一个核为零齐次的Hilbert级数型不等式及其逆
2011-11-20钟建华
钟建华
(广东第二师范学院数学系，广东广州 510303)
一个核为零齐次的Hilbert级数型不等式及其逆
钟建华
(广东第二师范学院数学系，广东广州 510303)
通过引入参数和应用权函数的方法，建立了一个具有最佳常数因子的核为零齐次的Hilbert级数型不等式及其等价形式，并得到它的逆式及等价式．
Hilbert级数型不等式； 权函数； 核； 等价式
(1)
(2)
这里，常数因子K为最佳值．当=1时，式(2)变为式(1)的对偶形式．2006年，文献[7]获得了一个新的Hilbert型积分不等式:
(3)
C(
(4)
这里，常数因子C()=为最佳值．
最近，正数和零齐次核的Hilbert型不等式研究得到重视，文献[9]建立了如下正数齐次核的Hilbert型积分不等式:
(5)
这里，(p,q)和(r,s)为2对共轭指数，且p,r>1,>0，rs/为最佳常数．
文献[10]建立了一个零齐次核的级数型Hilbert型不等式:
(6)
本文引入参数，应用权系数方法及实分析技巧，研究如下零齐次核
(7)
的具有最佳常数因子的Hilbert型级数不等式，并得到其逆式和等价式,主要结果如下.
引理1 对任意0<≤1,A≥-1，定义权系数ω如下:
ω(m)∶=
(8)
(9)
则有不等式
0 K (10) (11) 0<θ(m,,A)∶= 则有 (12) (a)当A=-1时，若=1，fm(y)在(0,m)内是常数，在[m,∞)上严格递减;若0<<1，fm(y)在(0,∞)上严格递减． (b)当A>-1时，fm(y)在(0,∞)上严格递减． 综合(a)和(b)，由式(8)有 (13) 对式(13)右侧的积分作变换u=y/m，由式(7)可得 在上面的第一个积分作变换v=u，在第二个积分作变换v=u，由式(13)得 ω(m) (14) 即式(10)右边成立．由对称性可证得式(11)．对于式(13)左边积分，有 K(A)-du， 再由式(13)，得式(10)左边．证毕． K (15) [K (16) 其中，K0(m,n)和K(A)由式(7)及式(10)所定义，常数因子K(A)和[K(A)]p都为最佳值． 证明由带权的Hölder不等式[11]与式(7)、式(8)和式(9)，有 再由式(10)和式(11)，有式(15)． K [K (17) 再由式(16)，便有式(15)．故式(15)与式(16)等价．下证式(15)的常数因子K(A)为最佳值． (18) 另一方面，由式(7)的对称性及式(12)在(0,∞)上严格递减，作变换u=x/y， (19) 因u(0 结合式(18)及式(19)，有K≥K(A)，故K=K(A)为式(15)的最佳常数因子．式(16)的常数因子[K(A)]p必为最佳值，否则，由式(17)，易得式(15)的常数因子也不是最佳值矛盾．证毕． 评注取A=0时，式(15)变为式(6);取A=0,=1时，式(15)变为 (20) 取A=-1时，式(15)变为 (21) 则有如下等价逆式 (22) (23) [K (24) 这里，常数因子K(A)和[K(A)]ρ(ρ=p,q)都为最佳值(,为式(15)和式(16)所定义，θ(m,,A)为式(11)所定义)． K K 故式(23)成立． 反之， 设式(23)成立，由逆向的Hölder不等式[11]，可得式(17)的逆式，因此由式(23)，得式(22)成立．故式(22)与式(23)等价． 则am(N)>0及 由式(22)，有 K (25) 再由式(24)，有式(22)成立，即式(22)与式(24)等价．综合得式(22)、(23)与式(24)互相等价． (26) 由式(7)的对称性及式(12)在(0,∞)上的严格递减，作变换u=x/n，有 (27) (28) 即式(28)成立．由式(28)及式(27)，得 联系式(26)，有 K(A)+o(1)> (29) [1] HARDY G H．Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive term[J]．Proc London Math Soc，1925，23(2):5-6． [2] MINTRINOVIC D S，PECARIC J E，FINK A M．Inequalities involving functions and their integrals and derivatives[M]．Boston: Kluwer Academic Publishers，1991． [3] KUANG Jichang．On new extensions of Hilbert’s integral inequality[J]．J Math Anal Appl，1999，235:608-614． [4] 杨必成．关于一个推广的Hardy-Hilbert不等式[J]．数学年刊：A辑，2002，23(2): 247-254． YANG Bicheng．On an extension of Hardy-Hilbert’s inequality[J]．Chinese Annals of Mathematics：Ser A，2002，23(2):247-254． [5] 杨必成．关于Hardy-Hilbert不等式及其等价式的推广[J]．数学杂志，2004，24(1): 24-30． YANG Bicheng．On generalizations of Hardy-Hilbert’s inequality and their equivalent forms[J]． J of Math PRC，2004，24(1):24-30． [6] YANG Bicheng．On a best extension of Hardy-Hilbert’s inequality with two parameters[J]．Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics，2005，6(3):Art 81,15pp． [7] LI Yongjin，WU Jing，HE Bing．A new Hilbert-type integral inequality and the equivalent form[J]．International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences，2006:Art 45378，6pp． [8] 谢春娥．一个新的Hilbert型不等式的最佳推广[J]． 暨南大学学报：自然科学版，2007，28(1):24-27；31． XIE Chune．Best generalization of a new Hilbert-type inequality[J]．Journal of Jinan University：Natural Science，2007，28(1):24-27；31． [9] 杨必成．关于正数齐次核的Hilbert型不等式[J]．广东教育学院学报，2009，29(3):1-8． YANG Bicheng．On Hilbert -type inequalities with the homogeneous kernel of positive number-degree[J]．Journal of Guangdong Education Institute，2009,29(3):1-8． [10] 黄启亮．一个零齐次核的Hilbert型不等式的级数形式及推广[J]．广东教育学院学报，2009，29(5):20-23． HUANG Qiliang．A Hilbert-type series inequality with the homogeneous kernel of 0-degree[J]．Journal of Guangdong Education Institute， 2009，29(5):20-23． [11] 匡继昌． 常用不等式[M]．济南:山东科学技术出版社，2004:4-5． [12] 匡继昌． 实分析与泛函分析[M]．北京:高等教育出版社，2002:108． Keywords： Hilbert-type series-inequality；weight function；kernel; equivalent form 【责任编辑 庄晓琼】 AHILBERT-TYPESERIES-INEQUALITYANDITSREVERSESWITHTHEHOMOGENEOUSKERNELSOFZERODEGREE ZHONG Jianhua (Department of Mathematics，Guangdong University of Education，Guangzhou 510303，China) By introducing some parameters and using the way of weight functions， a new Hilbert-type series-inequality and its equivalent form are given with the homogeneous kernel of zero degree and a best constant factor．The reverse and the equivalent form are also obtained． 2010-02-04 广东省高等学校自然科学基金重点研究项目(05Z026) *通讯作者，zjh@gdei.edu.cn 1000-5463(2011)02-0033-05 O178 A
