杜毛毛

（华侨大学 土木工程学院，厦门361021）

根据建造在地面上下位置的不同，圆形贮液池可分为地上式、地下式及半地下式［1］。目前，对沿池壁全部高度作用三角形或矩形分布荷载的圆形贮液池而言，其池壁内力计算公式或表格可从既有文献［2－5］中查找。然而，对沿池壁部分高度作用三角形或矩形分布荷载的半地下式圆形贮液池而言，既有文献均未涉及其池壁内力计算公式，其池壁内力计算往往采取简化荷载分布的方法。采用简化荷载分布的方法求出的池壁内力与实际池壁内力会有一定差异，有时差异还很大，例如半地下式圆形贮液池受到土压和温差作用的情形。鉴于此，笔者结合某工程实例，利用弹性力学的方法，推导了沿池壁部分高度分别作用三角形和矩形分布荷载时半地下式圆形贮液池池壁内力的解析表达式，并将推导的解析解与通过有限元分析软件ANSYS计算求得的数值解进行比较，以验证所推导解析解的正确性。

1 荷载分布特点

此处以某污水处理工程中的圆形曝气池为例［6］，说明半地下式圆形贮液池的荷载分布特点。该曝气池直径48.4m，池壁高度9.5m，池壁厚度0.4m，池体在地下深度为5.3m，地下水位在水池底板以下。由于池壁与底板整体浇注，因此，在进行池壁内力计算时，按池壁顶端自由、底端固定的结构形式进行计算。该曝气池池壁所受水压、土压以及温差等作用如图1所示。

图1 池壁所受荷载示意图

图2 荷载分解图

从图1中可知，半地下式圆形贮液池所受土压为沿池壁部分高度的梯形分布荷载，如图2-a所示，该荷载可由图2-b和图2-c所示荷载相互叠加得到。所受温差作用为沿池壁全部高度既非三角形也非矩形分布荷载，如图2-d所示，此荷载可由图2-e减去图2-b所示荷载得到。于是半地下式圆形贮液池所受各种分布荷载均可由图2-b、图2-c和图2-e所示荷载进行叠加组合得到。

在图2-e所示沿池壁全部高度的矩形分布荷载作用下，池壁内力计算公式可从既有文献中查找。然而，在图2-b所示沿池壁部分高度的三角形分布荷载或图2-c所示沿池壁部分高度的矩形分布荷载作用下，池壁内力的计算公式至今尚未见有报道。因此，笔者对图2-b和图2-c所示两种基本的分布荷载作用下的池壁内力计算公式分别进行推导，求出这两种基本的分布荷载作用下的池壁内力后，根据叠加原理即可得到半地下式圆形贮液池在各种分布荷载作用下的池壁内力。

2 基本微分方程及其解［7］

由于池壁厚度h远小于贮液池的半径R，因而池壁可看成是一圆柱形薄壳。在计算池壁内力时，假设壳体材料是各向同性的匀质连续弹性体，于是由弹性力学方法，推导出圆柱壳在轴对称荷载作用下的弹性曲面基本微分方程为：

式中，x为以圆柱壳顶端为原点的坐标；w为壳体在x处的径向位移；S为圆柱壳弹性特征值；px为壳体在x处的侧向分布荷载；D为壳体抗弯刚度。

式（1）的解为：

式中：C1～C4为积分常数，根据壳体两端的边界条w0为式（1）的特解，取为壳体两端自由时的径向位，此处E为混凝土弹性模量。

3 沿池壁部分高度作用三角形分布荷载

如图3所示沿池壁部分高度作用三角形分布荷载，当池壁顶端附近设有天沟的圆形贮液池受到液压作用时，即为此类情况。此时，池内液面不与池壁顶端齐平，而是在距池壁顶端为a的位置处。

图3 计算简图

1）在0≤x≤a区段，池壁未受荷载。此时px＝0，故w0＝0，于是有径向位移：

2）在a＜x≤H－a区段，池壁受到三角形分布荷载。此时px为x的一次函数，可用池内液体的容重γ表示，即于是同样有：

由于池壁顶端自由、底端固定，故此时的边界条件有：

a.x＝0处，Mx1＝0，Vx1＝0；

b.x＝a处，w1＝w2，β1＝β2，Mx1＝Mx2，Vx1＝Vx2；

c.x＝H 处，w2＝0，β2＝0。由这8个边界条件，可求出积分常数C1～C8为：

求出8个积分常数后，将其代入式（3）～（10）中，即可求得池壁内力为：1）0≤x≤a区段内

2）a＜x≤H－a区段内

将上述推导的沿池壁部分高度作用三角形分布荷载时的池壁内力计算公式（11）和式（12）中的a取为0，所得公式与既有文献中可查找的沿池壁全部高度作用三角形分布荷载时的池壁内力经典计算公式完全相同。

4 沿池壁部分高度作用矩形分布荷载

1）如图3所示，在0≤x≤a区段内，池壁未受荷载作用。此时的池壁位移和内力仍可用式（3）～式（6）表示。

2）在a＜x≤H－a区段内，池壁受到矩形分布荷载。此时，px为常数，用p表示，故是得到：

利用与上节所述相同的边界条件求出积分常数C1～C8后，将其代入式（3）～（6）及式（13）～（16）中，即可求得池壁内力为：

2）a＜x≤H－a区段内

同样，将上述推导的沿池壁部分高度作用矩形分布荷载时的池壁内力计算公式（17）和式（18）中的a取为0，所得公式与既有文献中可查找的沿池壁全部高度作用矩形分布荷载时的池壁内力经典计算公式也完全相同。

5 有限元验证

为验证所推导公式的正确性，现利用有限元分析软件ANSYS对前述半地下式圆形曝气池的池壁内力进行数值计算。该曝气池池壁顶端自由，池壁底端与底板整体浇注，因此建模时只建立池壁模型而不建立底板模型，对池壁底端的约束情况按刚性固定约束处理。由前述弹性假定，采用弹性壳单元Shell63［8］模拟池壁。在处理池壁钢筋时，不建立钢筋模型，而将钢筋对池壁的作用转化为等效荷载施加到池壁上。由于该曝气池的对称性，故仅建立1／8的池壁模型。该曝气池有限元计算模型见图4。

图4 有限元计算模型

考虑到土压可由上述两种基本的分布荷载进行叠加得到，因此以土压作用下的池壁内力计算为例进行验证。沿池壁高度取距离池壁顶端分别为0，1，…，9m的10个计算点，由ANSYS计算得到池壁内力在这10个计算点处的数值解，并与解析解比较，结果见表1。从表中可知，两者符合较好，从而验证了推导的池壁内力计算公式（11）和式（12），（17）和式（18）的正确性。

表1 土压作用下池壁内力的比较

6 结束语

结合某工程实例，利用弹性力学的方法，推导了沿池壁部分高度分别作用三角形和矩形分布荷载时半地下式圆形贮液池池壁内力的解析表达式，现有文献中可查找的沿池壁全部高度作用三角形或矩形分布荷载时的池壁内力经典计算公式作为特例含于其中。根据叠加原理可得到半地下式圆形贮液池在各种分布荷载作用下的池壁内力。将推导的解析解与通过有限元分析软件ANSYS计算求得的数值解进行比较，结果表明两者符合较好，从而验证了所推导解析解的正确性。

［1］ 刘健行，郭先瑚，苏景春.给水排水工程结构［M］.北京：中国建筑工业出版社，1994.

［2］ 尉希成.贮水构筑物内力分析［M］.北京：中国铁道出版社，1986.

［3］ 贾乃文.混凝土特种结构力学分析与设计计算［M］.北京：中国建筑工业出版社，1993.

［4］ GB 50069－2002.给水排水工程构筑物设计规范［S］.北京：中国建筑工业出版社，2002.

［5］ CECS 138：2002.给水排水工程钢筋混凝土水池结构设计规程［S］.北京：中国建筑工业出版社，2002.

［6］ 杜毛毛.半地下式预应力圆形水池池壁内力分析及预应力分布研究［D］.长沙：中南大学，2006.

［7］ 朱彦鹏.特种结构［M］.武汉：武汉理工大学出版社，2008.

［8］ 王新敏.ANSYS结构分析单元与应用［M］.北京：人民交通出版社，2011.