☉江苏省沭阳高级中学 范如青

圆锥曲线切线的几个有趣性质

☉江苏省沭阳高级中学 范如青

文［1］探讨了双曲线切线的几个有趣性质，受此启发，本文探讨了椭圆和抛物线等圆锥曲线，得到类似的性质.

性质1：设F为圆锥曲线（离心率为e）的一个焦点，其相应的准线为l.一直线交圆锥曲线于点M、N，交l于点P，则FP平分∠MFN的外角.

图1

由三角形外角平分线定理的逆定理知FP平分∠MFN的外角.

性质2：设F为圆锥曲线的一个焦点，其相应准线为l，过圆锥曲线上一点M的切线交准线l于P，则PF⊥MF.

证明：如图2，延长MF交圆锥曲线于M1.在性质1中，当N与M重合时，直线PNM成为与圆锥曲线相切于点M的切线PM，∠NFM1成为平角∠MFM1.由性质1知FP平分∠NFM1，即FP平分∠MFM1，故PF⊥MF.

性质3：设F1，F2是椭圆（离心率为e）的两个焦点，点M是椭圆上异于长轴两端点的任一点，则在椭圆上的点M处的切线和法线分别平分∠F1MF2及它的外角.

图2

图3

性质4： 设F1，F2是椭圆的两个焦点，A1，A2是长轴两端点，过椭圆上异于A1，A2的任一点M作椭圆的切线，过F1，F2作切线的垂线，垂足分别是B、C，则B、C在以A1A2为直径的圆上.

证明：如图4，设椭圆的中心为O，直线F1M与直线F2C相交于D，连接OC、OB.由性质3知MC平分∠F2MF1的外角∠F2MD.

图4

所以点C在以A1A2为直径的圆上，同理点B也在以A1A2为直径的圆上.

性质5：P为椭圆外一点，PA、PB是椭圆的两切线，A、B为切点，F1、F2为椭圆的两焦点，则PF1、PF2分别平分∠AF1B、∠AF2B.

证明： 如图5，过F1、F2分别作PA、PB的垂线，交直线F2A、F1B的延长线于点F1、F2，交直线PA、PB延长线于C、D，连接PF1，PF2，PF1，PF2.

图5

1.杨昌龙，熊先汉.双曲线切线的几个有趣性质［J］.中学数学月刊，2005（10）.