吕 诚，孙秀华

（安徽建筑工业学院 数理系，安徽 合肥 230022）

提高离散数学课堂教学质量的方法探析

吕 诚，孙秀华

（安徽建筑工业学院 数理系，安徽 合肥 230022）

针对离散数学在计算机科学与信息计算相关专业中的重要作用，以及该课程内容覆盖面大，理论深度强的特点，本文结合多年教学中的一些经验，探讨如何改革传统教学方式，以兴趣带动学生学习积极性，以问题引导学生自主学习，从而提高离散数学课堂教学的质量.

离散数学；数理逻辑；集合与关系；代数系统；教学

1 引言

离散数学是现代数学的一个重要分支，却有别与注重“连续数学”的微积分等课程，其研究对象通常是有限个或无限可列个的离散量，并以研究这些离散量的结构和相互间的关系为主要目标，这与计算机本身的结构和用计算机可处理问题的离散性相一致.

一直以来，离散数学都作为计算机科学与信息计算相关专业的一门重要基础课程，也是后继课程，如数据结构、操作系统、数据库原理等课程的必备基础.但是离散数学的学习又与大多数计算机类课程有着很大差别.因为其作为数学分支，有着很浓的数学味，如符号、定义及定理证明过程等.一方面对于工科学生提高数学的逻辑思维能力和抽象思维能力有重要作用；另一方面，其抽象的概念及复杂的逻辑推理又令很多工科学生“望离散数学兴叹”.

长期以来，离散数学的重要性与其教学中的阻力形成一个不易调解的矛盾.于是有着各种教学的尝试，比如视其为数学纯理论课，希望以严谨的教学，培养学生扎实的基本功；或者视其为计算机类实践性的课程，过多关注培养学生上机编程解决实际问题的能力.笔者结合多年在安徽建筑工业学院讲授离散数学课程的经历，认为以上方式均未能体现离散数学自身特点，可能也不一定达到预期效果.

在实际教学中如何提高教学水平、教学质量，一直为众人所关注[1-5].事实上，大多数院校的离散数学课程都主要包含数理逻辑、集合论、代数系统和图论四个部分.这四个部分相对独立，即彼此间联系不太密切，却都体现了该课程的数学特征，故不能因其与计算机科学有密切关系而忽视其数学本质.但若一味按理论课按部就班讲解，学生也会不厌其烦地问“这些方法性强、高度抽象的内容有什么用，毕竟咱们不是基础数学专业”.要知道大一、大二的学生对于所读专业的课程体系不可能有着全面认识，也不会预知以后学习中所面临的问题.一旦对课程失去信心，就会失去学习动力.因此众多学者均提到用兴趣提高学生学习课程的积极性，这一点确实很重要.而如何培养兴趣，从一开始就抓住学生的注意力，正是本文所期待探讨的问题.同时用问题加以引导，本身也是引起兴趣的方式，还可提前令学生了解课程所能解决的问题，从而感受课程的重要性.本文也希望可以进一步探讨离散数学课程的“课堂导入法的研究”[5].

2 数理逻辑的第一次课

通常工科院校的计算机相关专业的学生不会涉及过多的数学基础理论，在初次学习离散数学课程时，首先接触到的便是数理逻辑部分，而此内容比如命题、主范式[6]、推理规则等抽象且复杂，很大程度上有别于其它已经修完的课程，因而众多学生都表现出不适应，因而如何帮助初学者突破这一困难，对于增强学习离散数学课程的信心有着十分重要的作用.倘若直接进入正题，会立即介绍很多学生陌生的名词、术语，学生立刻会觉得丈二和尚摸不着头脑.因而我们不妨先用问题引导学生较全面了解本章的内容.比如有时我们会用苏格拉底三段论作为开篇.

苏格拉底的三段论：

“所有的人总是要死的”

“苏格拉底是人”

“所以苏格拉底是要死的”.

凭直觉可知苏格拉底的论证是正确的，但这是如何推理的呢？或者提问学生这样的论证有思维的人可以理解，但如何让计算机、电脑也能“理解”，并“做出推理”.

文[3]中还提到可用一个侦破案件的例子提起学生的兴趣，事实如下：张三或李四偷盗机房一台电脑；若张三偷窃，则作案时间不可能在午夜前；若李四证词无误，则午夜机房的灯未灭；若李四证词有误，则作案时间发生在午夜前；午夜时机房的灯全灭了.一般来说，学生对于这样的推断都很有兴趣，并积极参与其中.在短短的笑谈互动中，学生对本章内容有了初步了解，并知道本章与逻辑推理有关，自然很想提高自己的推理能力，学习也有了积极性.

3 集合与关系的第一次课

对于集合与关系这一部分内容，大多数学生都会觉得在很多课程，比如高等数学等都有所涉及，而且内容“有些枯燥”.因而第一次课一定要端正学生的错误认识，不能因为以前学过一些，本章就可忽略过去.事实上在这一章中，会更为系统地介绍一般的集合概念，并将以往熟知的映射与函数推广到更为广泛的概念——关系.

当然让学生知道本章内容的重要性，不再感觉这些“繁琐”的概念枯燥无味更为重要.这里不妨从一个悖论说起，因为数学的历史及发展本身就是激发兴趣的最佳方式，而且了解了历史，就更清楚它的重要性.

何为悖论，较为浅显的说法便是对于一命题，无论肯定它还是否定它，都将导致矛盾的结果.比如有人说：“我正在说谎.”如果肯定这句话为真，则按照这句话的意思就该推出这句话为假；若否定这句话，那么按照这句话的意思就该推出这句话为真.无论如何都是矛盾的.

自从19世纪八十年代，德国数学家康托创立集合论以后，数学的众多概念均用集合的语言加以描述，并且到19世纪末，人们把数学的不矛盾性归结为集合论的不矛盾性，使集合成为整个数学大厦的基石.以至于大数学家庞加莱宣称：“数学的严格性到今天可以说实现了！”然而不到两年，罗素宣布了著名的罗素悖论.

一般情况下，集合自身的运算只会是包含关系，即A奂A.但康托等人早期建立的集合论，即通常所说的朴素集合论，却会出现集合属于自身的问题，即A∈A.限于只是为了让学生了解这一问题，故无须过于理论化，可用如下例子简单说明.

例1 A为某集族 (即A的元素也是集合)，其中A的元素是含有两个以上元素的集合，即A={B|B中含有两个以上元素}.

可见A中至少可含有B1，B2，B3，即A也含有两个以上元素，故A∈A.

如果承认了集合可以考虑是否属于自身的问题，就可以从“不属于自身的条件”出发构造集合，见下面的例题.

例2 设P={A|A埸A}，即P是由所有那些不属于自身的集合所组成的.由于P本身也是集合，故又可进一步考查“P是否属于自身”这一问题，依排中律知必有P∈P或P埸P.若P∈P，由P的定义知P不属于自身，即P埸P；若P埸P，由P的定义知P∈P.因而无论哪种情形，都是自相矛盾的.

罗素将这一情况概括为理发师悖论，即托马斯（本市一位理发师）承诺只为本市不给自己理发的人理发.于是不论托马斯是否给自己理发，均是矛盾的.

罗素悖论的表述简单清晰并且准确无误，对已形成的数学基础产生巨大冲击，由此引起数学界的激烈讨论，并被数学史界称为第三次数学危机.同时也促进人们对公理化集合论的研究，最终建立外延公理及内涵公理，从而排除了“集合属于集合自身”这一现象的出现.

注1：我们通常学习的仍然是朴素集合论，但在涉及集合运算时，总是先考虑有一“完全集”包含所有元素，其它集合只能为其子集，以排除“集合属于集合自身”.

注2：经过作者多年来讲授这一章节的经验来看，理工科的大学生都能听懂，并饶有兴致的提出自己想法.或许只是本章开始时十多分钟的闲谈，所激发学生互动的积极性远超出笔者的想象.

3 代数系统的第一次课

这里代数系统的内容不同于之前学习的课程高等代数或线性代数，所涉及的概念为高度抽象的群、环、域等.如果在开始介绍主体内容之前，只是简单提及学生较为熟知的有理数域、实数域及多项式环，很难令学生知道本章的任务，并对所学内容形成总体印象，产生兴趣更是无从谈及.我们不得不再次提起数学的历史及发展本身就是激发兴趣的最佳方式，而大家耳熟能详的人物更能激发学生学习的动力.作为本章的前言，可由四次以上方程的根式解说起.

对于实系数n次代数方程xn+a1xn-1+…+an=0，至多n个实根.当n=2时，有我们熟知的韦达定理和根式解.这样一元二次方程便可简单计算求出，于是人们会期望对于所有的n次代数方程，都能得到根式解，很快三次方程、四次方程在科学家们的努力下都得到了，然而令人们意外的是五次及五次以上方程很长时间都无法得到根式解.但却很少有人猜测五次及五次以上方程没有根式解，因为很难感觉到五次方程与二次、三次、四次方程会有差别.直到一位伽罗瓦的数学天才用抽象代数中的伽罗瓦理论证明了“五次及五次以上方程无根式解”.而这里所说的抽象代数，其核心理论——群、环、域，正是代数系统这一章所要讨论的.

事实上，很多学生在幼儿园或小学都学过“尺规作图”，并都知道怎样用圆规直尺二等分任意角，或许也试过能否三等分角.其实“能否用圆规直尺三等分任意角”一直被视为古典数学难题之一，或许直到今天，仍然还在耗费某些不明原委的现代人的精力.当然这一古典数学难题早已可以用抽象代数来解决：“尺规作图三等分任意角是不可能的”.可见抽象代数的重要性，就如同登山一般，当人们登上极为困难的“抽象代数”这座高峰后，俯身看到更美的风景，而且其它原本也很难攀登的小山——比如根式解问题、三等分角问题，竟已成一部分景色，当然也不在困难了.

同时，为进一步提高学生的兴致，可介绍国人耳熟能详的大数学家——华罗庚.华罗庚出生家境贫寒，初中毕业后没有继续读高中，后就读于上海中华职业学校，但终因经济困难而中途辍学.而恰是由于四次以上方程根式解(或者抽象代数)改变了他的一生，也造就了这位20世纪世界上最具传奇性的数学家.其实，他并未因辍学而放弃对数学的学习，利用一切闲杂时间自学了大学中的数学基本课程，包括代数、几何和微积分.19岁那年，他注意到上海《科学》杂志上一位苏家驹教授关于代数五次方程式解法的论文.他心想国外那位伽罗瓦的数学家百余年前已经否定了四次以上方程存在根式解的可能性，如果苏教授是正确的，一定会让当时战乱不断的中国在世界数学舞台上拥有一席之地；倘若，苏教授是错误的，那一定应指出其中的问题，维护科学的准确性.经华罗庚的验证，说明苏教授的确是错了.于是在1930年，他在《科学》杂志上发表论文《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立的理由》.这篇论文不但显示了这位19岁青年的数学才华，还展示了惊人的胆识——敢于挑战国内的权威教授.更重要的是，这篇论文引起了当时清华大学数学系主任熊庆来的注意，并破格将他带进清华园，于是很快中华第一学府有了一位没有经高中、大学学习的助教.再后来，经英国剑桥大学研究深造，并先后辗转国内外多个顶级学府，成为一代大数学家.解放后毅然回国，领导中国的数学研究和普及工作，在此期间培养了一大批数学专业人才，其自身也在数学多个领域做出重要贡献.以至于克拉达说：“华罗庚形成中国数学.”同时又与郭沫若等人参与创建中国科学技术大学，并担任副校长和第一任数学系主任.当然我们也很熟悉关于陈景润和哥德巴赫猜想的故事，而陈景润的成功正是得益于华罗庚这位伯乐.于是自有了熊庆来与华罗庚这段数学佳话后，又有了中国数学的又一段华罗庚与陈景润的佳话.

根据笔者的经验，只是简单介绍了相关的数学故事，但却令学生情绪高涨，迫切想要知道这代数系统里是什么样“精巧”的内容，能解决这么多的有意思的问题.凭着对数学大师的尊敬，学生也很想体验一下大师们所做的事情.当学生们对将要学的知识有了浓厚的兴趣，“难”与“抽象”便不再那么可怕了.

〔1〕翟明清.浅析图论教学[J].大学数学,2011，27(5):203-206.

〔2〕强晓凤.离散数学双语教学探讨[J].广东技术师范学院学报,2011(3):68-69.

〔3〕魏小燕.浅谈离散数学教学心得[J].湖北经济学院学报,2011,8(9):191-192.

〔4〕黄震.《离散数学》课程教学模式改进方法的探讨[J].商丘职业技术学院学报,2011,10(5):19-21.

〔5〕薛占熬，齐歌，杜浩翠，等.离散数学的课堂导入法研究[J].计算机教育,2010(8):95-99.

〔6〕吕诚，孙秀华，吕敏.主范式的计算方法及其在命题公式中的作用[J].宜春学院学报,2011,33(4):39-40.

O158

A

1673-260X（2012）05-0014-03

安徽省自然基金项目资助(KJ2011z057)