☉湖北省水果湖高级中学 张德尚

高等解析几何视野下几类特殊平面法向量的求解技巧

☉湖北省水果湖高级中学 张德尚

一、问题提出

在高中数学教学中，常常用向量法解决立体几何问题，比如用平面的法向量去求二面角的大小、线面角、空间距离，去证明线线关系、线面关系等.但是，大部分学生在计算法向量时常常算错，导致立体几何题严重失分.本文试图用高等解析几何中的平面方程及法向量知识来总结几类特殊的平面的法向量的求法，从而使学生少犯计算错误，大大提高计算的正确率.

二、高等解析几何中的平面方程的两个引理及结论和推广

这就是平面的截距式方程，类似于直线的截距式方程.

同样，推论（3）与（4）的法向量的取法同此原理.

三、结论及推论的应用

例1 （2011年湖南（）如图1，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点.

（1）证明：平面POD垂直于平面PAC；

（2）求二面角B－PA－C的余弦值；

（3）（改编）你能根据经验直接写出平面PAC和平面PCB的法向量吗？试求出二面角A-PC-B的平面角的余弦值.

图1

图2

解：（1）略.

说明：在平面PAC与平面PCB中，有三个点都在坐标轴上，可以根据推论（1）直接写出这两个平面的法向量.

（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ；

（2）（改编）直接写出平面PAC的法向量和平面PBC的法向量；

（3）求二面角Q－BP－C的平面角的余弦值.

图3

图4

解：（1）略.

例3 如图5，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.

（1）证明：PA⊥BD；

（2）若PD=AD，求二面角A－PB－C的平面角的余弦值.

图5

图6

解：（1）略.

例4 （2011年上海）已知ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1是A1C1和B1D1的交点.

（3）（改编）在（2）的条件下，试求平面AB1C1与平面B1D1D所成锐二面角的余弦值.

解：（1）略.

图7

例5 （2012年天津）如图5，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（1）证明PC⊥AD；

（2）求二面角A－PC－D的正弦值；

（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

解：（1）略.

图8

（3）略.

值得指出的是，以上这些例题中的法向量的求法，都省去了解题的步骤和格式，只应用了结论和推论.这些技巧是用来帮助同学们保证计算的正确性的，在平时的作业和考试中，还是得遵循用向量法解空间几何问题的步骤与格式，这样才能做到规范、严谨、正确.