马鞍山 243002)

1 引言

热镀锌生产线镀后冷却段带钢从锌锅经过沉没辊、纠正辊和稳定辊后，通过调节气刀内喷出的气流强度及气刀喷嘴与带钢的距离来控制表面锌层厚度，然后经过很长一段冷却到达塔顶辊。在此过程中，带钢的振动必将影响产品的质量和企业的效率。国内外数百条生产线的运行实践表明［1-2］，冷却段(气刀处)的带钢振动是影响机组涂镀质量的关键因素之一，必需对其进行抑制或控制。

实际中，生产线上引起带钢振动的因素很多［3］，一般关注的是系统参数变化引起的参数振动。2003年，Chen等(2003年)在文献［4］中阐明了张力波动幅值和频率对参数共振的稳态响应和边界的影响。Michon等(2008年)［5］实验研究了多频激励下的参数失稳问题，指出由于速度和张力的多频波动激励，不稳定区域向低频区转移。2010年，Kim［6］对时变非线性边界载荷下薄板的多频参数振动进行了研究，结果显示多频参数激励项之间是耦合的，其响应类型依赖于非线性边界载荷是否时变。

关于引起系统参数变化的因素，更符合实际的一种情形是辊子偏心。2001年，Pellicano等［7］实验研究了辊子偏心对系统动特性的影响并在理论上加以验证，得出辊子偏心引起张力波动，进而可能导致系统参数共振的发生。Pellicano等(2004年)［8］考虑辊子支承的弹性研究了辊子的偏心对传送带动力学稳定性的影响，通过直接激励和参数激励共同作用，发现亚谐响应与准周期运动共存。对于镀层带钢，Kim等(2005年)［2］考虑参数激励和单频外激励(辊子偏心)的同时作用，注意到主参数共振和组合共振的存在。

综上所述，为研究带钢系统的参数振动，对带钢支承的弹性应该考虑。否则，其特性与实际系统相比可能会出现较大差异。因此，笔者从冷却段结构的实际出发，考虑带钢及其支承的协同作用，建立带钢及其支承系统的振动模型，得出其耦合非线性振动微分方程组，并采用多尺度法和数值法进行研究，探明张力波动作用下辊子与带钢的耦合振动机理，丰富和发展支承运动参与的参数振动系统。

2 带钢系统的振动模型

如图1所示，带钢在x方向以轴向速度c运动，2个辊子在x方向上以竖直间距l支撑着宽为b、厚为h的带钢。其中，下端为沉没辊(被动辊)，上端为塔顶辊(主动辊)。塔顶辊两端的线性弹簧(刚度为k)模拟塔顶辊支承(轴承、冷却塔)的低阶模态刚度。

图1 带钢系统的力学模型

对于该模型，数学建模时提出了几点简化假设:①辊子间平行布置且为180°转向辊;②带钢的质量均匀分布且在辊子上运动不打滑;③忽略绕辊子处带钢的质量和摩擦力;④忽略带钢的重力;⑤带钢与辊子的接触切点不发生变化;⑥用附加惯性载荷(动量)和带钢的轴向拉力作为边界条件来考虑相邻段带钢的影响;⑦忽略带钢面内振动的惯性力。

热镀锌线带钢的轴向速度c远小于其临界速度，由轴向速度引起的系统动特性变化可忽略不计［1，9］。因此，忽略系统方程中涉及轴向速度的各项。

利用牛顿第二定律建立带钢横向振动方程:

式中:ρ为带钢的体密度;D=Eh3/［12(1-ν2)］;▽4=∂4/∂x4+2∂4/∂x2∂y2+∂4/∂y4;E为弹性模量;ν为泊松比。应力函数F(x，y，t)用来表示x方向正应力σx、y方向正应力σy和切应力τxy，具体如下:

边界条件:

式中:P1为带钢末端的分布张力。

利用牛顿第二定律建立塔顶辊的运动方程:

式中:m为塔顶辊的质量;P2为带钢末端的分布张力;上标‘··’表示对时间的二阶导数。

假定图1中带钢末端沉没辊区域存在动张力(来源于稳定辊的不平稳运转)为K cosωt，即P1=P0+K cosωt。这样一来，带钢应力函数由以下两部分构成:带钢末端张力引起的F0和带钢大幅横向振动引起的非线性部分Fn。其中，Fn须满足式(2)。

由于带钢长度l很大，实际表现出的是一维特性。故设带钢的横向位移为:

式中:sin(nπx/l)为带钢长度方向上的第n阶模态的振型函数，f(t)为对应的模态坐标。

将式(8)代入式(2)，得到▽4Fn=0，其通解可设为:

式中:H1、H2为关于时间t的未知函数。

带钢与塔顶辊在x=l边界上的连接关系为:

运用应力应变关系，将式(10)转换成:

将式(8)、(9)代入式(11)，求得:

接下来，对带钢横向振动方程进行离散化处理。将式(8)代入式(1)，运用Galerkin方法，得到:

式(13)与式(14)构成了1个两自由度系统。为使系统更符合实际，将式(13)与式(14)加上阻尼，整理得到:

式中:ξ1、ξ2为模态阻尼比。

式中:ε为无量纲小参数，εη、εγ1、εγ2和ε4γ4中小参数ε的引入是根据系统实际参数大小来设置的。

3 解析分析

运用多尺度法求解f(t)、χ(t)的近似解，设近似解具有如下形式:

式中:时间尺度定义Tr=εrt，r=0，1，…。

时间微分定义如下:

将式(17)、(18)代入式(15)，收集ε同次项，得:

式(19)第一个式子的解为:

式中:A为待定函数，cc表示前面各项的共轭。将式(21)代入式(19)的第二个式子，得出:

式中:字母上的横线表示共轭值。式(22)的解为:

将式(21)、(23)代入式(20)的第一式，得到:

为分析主参数共振，令:

式中:σ为解谐参数。

为消除式(24)的久期项，得到:

式中:τ=ω1/ω0。非平凡解对应着系统的稳态周期运动，为确定其存在条件及稳定性，令A=0.5aeiφ，其中a、φ为关于T1的实函数，分离式(26)中的实部与虚部，整理得到:

令θ=2φ-σT1，将式(27)化成自治方程，并通过令研究系统的稳态响应，消去θ可解出稳态响应幅值(取正值)为:

其中:

非平凡解的稳定性和平凡解稳定性分析略。下面以具体算例进行数值分析。

4 数值分析

基于实际带钢并结合现场测试，可以得到带钢支承设备的低阶频率ω1=38.3 rad/s。选取带钢的规格为长l×宽b×厚h=66.5 m×1 m×1 mm，体密度为ρ=7 850 kg/m3，弹性模量E=2.1×1011N/m2，带钢面内初始应力P0=32 MPa，波动应力幅值K=0.9 MPa。采用龙格库塔法对上述系统进行数值分析，步长取值0.03 s，初始扰动f=χ=0.000 01 m。分析时小参数ε=0.1，阻尼ξ1=0.001，ξ2=0。

通过上节的分析，可以得到系统发生某阶主参数共振时带钢的幅频响应曲线。由于实际系统很难发生低阶的参数共振，同时由于阶数越高对应的系统能量越低进而对系统的动特性影响越弱。所以，本节选取带钢第5阶和第6阶的幅频响应，如图2所示。

图2 系统发生某阶主参数共振时带钢稳态响应的幅频曲线

由图2(a)可以看出，数值解与一次近似解析解基本吻合，更精确的解析解可通过二次近似得到。从图2(a)中发现，幅频曲线可分为三个不同的区间:区间I只存在1个稳定的周期解;区间II存在2个周期解:一个是稳定的，另一个是不稳定的;区间III存在3个周期解:两个稳定，一个不稳定。分析图2(b)发现，其曲线特性与图2(a)相反。进一步分析发现，带刚第6阶固有频率(式(16)中ω0)与塔顶辊频率(式(16)中ω1)的比值约为1∶2，即τ≈2，这使得式(29)的b为负值，从而导致幅频曲线的走向。

本文中张力波动来源于沉没辊组中的稳定辊运转的不平稳。利用辊子转频与带速之间的关系(不打滑情况下)如下式所示:

式中:ω为辊子转频，rad/s;v为带速，m/min;d为辊子直径，m。算出给定带速时的辊子转频，进而预测共振区。因此，现场可通过调节带速避开共振区(图2(a)中的区间II)。当生产线在不同的带速下运行时(设计带速为180 m/min)，不同张力下不同规格带钢发生的主参数共振的阶次相应发生变化，因而需要调节的共振区也不一样，如图2(a)、(b)所示。

为了更直观地说明带钢发生如图2(b)所示的第6阶主参数共振时系统各部件的响应情况，令激励频率ω=36.2 rad/s(即图2(b)中σ=0时)，求得f和χ的时间历程曲线如图3所示。

图3 当n=6时，系统各部件的时程响应

由图3可知，主参数共振时，带钢的位移从初始扰动开始发散，从而到达一个稳态。于此同时，系统在τ≈2的频率关系下，塔顶辊的位移也发散到与带钢同一量级的稳态幅值，然后各自呈现周期性变化。进一步分析知，带钢的主参数共振效应传递至塔顶辊上，使塔顶辊的振动得到加强。从这个角度来说，现今对轴向运动物体的振动测试点一般布置于支承设备上是有一定道理的。

5 结语

笔者考虑了塔顶辊与带钢的协同作用，通过Galerkin方法得到带钢系统的常微分方程组，运用多尺度法分析了该耦合振动方程组，经数值方法对比分析，发现带钢末端张力发生变化时，会激起系统的主参数共振，引起带钢的大幅振动。同时，当塔顶辊固有频率与带钢某阶固有频率的比值约为2(即τ≈2)时，主参数共振区域与τ值远离于2的有本质的区别，此时即使塔顶辊的初始扰动很小也会导致塔顶辊的振动响应很大。该结论为轴向运动物体的振动测试布点提供了一定的指导。

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