☉华中师范大学数学与统计学院 徐章韬

挖掘赵爽弦图的导入功能：信息技术使数学史熠熠生辉的一则案例

☉华中师范大学数学与统计学院 徐章韬

*本文系中国博士后科学基金第五批特别资助 “信息技术推动数学历史文化走进数学课堂之研究”（编号：2012T50656）的部分成果.

一、引言

最近，张奠宙先生指出：导入和创设情境是有区别的，不可能在每堂课都创设情境，创设情境不能天天搞.而导入则是每堂课都能进行的.导入的价值和实行的办法是要思考的问题.导入强于创设情境，导入作为艺术在中国已经成形了，导入的价值和施行方法应该立起来.每节课都要引入［1］.张先生的话从大处着眼，高屋建瓴.要把张先生的思想落到实处，就要从小处着手，从近处着手.用数学史作课堂教学的引子是个不错的主张.但数学史的运用绝不仅仅限于用有趣的历史故事吸引学生，而是要充分挖掘历史文化的底蕴.若能用信息技术使数学史的文化底蕴动态地、形象地揭示出来，将是一件“锦上添花”的事情：浓郁的历史文化氛围与现代文明跨时空地交织在一起，历史文化使思想更深邃，信息技术使思想更完美.本文在吃透赵爽弦图的基础上，深入挖掘赵爽弦图的导入功能，以期抛砖引玉，以期在信息技术的支持下，更多的历史文化能更好地融入到课堂教学之中.

二、吃透历史：以形证数、形数统一的赵爽弦图

三国时期的数学家赵爽是最早对勾股定理进行证明的人.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”（如图1），用形数结合得到方法，并给出了勾股定理的详细证明.在“勾股圆方图”中，以弦为边长的正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成的.每个直角三角形的面积为ab；中间的小正方形边长为b－a，面积为（b－a）2.于是便可得如下的式子+（b－a）2=c2，化简即得，a2+b2=c2.

图1 勾股圆方图

赵爽的证明别具匠心，极富创新意识：用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且屡有发展.例如，稍后一点的刘徽在证明勾股定理时用的也是以形证数的方法，只是具体图形的分、合、移、补略有不同而已.

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义.事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件.正如吴文俊先生所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的……十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续.”

华罗庚先生指出：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.”形数结合，让抽象的数栖居在形之上，用解析的数描述形的特征，坚持抽象性与直观性的统一其实是一条教学原则.

三、技术使历史熠熠生辉：赵爽弦图是很好的导入载体

1.完全平方和公式、完全平方差公式的导入

人教社的教材先举出计算几个整式的乘法的实例，然后归结出完全平方和、完全平方差公式.接着教材又给出图2说明完全平方和公式.

图2 人教社教材中的完全平方和（差）公式的说明图

这是从代数的角度来引入的，图形起辅助说明.其优点在于和前面的整式乘法的知识衔接紧密，不足之处是文化味儿少了一点儿，没有充分体现“以形证数，形数统一”的思想.

赵爽弦图是我国古代的优秀文化遗产，其中闪烁着智慧的光芒迄今仍不过时.我们设想，在介绍一个公式、定理之前，先要让学生直观感知，然后再让学生形式化地证明，可能更符合认知规律.基于上述认识，用超级画板制作了下面的动画（如图3）.

图3 赵爽弦图背景中的平方差公式和重要不等式

点击动画，还可以看到下面的情形（如图4）.

图4 赵弦弦图背景中的平方和公式

这里，一幅图的两种状态分别表征了平方和公式与平方差公式，这表明这两个公式其实是一回事！这是从图形连续变化角度得出来的结论，从代数的角度看，更是如此！初学代数的同学不容易看到这一点，不能把－b看做b，不能理解代数的精髓，现代信息技术使我们慢慢地接受这种观点，信息技术能改变同学们对数学的看法.

因此，完全平方和、平方差公式的导入流程可以是：演示动画——计算面积关系——得到公式——验证公式.这样，学生经历感知——观察——说理——直观论证这样一个完整的学习路线.这种引入法完全符合新课程理念.整个过程如图5所示.

图5 引入过程和学生的学习过程

2.重要不等式的引入

人教社教材是由直接展开（a－b）2=a2+b2－2ab，再利用平方数的非负性得到重要不等式的.并由图6给出了重要不等式的图解.

图6

而从赵爽导出重要不等式，既为重要不等式配置了图形背景，也为重要不等式注入了文化的气息，而且赵爽弦图美于图6.

图7 赵爽弦图背景中重要不等式取等号的情形

四、一点看法

教育理念上说“不是教教材，而是用教材教”.从人教社教材的编排来看，是先得出数量关系（相等关系或不等关系），然后再用图形作补充说明.而我们的导入是先给出图形直观，然后再观察得到初步的结论，最后再进行严密的论证.这两种做法孰优孰劣，教师自有选择.现在教育取向的数学史日益引起广大一线教师的浓厚兴趣，我们想，如果能用信息技术把史料中闪烁智慧光芒的思想充分挖掘出来，而不是简单地复古，使课堂教学既有文化底蕴，又有现代信息社会的气息，那么教育取向的数学史将在信息技术的支持下大放异彩.这是我们的愿景.

1.代钦，李春兰.对中国数学教育的历史和发展之若干问题的理性思考——对张奠宙先生的访谈录 ［J］.数学教育学报，2012，（1）：21-25.