基于固体新单元模型分析理想弹塑性问题

2012-11-06柯江

山西建筑 2012年36期

柯江

(陕西理工学院土建学院，陕西汉中 723001)

0 引言

固体力学是研究可变形固体在外界因素作用下所产生的应力、应变、位移和破坏等，弹性力学与塑性力学是固体力学的两个重要分支［1］。目前，弹性力学与塑性力学问题的各种求解方法都非常复杂。笔者根据广义虎克定律和叠加原理，提出了一种各向同性的线弹性固体的新单元模型［2］，然后推广到特殊的正交各向异性线弹性材料［3］，即材料的工程弹性常数需要满足一定的条件，而在文献［4］将新单元模型进一步推广到一般正交各向异性线弹性材料。此外，在文献［2］～［4］中没有说明根据新单元模型如何确定弹性体的应力、应变。

本文将新单元模型应用到各向同性的理想弹塑性材料用来求解塑性力学问题，并且将说明如何利用新单元求解固体受外力作用而发生的位移、应力和应变。

1 理想弹塑性问题的新单元模型

各向同性的塑性力学与弹性力学一样包括三类问题:空间问题、平面应力问题、平面应变问题，因此下面分别说明这三类问题的新单元模型。各向同性的理想弹塑性固体的新单元模型与文献［2］相似，只有两个区别:1)新单元在各坐标轴方向的尺寸必须相等;2)新单元中的杆件增加了屈服应力。下面分别说明这三类问题的新单元模型中杆件的屈服应力的取值，设固体材料的单向拉伸(压缩)屈服应力为σ0。

对于空间问题，新单元模型中与坐标轴平行的12个杆件的屈服应力为σ0，而另外12个交叉斜杆的屈服应力为3σ0/8，当新单元模型发生剪切屈服时所对应的材料剪切屈服应力为τ0=0.3σ0;对于平面应力问题，新单元模型中与坐标轴平行的4个杆件的屈服应力为σ0，而另外2个交叉斜杆的屈服应力为σ0/3，当新单元模型发生剪切屈服时所对应的材料剪切屈服应力为τ0=0.25σ0;对于平面应变问题，新单元模型中与坐标轴平行的4个杆件的屈服应力为 σ0，而另外2个交叉斜杆的屈服应力为5σ0/16，当新单元模型发生剪切屈服时所对应的材料剪切屈服应力为 τ0=0.25σ0。

2 基于新单元模型的应力及应变计算

通过计算由新单元组成的桁架结构，可以得到结点的位移，这些结点位移就作为固体内各点的位移，而怎么计算固体在外力作用下的应力、应变，下面笔者给出两种简单的方法。

方法一:材料处于弹性阶段才适用。通过计算由新单元组成的桁架结构，可以得到各杆件的线应变，这些线应变就作为弹性体各点不同方向的线应变，弹性体的剪应变则根据与线应变的关系确定，为了提高应变解的精度，可采用绕结点平均法，即把环绕某一结点的各新单元在该结点处的正应变(或剪应变)加以平均，用来表示该结点处的正应变(或剪应变);或者弹性体在一结点处的应变由相邻结点位移计算得出;最后根据广义虎克定律由应变计算应力。一点处的剪应变与线应变的关系如下［1］。

对于平面问题为:

对于空间问题为:

其中，εPN为点 P 处沿 PN 方向的线应变;ε1，ε2，ε3，γ23，γ31，γ12分别为点P处的3个正应变及3个剪应变;l，m，n分别为线段PN与1，2，3坐标轴的夹角余弦。

方法二:材料处于弹性或塑性阶段都适用。通过计算由新单元组成的桁架结构，可以得到各杆件的轴力，要得到固体内某一点在一个平面的正应力(或剪应力)，可以通过该平面一侧相交于该点的各杆件轴力的合力在该平面法线方向(或切线方向)的分力除以该点的从属面积，就可以得到该点的正应力(或剪应力);应变的确定与“方法一”相同，若处于弹性阶段，还可以根据广义虎克定律由应力计算应变。

3 计算实例

一个悬臂梁(见图1)，长度L=320 mm，高度H=80 mm，厚度t=1 mm，在自由端承受向下的集中荷载F=10 000 N，弹性模量，泊松比v=1/3。新单元计算模型一共包含256个新单元(见图2)，新单元在x，y方向的尺寸均为10 mm，三种杆件的截面面积分别为:A1=A2=3.75 mm2，A3=5.303 3 mm2。有限元计算模型采用平面应力单元，单元尺寸与新单元相同，由256个平面应力单元组成。

图1 集中荷载作用下的悬臂梁

图2 新单元计算模型

基于ABAQUS软件分别采用新单元模型与平面应力单元模型计算该悬臂梁，而且还采用解析法计算，得到的三种方法的计算结果见表1～表5。

表1 三种方法的x方向位移对比 mm

表2 三种方法的y方向位移对比 mm

由表1～表5可知，在边界点和荷载作用点，三种方法的计算结果偏差较大，而在离开边界点和荷载作用点稍远的地方，三种方法的计算结果吻合良好，新单元法求得的结果与解析解相比，x方向位移最大偏差为3.84%，y方向位移最大偏差为6.54%，正应力σx最大偏差为1.94%，正应力σy最大偏差为0.0%，剪应力τxy最大偏差为1.92%，而有限元法求得的结果与解析解相比，x方向位移最大偏差为5.20%，y方向位移最大偏差为7.78%，正应力σx最大偏差为0.78%，正应力σy最大偏差为0.0%，剪应力τxy最大偏差为3.91%。