杨甲山， 王 瑀

（1.邵阳学院 理学与信息科学系，湖南 邵阳 422004；2.安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230039）

一类具正负系数的二阶中立型方程的振动性

杨甲山1， 王 瑀2

（1.邵阳学院 理学与信息科学系，湖南 邵阳 422004；2.安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230039）

文章研究了一类具有正负系数和变时滞的二阶非线性中立型泛函微分方程的振动性，通过引入参数函数和Riccati变换，结合Banach空间的不动点原理，获得了该类方程振动及非振动的判别准则，这些准则改善了对方程的条件限制，所得结果推广并改进了现有文献中的一系列结论。

正负系数；变时滞；振动和非振动；Riccati变换

关于中立型时滞微分方程的定性理论的研究［1－10］，在理论和实际应用中均有着非常重要的意义。近年来，在计算机科学研究中出现了一些同时具有正负系数的中立型方程的模型，使得这类方程的研究日益受到重视［1－9］。但具有正负系数的一阶方程或线性方程的研究成果较多［1－6］，而具有正负系数和变时滞的高阶非线性方程的振动定理尚不多见［7－9］。本文考虑了一类非常广泛的具有正负系数和变时滞的二阶泛函微分方程，即

存在非振动解的判别准则，文献［5］在R（t）最终为负的条件下，给出了该方程振动的一个充分条件。

本文改善了对方程的条件限制，建立方程（1）振动的若干新的准则，所得定理推广并改进了现有文献中的一系列结论。本文只讨论方程（1）的非平凡解，如果方程（1）的解x（t）既不最终为正也不最终为负，则称为振动的，否则称其为非振动的；如果它的所有解都是振动的，则方程（1）称为振动的。

1 条件和引理

条件1 存在αi＞0，βj＞0，使得fi（u）／u≥αi（u≠0），gj（u）／u≤βj（u≠0）。

条件5fi（0）＝0，gj（0）＝0，且存在常数α＞0和Lfi＞0，Lgj＞0，使得对∀ 0≤x≤α，0≤y≤α，有

引理1 设条件1、条件2成立，0≤P（t）≤1，x（t）为方程（1）的一个最终正解，则存在t1≥t0，当t≥t1时，有

证明 由于x（t）为方程（1）的一个最终正解，即存在t1≥t0，当t≥t1时，有x（t）＞0，x（t－τ（t））＞0，x（t－σi（t））＝x（t－σ（t））＞0，x（t－δj）＞0，从而y（t）＞0，进而z（t）＞0（t≥t1）。由方程（1）、（2）式、（3）式及条件1和条件2，可得：

事实上，若存在t2≥t1，使得z′（t2）＜0，则当t≥t2时，由（5）式有：

A（t）z′（t）≤A（t2）z′（t2）＜0，t≥t2，两边积分，得：

由0≤P（t）≤1及（2）式知，y（t）≥x（t）（t≥t1），于是y（t）≤x（t）＋P（t）y（t－τ（t））≤x（t）＋P（t）y（t），从而有x（t）≥［1－P（t）］y（t）≥0。引理证毕。

2 主要结果和证明

则方程（1）是振动的。

证明 不妨设x（t）为方程（1）的一个最终正解（最终负解的情形类似可证），即存在t1≥t0，当t≥t1时，有x（t）＞0，x（t－τ（t））＞0，x（tσi（t））＞0，x（t－δj）＞0。于是由引理1及（4）式知，y′（t）＞0（t≥t1），即y（t）为单调递增函数。由0≤P（t）≤1及（2）式知，y（t）≥x（t）（t≥t1）。于是y（t）≤x（t）＋P（t）y（t－τ（t））≤x（t）＋P（t）y（t），从而x（t）≥［1－P（t）］y（t）≥0，代入（5）式，由（6）式得：

［A（t）z′（t）］′≤－Ψ（t）y（t－σ（t））≤0 （7）

由y（t）＞0，y′（t）＞0（t≥t1）知，存在常数λ＞0及t2≥t1，使得y（t－σ（t））≥λ＞0（t≥t2），于是由（7）式得：

对（8）式两边从t2到t（t≥t2）积分，则有：

令t→＋∞，并由定理的条件可得：A（t）z′（t）→－∞，这与z′（t）≥0矛盾！定理证毕。

定理2 设条件1、条件2成立，0≤P（t）≤1，1－σ′（t）＞0，若存在φ（t）∈C1（［t0，＋∞），（0，＋∞））及常数ω≥1，使得（9）式成立，则方程（1）是振动的。

其中，t1≥t0为常数；Ψ（s）的定义如（6）式。

由（4）式知，y′（t）≥z′（t）≥0，又z″（t）≤0，于是由（10）式、（7）式可得：

此式两边同乘以（t－s）ω并从t1到t积分，可得：

两边同除以tω，并取上极限可知，与（9）式矛盾！定理证毕。

例1 考虑具正负系数和变时滞的泛函微分方程：

若取A（t）＝t，P（t）＝1／2－1／t，Q（t）＝（1＋cos2t）／2，R（t）＝ （1＋2sin2（3t））／2，τ（t）＝t／2，σ（t）＝t／3，δ（t）＝π，f（x）＝x，g（x）＝x，则此时方程（11）满足定理1的条件，这是因为：

其余条件显然满足，于是由定理1知，方程（11）是振动的。

定理2将二阶线性微分方程的Kamenev型振动准则推广到了具有正负系数和变时滞的二阶非线性泛函微分方程（1）。文献［5］在R（t）最终为负的条件下，给出了相应方程振动的一个充分条件，但本文定理1、定理2却不需要该条件。

证明 设x（t）为方程（1）的无界非振动解，不妨设x（t）＞0（当x（t）＜0时类似可证），则存在t1≥t0，当t≥t1时，有x（t）＞0，x（t－τ（t））＞0，x（t－σi（t））＞0，x（t－δj（t））＞0。

由－1≤p（t）≤0得y（t）≤x（t）（t≥t1），且可推得y（t）≥0（t≥t1）。事实上，倘若不然，即y（t）＜0，则x（t）＝y（t）－p（t）x（t－τ（t））＜－p（t）x（t－τ（t））≤x（t－τ（t）），而这与x（t）无界矛盾！所以y（t）≥0。

由方程（1）及条件1、3、4得：

且｛A（t）y′（t）｝′最终不恒为0，从而A（t）y′（t）单调减少且能断言y′（t）≥0（t≥t1）。事实上，倘若不然，则存在T≥t1，使得y′（T）＜0。从而当t≥T时，有A（t）y′（t）≤A（T）y′（T），两边积分，可得：

其中，t→＋∞，这与y（t）≥0（t≥t1）矛盾！所以y′（t）≥0（t≥t1）。

由于y（t）不能为0，所以由y（t）≥0，y′（t）≥0（t≥t1）知存在常数M＞0及t2≥t1，当t≥t2时，y（t－γ（t））≥M。当y（t）≤x（t），由（12）式有：该式两边积分，得

这与A（t）y′（t）≥0（t≥t1）矛盾！定理证毕。

定理4 设条件5、条件6成立，且存在常数p1、p2，使得1＜p1≤P（t）≤p2＜＋∞，则方程（1）一定存在一个最终正解。

显然T是连续的。由定理的条件和（13）式，对∀x∈B1及t≥t1，有

另一方面，由定理的条件及（14）式，类似可得：

例3 考虑如下具正负系数和变时滞的中立型泛函微分方程：

若取A（t）＝1，P（t）＝2－1／t，Q（t）＝1／t3，R（t）＝3（57t3－60t2＋48t＋64）／［4（8＋3t）t5］，τ（t）＝t／3，σ（t）＝t／2，δ（t）＝t／4，f（u）＝u3，g（u）＝u，则易知此时方程满足定理4的条件，故所给方程一定存在一个最终正解。

文献［2－6］在条件5、条件6及对任意t≥t0和任意常数α＞0均有αQ（t）－R（t）≥0条件下，给出了相应方程存在非振动解的判别准则，但本文定理4却不需该强条件，因此本文定理推广并改进了现有文献的结果。

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Oscillation of a class of second order neutral differential equations with positive and negative coefficients

YANG Jia－shan1， WANG Yu2

（1.Dept.of Science and Information，Shaoyang University，Shaoyang 422004，China；2.School of Mathematical Sciences，Anhui University，Hefei 230039，China）

The oscillation of a class of second order nonlinear neutral functional differential equations with positive and negative coefficients and variable delay is discussed in this paper.By introducing the parameter function and the generalized Riccati transformation，and using the fixed point theorem in Banach space，some sufficient conditions for oscillation and nonoscillation of the equations are proposed.These criteria can improve the restriction of the conditions for the equations.These results improve and generalize some corresponding results given in literature.

positive and negative coefficient；variable delay；oscillation and nonoscillation；Riccati transformation

O175.7

A

1003－5060（2012）04－0552－05

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.04.027

2011－07－06

国家自然科学基金资助项目（11071222）；湖南省教育厅科研基金资助项目（10C1189）

杨甲山（1963－），男，湖南步城人，邵阳学院副教授.

（责任编辑 闫杏丽）