☉安徽省亳州市第一中学 史 嘉

第一轮复习也要丰富多彩的数学

☉安徽省亳州市第一中学 史 嘉

*本文系课题《课堂教学中数学文化欣赏点设计的研究》之子课题《高中数学概念教学中的人文情境设计》的研究成果.

2012年是安徽省第七次自主命题，也是第四次新课标高考.可用四个字评价理科数学卷：朴实平稳.“朴实”即无偏题、怪题，考查基础知识，不为了新而新；“平稳”即试卷结构、分值稳定，试题的难易度排序相对平稳，没有大起大落.正是这份都反映“不难”的试卷，要想得高分也绝非易事，“数学高分段（即140分以上）所占的比例比去年有所减少，但整体得分略有上扬”.为什么试卷合口味了，反而高分段的考生少了呢？为此，笔者访谈了高三考生、高二学生（自己两个班的优秀生）和高三一位特级教师.

一、陈述三类观点

梳理访谈结果，总结有代表性的观点如下.

高三考生观点：做那么多题白做了，还是没复习到.思想方法总结不少，但做三角形、不等式、数列那几道题还是不顺利，总感觉没达到高考的要求.

高二学生观点：高考题不是想象的那么难，只要给充足的时间，应该都能做对.只要多做题，提高速度和准确性，肯定能考好.

特级教师观点：两次全市联考文理科前三名都是咱的，为啥高考时前三名都没了？咱的复习就是原地踏步（低效），甚至退步（无效）.

二、复习课现状及分析

常规模式是教师提问，学生回答，教师再补充，或是教师罗列概念、公式、定理，给出实用的小结论，然后是做题、做题、再做题.这种展示性复习，看似节省时间，提高了课堂效率，但学生思维参与少了，也失去对概念再次理解和赏析的机会，使得一轮复习目标“夯实基础，建立联系，梳理通法”成了“豆腐渣”，更不用说二轮的“强化基础，学会思考，提升能力”.复习课演变成概念连续展示和试题离散堆积的过程，学习数学几乎异化为解题.此现象应理解为教师和学生对应试教育的适应，是“实用主义”使然，观点中“还没复习到”和“只要多做题”正是其大行其道的市场所在.

复习课该怎么上呢？章建跃老师说：“概念教学，无论怎么强调也不过分.”据此笔者认为，概念复习课应像新课一样丰富多彩：创设各种情境，引导学生积极参与数学活动，自主构建概念和知识系统，同时查缺补漏，从而促使学生自我反思，达成强化知识、深化理解概念的目的.下面以刚复习过的函数内容为例，谈谈一些思考和具体做法，供大家参考.

三、五点思考及做法

1．明确教学目标，提高复习效率

随着课改深入推进，课堂教学三维目标已深入人心，但在复习课上很少关注三维教学目标.教师选择例题的依据是题目具有代表性、综合性、解法多样、新颖的真题等，却很少考虑这节课教学目标是什么，到底想要解决什么问题，更谈不上“情感、态度与价值观”.事实上，三维目标是一个有机整体，就像正方体的长、宽、高三个维度一样不可分割.“知识与技能”是在“过程与方法”中获得的，而只有学生亲身经历“过程与方法”，才能实现“情感、态度与价值观”目标，进而反过来促使对“知识与技能”的深刻理解和掌握.

案例1：“二次函数的图像与性质”教学

这节课有两个重点：一是图像与性质及其生成过程，二是运用性质解决最值等问题.为评价和检测教学目标的完成情况并进一步达成三维目标，笔者设计了一组例题，留给学生充足的时间先练习再交流，一组题足够完成教学任务.

例题：已知函数f（x）=x2+2ax－1，x∈［－3，3］.

（1）当a=－1时，求函数f（x）在［－3，3］上的最大值和最小值；

（2）用a表示函数f（x）在［－3，3］上的最大值和最小值；

（3）当a=1时，求函数f（x）在［t，t+1］上的最小值g（t）；

（4）在（3）中，求函数g（t）的最小值；

紧紧围绕教学目标选编题目，目的就是解决求最值问题，且在相同背景下解答各种问题，节省重新熟悉试题背景的时间，进而提高教学效率.正如G.波利亚所说：“一个专心认真备课的老师能拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门，把学生引入一个完整的理论领域.”在学生自主解答和合作交流中，掌握解决一类问题的通性通法，感受数形结合思想的直观与便捷，体会分类讨论思想的全面与缜密，培养了严谨细致的治学态度和锲而不舍的钻研精神.

2.创设多元情境，归纳生成概念

许多教师认为，概念复习课就是和学生一起旧事重提，简单回放已知的东西，甚至淡化对概念的理解，直接以习题训练代之.我们知道，数学概念是数学的核心，它揭示了事物的本质属性和相互间的内在联系.因此，有必要创设多元教学情境，给学生再次深入理解和发现数学本质的机会，温故而知新.

案例2：“函数的概念”教学

函数是高中教材中最核心的概念，学生普遍反映函数既具体又抽象且难以理解.为此，笔者基于多元表征理论和函数的演变历史，创设一组具体的、生活化的、富有典型意义的问题情境，引导学生用数学的眼光观察、辨别、发现其共同属性，并用数学语言表征抽象出的本质属性.

情境：（1）自由落体运动.

（2）亳州市某天的气温变化图（该文略）.

问：早晨7点时温度是多少？哪一时刻的温度为0°C？每一时刻的气温都能确定吗？

（3）我国从1949年到2010年的人口数据表（该文略）.

问：1990年我国总人口是多少？每一个年份都有一个人口数与之对应吗？都唯一吗？

（4）某辆出租车.

问：出租车每一时刻是否都有速度？这个速度唯一吗？在此背景下，你还能找到哪些类似的变量关系？

早期的函数是指可以用解析式表示的函数，后来扩充到用连续曲线表示的函数，最终形成现在的概念.为此，笔者遵循其发展史，利用函数概念的多种表现形式（情境（1）是解析式法，（2）是图像法，（3）是列表法，（4）只能观察速度表），创设一组多样的教学情境，向学生提供文字、符号、图像、表格等各种刺激信息，引导学生把生活情境数学化，揭示数与数的对应属性：“对……每一个……都有唯一的……对应”，逐步抽象为符号y=f（x）.最好再结合阅读材料——狄利克雷函数——让学生对函数概念的内涵和外延有更深刻认识：没有公式，从解析式子中解放出来；没有图形，从几何直观中解放出来；不连续，历史上第一个间断函数，开了研究不连续函数的先河；没有实际背景，从客观世界的束缚中解放出来.2012年福建理科第7题考查的就是D（x）函数.

3.营造文化情境，理解品味概念

《数学课程标准》提出对“数学文化”的学习要求：应尽可能有机地融入高中数学课堂教学中，让学生体会数学的人文价值，从而提高文化素养.笔者认为，数学文化≠数学史，数学文化≈数学+人文情境.著名作家王蒙说：“最高的数学和最高的诗一样，都充满了想象，充满了智慧……”因此，复习课可有意沟通数学与人文两者的意境，甚至是调侃数学，以丰富多彩培养学生对数学的情感.

案例3：“函数的周期性”教学

师：我先请一位同学背诵一首小学的诗，白居易的——《草》.

生A：离离原上草，（很快一起背诵）一岁一枯荣.野火烧不尽，春风吹又生.

师：用数学的眼光欣赏她，你能体会到描写的规律是数学中的——

众生：周期性！

师：是的，“一岁一枯荣”和“春风吹又生”是生命的律动，秋枯春荣，岁岁循环，生生不息，这与函数的周期性数学意境是多么吻合.你还能举出周期性的例子吗？

众生：花开花落，月缺月圆，昼夜更替，燕子春来秋往，一年四季，7天一周，红绿灯，元素周期表，单摆……

师：身边的例子举不胜举呀！有没有发现，生活中凡是与时间有关的基本都具有——周期性.所以，英文中周期是Period，而在数学中周期用“T”表示，这个“T”大概就是……

众生：Time！

案例4：“函数的单调性”教学

师：唐朝刘禹锡曾写过一首诗《秋词》：自古逢秋悲寂寥，我言秋日胜春朝.晴空一鹤排云上，便引诗情到碧霄.其中“晴空一鹤排云上”勾勒一幅秋高气爽一鹤凌云的开阔景象，表露诗人积极向上的乐观态度.如果从数学的角度看，诗人为我们描述了——对，单调递增函数的意境.

师：如图1，从左向右看，函数图像“一鹤排云”步步高升，这就是增函数.不过，这仅仅是我们的直观感受，距离数学还差得远.用数学语言如何刻画增函数呢？

生1：y随x的增大而增大，减小而减小.

师：你已经达到第二境界了：定性分析.但数学是严谨的，如何用精准的数学符号语言刻画增函数？

定义（第三境界）：已知∀x1，x2∈（a，b），若x1＜x2，有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）是定义在（a，b）上的增函数.

图1

图2

师：需要强调的是任意性，能不能去掉“∀”呢？

生2：不能，否则这（画出图2）也符合增函数的定义，很显然它不是增函数.

师：是的，否定一个命题，只需举出一个反例即可.任意性确保了函数图像上任何两个点都是右边的比左边的高，才能“步步高”.

我们在简易逻辑里学过符号“∀”，有意思的是，“∀”取自“任意”英文单词“Any”或“Arbitrary”的第一个字母A，怕和字母A搞混了，于是就上下翻转过来；还有一个“存在”符号“∃”，取自“存在”英文单词“Exist”的第一个字母E，怕和字母E搞混了，也翻转一下，但上下对称的E不同于左右对称的A，所以只有左右翻转为“∃”.

为深入理解概念，开阔思路，趁学生兴趣盎然时抛出：这是教材中的定义，你能找到等价的定义形式吗？并类比定义减函数.

讨论得到增函数的符号定义等价形式如下：

4．预设探究活动，关注能力立意

新课标高考命题强调“以能力立意”，但数学能力仅靠机械地做题是难以达到的，这也正是一、二轮复习过后，数学能力不能进一步拔高（突破140分）的症结所在.苏霍姆林斯基曾说：“在人们的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发明者、研究者、探索者，而在孩子的精神世界中，这种需要则特别强烈.”因此，研究性学习也应始终贯穿在复习课中，把“五大能力和两种意识”的培育和锻炼落到实处.

案例5：“对钩函数”教学

（2）具有单调性吗？单调区间是什么？你是如何得到的？（用定义或导函数推导）

（6）对钩函数会是双曲线吗？如何探讨？（推导旋转公式，2012年安徽高考理科第8题正是考查向量的旋转）

（7）观察几何画板动态演示，总结a和b对函数图像的影响.（让图像动起来，直观化感知和理解参数a、b的意义）

（8）请自主研究当a＞0，b＜0时的图像和形状，当a＜0，b＞0和a＜0，b＜0时的呢？（类比推理，图像的变换）

（9）请梳理本节课你探究的成果，并总结探究方法.（掌握数学的精髓）

（10）例题.（略，学以致用）

5．设置微型探究，拓展概念内涵

高三一轮复习最适宜上探究课，因为学生已经具备一定的基础知识和探究能力，但在教学中存在两种极端现象：一是根本不探究.复习课嘛，都知道了，没必要“装腔作势”，点到为止，直接上题；二是为探究而探究.不分知识特点，习题难易，放羊式探究，课堂热闹，效益一般.鉴于此，笔者认为可以结合知识或习题的特点，设置微型探究进行拓展和延伸，提示探究能力和思维水平.

案例6：“函数的奇偶性”教学

结合具体函数（图像）复习函数的奇偶性：偶函数图像关于y轴对称，即f（x）=f（－x）；奇函数图像关于原点对称，即f（x）=－f（－x）.之后设置如下微型探究.

探究：定义在R上的函数f（x）.

（1）若f（x+1）为偶函数，则f（x）图像的对称性如何？有什么恒等式？f（x+a）是偶函数呢？

（2）若f（x－2）为奇函数，则f（x）图像的对称性如何？有什么恒等式？f（x+a）是奇函数呢？

（3）若f（x+a）=f（b－x）恒成立，则f（x）有什么性质？当a=b=0时呢？

（4）若f（x+a）=－f（b－x）恒成立，则f（x）有什么性质？当a=b=0时呢？

（5）根据探究⑶、⑷的结论，你发现函数“奇偶性”与“对称性”之间的关联了吗？

通过以上探究，学生能够深刻认识到“偶函数是轴对称的特例，奇函数是中心对称的特例”，并能熟练处理恒等式问题.微型探究处理灵活，容易操作，高效实用，应该成为课题教学中的常态环节.

数学结论很重要，会用更重要，过程最重要，因为数学的精髓（方法、思想和精神，或者称为能力，正是是获得高分的关键素养）都蕴涵在概念的生成、公式的推导、结论的提炼和习题的分析等过程及其背景之中，这些忘也忘不掉并影响一生的东西仅靠生硬灌输和机械训练是不行的，必须让学生亲身经历、体会、感悟，进而内化，但这个过程必须是实实在在的、丰富多彩的，新课如此，复习课更应如此.