林国龙 尹利贤

（上海海事大学物流研究中心 上海 200135）

0 引 言

鉴于干散货航运市场自身的市场特性，其在受到企业自身经营状况的影响外，注定还受到世界经济和政治发展、干散货航运市场的供求关系、投机因素、自然因素等的冲击，这就引起干散货国际航运市场运价的剧烈波动，给市场参与者带来了巨大的经营风险．为此，Tvedt［1］以BIFFEX（波罗的海运费指数期货）为基础建立了一个期权定价模型，给出了航运费率市场的一些特征．Kavussanos和 Nomikos［2］提出了关于运价期货市场最优对冲的理论并给出实证研究结果．1992年，远期运费协议（forward freight agreement，FFA）进入市场．Kavussanos［3］与其他学者合作既研究了远期与即期运价之间的波动性关系，也检验了FFA随时间变化的套期保值率在降低运费风险上的有效性．Kavussanos［4］等人就注意到相较于目前干散货FFA的结算价格是基于交割月的最后七个交易日的平均价格，1999年11月以前的干散货FFA的结算价格是基于交割月的最后5个交易日的平均价格．这样的清算方法能很好的模拟船队的现金流，也就能提高对冲能力．Kemna和Vorst［5］通过改变波动率和敲定价格提出了一个几何平均期权的定价解析公式，但是得不出算术平均期权模型．Rogers和Shi［6］提出了用有限差分法来解析亚式期权问题，他们根据比例缩放的性质，将平均亚式期权价格计算简化为解一个二元抛物线偏微分方程．但这种方法仅适用于较低的波动率和较短的到期时间．

运费期权的意义在于，它为航运经营者和投资者提供了一种效率更高的航运金融工具．将期权引入航运市场，只是为航运经营者和投资者提供了一种新的选择，而航运经营者和投资者可以根据其对风险的承受程度选择更适合自己的运价交易工具．运费期权既可以在OTC场外交易，也可以选择交易所进行清算．

1 定价模型框架

1．1 模型的假设条件

假设市场投资者能自由进出市场，且借入利率和贷出利率相等，均为无风险利率r．另外，假设存在风险中性测度Q与测度P等价的鞅测度．基本的FFA是一种现金结算合同，等于St的算术平均值与FFA价格F（t，0，T）之差再乘以一个常数D，D不仅取决于价格是按美元／天还是美元／吨计算，D还取决于FFA协议覆盖的日历年的天数以及协议中涉及的船型等．FFA的值可通过T时刻得到的现金流折算得到，并计算鞅测度Q下的条件期望．因为进入FFA市场不需要花费任何成本，因此，可得下式

在Black－Scholes环境下，即期和远期价格均服从对数正态分布（或几何布朗运动）．在风险中性世界中，在鞅测度下，原生资产的连续模型是适合几何布朗运动的，因此，用几何布朗运动来描述即期运费的动态性．

式中：St为t时刻原生资产（航运运价指数）的现货价格，不可交易；μ，σ均为常数，其中μ为期望回报率，σ为波动率；Wt为随机布朗运动．

根据Girsanov定理，进行测度变换得到St在风险中性测度Q下的微分为

式中：λ＝（μ－σr）为一实值函数，其中r为风险溢价，且r＝

式（4）的解即为在鞅测度Q意义下，原生资产价格的运行规律为

亚式期权可以看作是欧式期权在远期协议下的一种推广．下面仅以亚式看涨期权为例．亚式看涨期权的价格在到期日T的值依赖于整个路径的均值

于是，该期权在到期日的收益为max（St－K）＋．由于在鞅测度Q下，原生资产（航运均价指数）折现价格为一鞅，因此，敲定价格为K的算术平均亚式上涨期权的价格由折现条件期望给出：

式中：CF（K，t）为敲定价为K的算术平均亚式看涨期权在时刻t的价格；EQ（·）为在概率测度Q下求期望．

1．2 FFA价格的近似计算

由式（2）知，FFA价格F（t，0，T）为测度Q 下现货价格S期望的算术平均，即F（t，0，T）由平均价格决定．为计算平均价格，将期权的有效期［0，T］进行n等分，设第i个时刻为Ti，则Si为运费在Ti时刻的值，则其算术平均价格SA＝根据假设，各个时段的运费价格均遵循几何布朗运动，但算术平均价格SA已不再服从对数正数分布，这样就很难找到SA的密度函数．所以，考虑用对数正态分布Q（t）近似代替运费现货价格的算术平均值SA，从而找到亚式看涨期权价格C（t，T）的近似值．

式中：W（t）为维纳过程．

由于用Q（t）近似作为SA的近似值，所以参数¯μ，¯σ必须使Q（t）与SA的一阶矩和二阶矩相等．

当对n取极限，离散情况就转换成连续情况，有

这样，由Q（t）与SA的一阶矩和二阶矩相等，列方程可解得

因此，在无风险收益率为¯μ，运费价格St的波动率为¯σ的情形下，初始价格为S0，执行价格为K的欧式看涨期权价格则为

由于用几何布朗运动Q（t）＝S0eX（t），作为SA的 近 似 值，因 此 用 E｛［Q（T）－K］＋｝代 替E｛［SA－K］＋｝就可得到无风险利率r，波动率σ，初始价格S0和执行价格K的情形下的看涨期权价格C（t，T）的近似值，即为

N（x）是标准累积正态分布函数．相应的，看跌期权也可以近似得出．

1．3 运费期权价格

从式（1）和式（2）可以看出FFA的合约价格F（t，0，T）可以被定义为［0，T］时间段内，时刻t到交付时间T之间价格的算术平均，即亚式期权就是欧式期权在远期协议下的应用．由式（2）知，设定运费期权中存在敲定价格K，且以T为到期日的看涨期权的收益可以等价的表示为

类似的，看跌期权的表达式为

从金融学理论可知，未定权益期权的价值可由定价测度下的预期收益减去无风险利率产生的收益给出．相应的，对于到期日为T的亚式期权，在t＜T时刻看涨期权的价值C（t，T）和看涨期权价值P（t，T）分别可由以下式子得出：

具有固定敲定价格K和交易日期 的亚式看涨期权可以表述为

同理，相应的看跌期权可以表示为

2 实际操作

如前所述，FFA合约和运费期权的结算价格均为结算期合同航线的平均价格，而结算期一般为合约月份的最后7个交易日或者整个合约月份．这2种结算程序不会同时使用于一份协议中（尽管在OTC市场上，参与双方可以根据自己的意愿自由协定结算合约），选择合适的固定期对运费期权定价来说是很有用的．

假设租船人现有一份0．5 a后到期的看涨期权合约，即期运费为22 500美元／d，敲定价格K＝25 000美元／d，即期运费的隐含波动率为σ＝30%．设定风险中性运费漂移率为λ＝0．03．在实际的定价实例中，将观察到的FFA价格作为输入量，常数D为每个月的日历天数，为便于计算将0．5 a计为180 d，根据之前的公式用EXCEL求解可得相应的日期权价格为1 200美元．如果一个看涨期权在到期时市场的运费价格高于合约中的敲定价格，就可以执行手中这个看涨期权，这时，总的运费率就是该期权执行的敲定价格与期权价格之和．当市场的运费价格低于期权敲定价格的时候，该期权是没有价值的，这时总的运费率就是市场上即期运费率与期权价格之和．通过EXCEL进行蒙特卡洛模拟（模拟10 000次）得到半年后的平均运费为26 562美元，因为高于敲定价格，所以行使期权，那么运费率即为4 717 000美元．如果没有买期权合约，则所付费用为4 781 160美元．这样就实现了套期保值，维护了自己的利益［7－9］．

3 结束语

考虑到具有固定敲定价格的算术平均亚式期权不能轻易得到显性解，本文将运费期权转化为一类特殊的欧式期权来进行计算期权金．但是在对FFA的价格进行推导的过程中，运费现货价格的算术平均值SA不再服从几何布朗运动，因此采用数学上对连续问题所惯常采用的方法，即转换成离散问题，最后求极限．在此笔者用几何布朗运动近似代替离散时间下的算术平均亚式期权价格，得到其一阶矩和二阶矩后，通过对一阶矩和二阶矩求极限，得到了与连续情况下算术平均价格的一阶矩和二阶矩相等的结果，这样，连续问题就被转换成离散问题，给实际操作带来了便利．但运费期权作为一种新兴的期权，其定价问题仍处于初步探索阶段，如运费期权的其他特性，周期变化，以及隐含波动率的估算本文都没有涉及到，这也是日后值得研究的课题．

［1］Tvedt J．Valuation of a european futures option in the BIFFEX market［J］．Journal of Futures Markets，1998，18（2）：167－175．

［2］Kavussanos M G，Nomikos N．Futures hedging when the structure of the underlying asset changes：the case of the BIFFEX contract［J］．Journal of Futures Markets，2000，20（23）：775－801．

［3］Kavussanos M G，Visvikis I，Roy A．Batchelor，over－the－Counter forward contracts and spot price volatility in shipping［J］．Transportation Research Part E，2004，40：273－296．

［4］Kavussanos M G，Visvikis M A．An investigation of the use of risk management and shipping derivatives［C］∥Proceedings for the annual conference of the International Association of Maritime Economists（IAME），Limassol，Cyprus，2005：23－25 June．

［5］Kemna A，Vorst A．A pricing method for options based on average asset values［J］．Journal of Banking and Finance，1990，14：129－133．

［6］Rogers L C G，Shi Z．The value of an Asian option［J］．Journal of Applied Probatility，1995，32：1 077－1 088．

［7］Dinwoodie，Morris．Tanker forward freight agreements：the future for freight future［J］．Maritime Police and Management，2003，30（1）：45－58．

［8］姜礼尚．期权定价的数学模型和方法［M］．北京：高等教育出版社，2003．

［9］许子飞．油轮市场亚式期权定价和操作策略研究［D］．大连：大连海事大学经济管理学院，2010．