☉广东省开平市开侨中学 陈 晨

如何提取抽象函数中非抽象的元素

☉广东省开平市开侨中学 陈 晨

抽象函数因其解析式不确定，在处理问题时常感无从下手，其实，大部分抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景的，即有一个从具体到抽象（编题），从抽象到具体（解题）的辨证关系．解题时，若能根据题设中抽象函数的性质寻找抽象函数的特殊模型，利用特殊函数的性质，灵活变通，便可寻找到解题的突破口．下面举例说明解抽象函数问题中，如何有效提取非抽象的元素．

一、联想熟知的函数模型

例1已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＜0.

证明：（1）f（x）恒过定点（1，0）；（2）当0＜x＜1时，f（x）＞0；（3）函数是（0，+∞）上的减函数；（4）解不等式f（x2－x）＜f（x+3）.

解析：解题时，可以参考函数原型，由题意可知，该函数原型为f（x）=logax（0＜a＜1），则函数具有以下性质（1）f（1）=0；（2）当0＜x＜1时，f（x）＞0；（3）函数是（0，+∞）上的减函数.但是在解答题中，不可直接把函数令为f（x）=logax（0＜a＜1），而必须通过必要的逻辑推理得到答案.

（1）令x=0，y=1，则f（0×1）=f（0）+f（1），f（1）=0，所以f（x）过定点（1，0）.

（4）因为f（x2－x）＜f（x+3），且函数f（x）是（0，+∞）上的减函数，因此x2－x＞x+3＞0，所以原不等式的解集为{x|x＞3或－3＜x＜－1}.

二、利用奇偶性，整体思考

故原不等式的解集为（－1，0）∪（0，1）.故选D.

点评：本题主要考查奇函数的性质，函数单调性的应用以及不等式的解法.

三、利用周期性，回归已知

例3已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）=－f（x），且在区间［0，2］上是增函数，则（ ）.

解法1：因为f（x+8）=－f（x+4）=－［－f（x）］=f（x），所以8是该函数的周期.又因为f（x－4）=－f（x）=f（－x），所以x=－2是该函数的对称轴.又因为此函数为奇函数，定义域为R，所以f（0）=0，且函数的图像关于x=2对称.因为函数f（x）在区间［0，2］上是增函数，所以在［0，2］上的函数值非负，故f（1）＞0，所以f（－25）=－f（25）=－f（1）＜0，f（80）=f（0）=0，f（11）=f（3）＞0，因此，f（－25）＜f（80）＜f（11），故选D.

即f（－25）＜f（80）＜f（11），故选D.